2.4.2 圆的一般方程 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
文档属性
| 名称 | 2.4.2 圆的一般方程 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 956.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-13 17:29:18 | ||
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文档简介
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2.4.2 圆的一般方程 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线，圆，若圆C上存在两点关于直线l对称，则的最小值是（ ）
A．5 B． C． D．20
3．已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．在平面直角坐标系中，已知直线：与圆：交于两点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，则两点间的曼哈顿距离，已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
6．已知曲线，下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线是一条直线
B．当时，曲线是一个圆
C．当曲线是圆时，它的面积的最小值为
D．当曲线是面积为的圆时，
7．如图，在直角坐标系中，坐标轴将边长为4的正方形分割成四个小正方形.若大圆为正方形的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则下列方程是图中某个圆的方程的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知点，动点满足，则下面结论正确的为（ ）
A．点的轨迹方程为 B．点到原点的距离的最大值为5
C．面积的最大值为4 D．的最大值为18
9．已知是圆上一点，是直线上一点，为坐标原点，则（ ）
A．直线不经过第二象限的充要条件是
B．线段的中点的轨迹方程为
C．当时，的最小值为
D．当时，的最小值为
三、填空题
10．圆上存在两点关于直线对称，则的最小值为 .
11．.已知是圆上的一点，则的最小值是
12．已知直线，直线，与相交于点A，则点A的轨迹方程为 ．
13．若点在圆外，则实数的取值范围为 .
14．若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为
15．平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若，，的垂心为，则的九点圆的标准方程为 ．
四、解答题
16．已知圆经过，两点.
(1)当，并且是圆的直径，求此时圆的标准方程；
(2)如果是圆的直径，证明：无论a取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标.
17．为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．
(1)如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程；
(2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围．
18．已知方程.
(1)若此方程表示圆，求正整数m的值；
(2)在（1）的条件下，方程表示的圆为圆C，若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线的一般方程．
19．已知圆的圆心在直线上，且圆过点，．
(1)求圆的标准方程；
(2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程．
20．已知圆经过两点，圆心在直线上.
(1)求出这个圆的标准方程；
(2)当点到直线的距离最大时，求的值.
参考答案
1．B
由方程表示圆可得，再由点在圆外即可得，求得实数的取值范围是.
易知圆可化为，可得，即；
又在圆外部，可得，解得；
可得.
故选：B.
2．D
由题意，直线l过圆心，有，则，利用配方法求最小值.
圆的圆心坐标为，
圆C上存在两点关于直线l对称，则直线l过圆心，即，有，
，
当时，有最小值20.
故选：D
3．D
先将圆的一般化为标准方程，再结合点在圆外，得到关于的不等式组，解之即可得解.
由题意得，圆的标准方程为，
故，，
又点在圆外，所以，
，或，
所以m的取值范围为．
故选：D.
4．A
根据题意分析可知直线过定点，取线段的中点，可知点的轨迹为以的中点为圆心，半径的圆，结合圆的性质分析求解.
由题意可知：直线：过定点，
圆：，即，
可知圆心为，半径，
取线段的中点，则，
可知点的轨迹为以的中点为圆心，半径的圆，
可得，
当且仅当在的延长线上时，等号成立，
所以的最大值为.
故选：A.
5．D
求得圆心，半径，设，则，可得点的轨迹为正方形，结合圆的性质，即可求解.
如图所示，由圆，可得，
则圆心，半径，
设，则，可得点的轨迹为如下所示的正方形，
其中，则，
则，所以的最大值为.
故选：D.
6．AB
将代入曲线的方程化简，可判断A选项；利用圆的一般方程可判断B选项；求出圆的半径，利用圆的面积公式结合基本不等式可判断C选项；利用圆的半径公式可求出的值，可判断D选项.
对于A选项，当时，曲线的方程为，此时，曲线是一条直线，A对；
对于B选项，当时，曲线的方程可化为，
因为，此时，曲线是一个圆，B对；
对于C选项，当曲线是圆时，其半径为，
当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，
因此，当曲线是圆时，它的面积的最小值为，C错；
对于D选项，当曲线是面积为的圆时，其半径为，
即，解得或，D错.
故选：AB.
7．ABC
由各小圆的圆心和半径，求出圆的标准方程和一般方程，对照选项判断.
由题可知小正方形边长为2，则内切圆半径为1，
可得第一象限的小圆的圆心为，方程为，
即，A选项正确；
第二象限的小圆的圆心为，方程为，
即，B选项正确；
第三象限的小圆的圆心为，方程为，
即，C选项正确；
第四象限的小圆的圆心为，方程为，
即，没有选项符合；
外接圆圆心为，半径为，方程为，没有选项符合.
故选：ABC
8．ABD
设动点，根据两点之间的距离公式结合条件化简即可判断A选项，再由圆外一点到圆上一点的距离范围判断B和C选项，利用向量的数量积公式和代入消元法即可判断D选项.
设动点，则由得：，
即，
化简得：，即，所以A选项正确；
所以点轨迹是圆心为，半径为的圆，
则点到原点的距离最大值为，所以B选项正确；
又，和点轨迹的圆心都在轴上，且，
所以当圆的半径垂直于轴时，面积取得最大值，所以C选项错误；
又，
因为（），
所以（），
则，所以D选项正确；
故选：ABD.
9．BC
举判断A；利用相关点法求轨迹方程判断B；当到直线的距离最小时，为最小值判断C；作关于直线的对称点，将转换为得到最小值判断D.
显然当时，直线的方程为，也不经过第二象限，所以A不正确；
设的中点为，则
因为，所以，
即线段的中点的轨迹方程为，故B正确；
圆心，半径为，当时，直线的方程为，
因为圆心到直线的距离为，所以的最小值为，故C正确；
设关于直线的对称点为，则解得即，
因为，所以，
所以的最小值为，故D不正确.
故选：BC.
10．
首先求出圆心坐标，依题意可得直线过圆心，则，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
圆，即，圆心为，
因为圆上存在两点关于直线对称，
所以直线过圆心，
所以，即，
又，，
所以，
当且仅当，即、时取等号，
所以的最小值为．
故答案为：
11．
即求圆上动点到点的距离的最小值，求出点到圆心的距离即可得出.
表示圆上的动点到点的距离，
由可化为，则圆心为，半径为，
点到圆心的距离为，
所以点到点的距离的最小值为，
即的最小值是.
故答案为：.
12．
设，先求出直线和恒过的定点，，由可得，即可得出答案.
因为，所以直线过点，
直线过点，
因为，所以，设，
所以，所以，
所以，化简可得：.
故答案为：.
13．
根据圆心到点的距离大于半径即可列不等式求解.
圆的标准方程为，
由于点在圆外，
所以，解得，
故答案为：
14．
设抛物线交轴于点，交轴于点、，根据题意设圆心为，求出，写出圆的方程，可得出关于、的方程组，即可得出圆所过定点的坐标.
设抛物线交轴于点，交轴于点、，
由题意可知，由韦达定理可得，，
所以，线段的中点为，设圆心为，
由可得，解得，
，则，则，
所以，圆的方程为，
整理可得，
方程组的解为.
因此，的外接圆恒过的定点坐标为.
故答案为：.
15．
根据中点坐标公式求出三点坐标，再由待定系数法求出圆的一般方程，化为标准方程即可.
由，，，可得中点为，中点为，中点为，
设的九点圆方程为，
代入三点坐标，可得，
解得，
即，
化简可得圆的标准方程为．
故答案为：
16．(1)；
(2)定点坐标为，证明见解析.
（1）求出的坐标，根据两点间的距离公式求出，从而可求解；
（2）设点是圆上任意一点，由是圆的直径，得，从而可求出圆的方程，即可得出结论
（1）当，，故，，
所以此时圆的标准方程为.
（2）设点是圆上任意一点，
因为是圆的直径，所以，
即，
所以圆的方程为：，
则，，等式恒成立，定点为，
所以无论取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，定点坐标为.
17．(1)
(2)
（1），有，化简并整理即可求解.
（2）直线截距式方程为，结合点到直线的距离公式列出不等式求解即可.
（1）根据已知条件设且，，
由，有，
，
，
，
整理有，它是以为圆心，8为半径的圆．
所以曲线的方程为：．
（2）
，过的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直，
所以直线截距式方程为，
化为一般式方程为，
根据题意，且，解得，
所以综上可知的取值范围为．
18．(1)1
(2).
（1）根据圆的一般式满足的条件即可求解，
（2）根据对称求解M关于直线的对称点，即可求解.
（1）若此方程表示圆，则，解得，
因为为正整数，故；
（2）在（1）的条件下，方程表示圆：
由恰好平分圆C的圆周，得经过圆心，
设点M关于直线的对称点，
则直线MN与直线垂直，且线段MN的中点在上，
则有，解得，所以，
所以直线CN即为直线，且，
直线方程为，即.
19．(1)；
(2).
（1）设圆的一般方程，结合已知列方程求解的值，再转化为圆的标准方程即可；
（2）由于圆与圆关于直线对称，根据点关于直线对称坐标特点求得的坐标，则得圆心，由对称可知半径不变，故可得圆的标准方程．
（1）解：设圆C的方程为，
已知圆的圆心在直线上，且圆过点，，
则，解得，
即圆C的方程为，
∴圆C的标准方程为．
（2）解：由（1）得圆C的圆心，半径，
设圆的圆心坐标为，∵圆与圆C关于直线对称，
则有，解得，即．
∴圆的标准方程为．
20．(1)
(2)
（1）设圆的圆心为，在直线上，将两点坐标代入方程解得答案.
（2）直线过定点，当与直线垂直时，距离最大，计算斜率，根据垂直得到答案.
（1）设圆的圆心为，圆的一般方程为，由方程可知，
由条件在直线上，两点在圆上，
联立方程组，解得，
，为所求的圆的标准方程.
（2）直线化为，直线经过定点，
当与直线垂直时，距离最大，
，故直线斜率为，解得.
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2.4.2 圆的一般方程 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线，圆，若圆C上存在两点关于直线l对称，则的最小值是（ ）
A．5 B． C． D．20
3．已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．在平面直角坐标系中，已知直线：与圆：交于两点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，则两点间的曼哈顿距离，已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
6．已知曲线，下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线是一条直线
B．当时，曲线是一个圆
C．当曲线是圆时，它的面积的最小值为
D．当曲线是面积为的圆时，
7．如图，在直角坐标系中，坐标轴将边长为4的正方形分割成四个小正方形.若大圆为正方形的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则下列方程是图中某个圆的方程的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知点，动点满足，则下面结论正确的为（ ）
A．点的轨迹方程为 B．点到原点的距离的最大值为5
C．面积的最大值为4 D．的最大值为18
9．已知是圆上一点，是直线上一点，为坐标原点，则（ ）
A．直线不经过第二象限的充要条件是
B．线段的中点的轨迹方程为
C．当时，的最小值为
D．当时，的最小值为
三、填空题
10．圆上存在两点关于直线对称，则的最小值为 .
11．.已知是圆上的一点，则的最小值是
12．已知直线，直线，与相交于点A，则点A的轨迹方程为 ．
13．若点在圆外，则实数的取值范围为 .
14．若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为
15．平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若，，的垂心为，则的九点圆的标准方程为 ．
四、解答题
16．已知圆经过，两点.
(1)当，并且是圆的直径，求此时圆的标准方程；
(2)如果是圆的直径，证明：无论a取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标.
17．为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．
(1)如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程；
(2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围．
18．已知方程.
(1)若此方程表示圆，求正整数m的值；
(2)在（1）的条件下，方程表示的圆为圆C，若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线的一般方程．
19．已知圆的圆心在直线上，且圆过点，．
(1)求圆的标准方程；
(2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程．
20．已知圆经过两点，圆心在直线上.
(1)求出这个圆的标准方程；
(2)当点到直线的距离最大时，求的值.
参考答案
1．B
由方程表示圆可得，再由点在圆外即可得，求得实数的取值范围是.
易知圆可化为，可得，即；
又在圆外部，可得，解得；
可得.
故选：B.
2．D
由题意，直线l过圆心，有，则，利用配方法求最小值.
圆的圆心坐标为，
圆C上存在两点关于直线l对称，则直线l过圆心，即，有，
，
当时，有最小值20.
故选：D
3．D
先将圆的一般化为标准方程，再结合点在圆外，得到关于的不等式组，解之即可得解.
由题意得，圆的标准方程为，
故，，
又点在圆外，所以，
，或，
所以m的取值范围为．
故选：D.
4．A
根据题意分析可知直线过定点，取线段的中点，可知点的轨迹为以的中点为圆心，半径的圆，结合圆的性质分析求解.
由题意可知：直线：过定点，
圆：，即，
可知圆心为，半径，
取线段的中点，则，
可知点的轨迹为以的中点为圆心，半径的圆，
可得，
当且仅当在的延长线上时，等号成立，
所以的最大值为.
故选：A.
5．D
求得圆心，半径，设，则，可得点的轨迹为正方形，结合圆的性质，即可求解.
如图所示，由圆，可得，
则圆心，半径，
设，则，可得点的轨迹为如下所示的正方形，
其中，则，
则，所以的最大值为.
故选：D.
6．AB
将代入曲线的方程化简，可判断A选项；利用圆的一般方程可判断B选项；求出圆的半径，利用圆的面积公式结合基本不等式可判断C选项；利用圆的半径公式可求出的值，可判断D选项.
对于A选项，当时，曲线的方程为，此时，曲线是一条直线，A对；
对于B选项，当时，曲线的方程可化为，
因为，此时，曲线是一个圆，B对；
对于C选项，当曲线是圆时，其半径为，
当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，
因此，当曲线是圆时，它的面积的最小值为，C错；
对于D选项，当曲线是面积为的圆时，其半径为，
即，解得或，D错.
故选：AB.
7．ABC
由各小圆的圆心和半径，求出圆的标准方程和一般方程，对照选项判断.
由题可知小正方形边长为2，则内切圆半径为1，
可得第一象限的小圆的圆心为，方程为，
即，A选项正确；
第二象限的小圆的圆心为，方程为，
即，B选项正确；
第三象限的小圆的圆心为，方程为，
即，C选项正确；
第四象限的小圆的圆心为，方程为，
即，没有选项符合；
外接圆圆心为，半径为，方程为，没有选项符合.
故选：ABC
8．ABD
设动点，根据两点之间的距离公式结合条件化简即可判断A选项，再由圆外一点到圆上一点的距离范围判断B和C选项，利用向量的数量积公式和代入消元法即可判断D选项.
设动点，则由得：，
即，
化简得：，即，所以A选项正确；
所以点轨迹是圆心为，半径为的圆，
则点到原点的距离最大值为，所以B选项正确；
又，和点轨迹的圆心都在轴上，且，
所以当圆的半径垂直于轴时，面积取得最大值，所以C选项错误；
又，
因为（），
所以（），
则，所以D选项正确；
故选：ABD.
9．BC
举判断A；利用相关点法求轨迹方程判断B；当到直线的距离最小时，为最小值判断C；作关于直线的对称点，将转换为得到最小值判断D.
显然当时，直线的方程为，也不经过第二象限，所以A不正确；
设的中点为，则
因为，所以，
即线段的中点的轨迹方程为，故B正确；
圆心，半径为，当时，直线的方程为，
因为圆心到直线的距离为，所以的最小值为，故C正确；
设关于直线的对称点为，则解得即，
因为，所以，
所以的最小值为，故D不正确.
故选：BC.
10．
首先求出圆心坐标，依题意可得直线过圆心，则，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
圆，即，圆心为，
因为圆上存在两点关于直线对称，
所以直线过圆心，
所以，即，
又，，
所以，
当且仅当，即、时取等号，
所以的最小值为．
故答案为：
11．
即求圆上动点到点的距离的最小值，求出点到圆心的距离即可得出.
表示圆上的动点到点的距离，
由可化为，则圆心为，半径为，
点到圆心的距离为，
所以点到点的距离的最小值为，
即的最小值是.
故答案为：.
12．
设，先求出直线和恒过的定点，，由可得，即可得出答案.
因为，所以直线过点，
直线过点，
因为，所以，设，
所以，所以，
所以，化简可得：.
故答案为：.
13．
根据圆心到点的距离大于半径即可列不等式求解.
圆的标准方程为，
由于点在圆外，
所以，解得，
故答案为：
14．
设抛物线交轴于点，交轴于点、，根据题意设圆心为，求出，写出圆的方程，可得出关于、的方程组，即可得出圆所过定点的坐标.
设抛物线交轴于点，交轴于点、，
由题意可知，由韦达定理可得，，
所以，线段的中点为，设圆心为，
由可得，解得，
，则，则，
所以，圆的方程为，
整理可得，
方程组的解为.
因此，的外接圆恒过的定点坐标为.
故答案为：.
15．
根据中点坐标公式求出三点坐标，再由待定系数法求出圆的一般方程，化为标准方程即可.
由，，，可得中点为，中点为，中点为，
设的九点圆方程为，
代入三点坐标，可得，
解得，
即，
化简可得圆的标准方程为．
故答案为：
16．(1)；
(2)定点坐标为，证明见解析.
（1）求出的坐标，根据两点间的距离公式求出，从而可求解；
（2）设点是圆上任意一点，由是圆的直径，得，从而可求出圆的方程，即可得出结论
（1）当，，故，，
所以此时圆的标准方程为.
（2）设点是圆上任意一点，
因为是圆的直径，所以，
即，
所以圆的方程为：，
则，，等式恒成立，定点为，
所以无论取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，定点坐标为.
17．(1)
(2)
（1），有，化简并整理即可求解.
（2）直线截距式方程为，结合点到直线的距离公式列出不等式求解即可.
（1）根据已知条件设且，，
由，有，
，
，
，
整理有，它是以为圆心，8为半径的圆．
所以曲线的方程为：．
（2）
，过的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直，
所以直线截距式方程为，
化为一般式方程为，
根据题意，且，解得，
所以综上可知的取值范围为．
18．(1)1
(2).
（1）根据圆的一般式满足的条件即可求解，
（2）根据对称求解M关于直线的对称点，即可求解.
（1）若此方程表示圆，则，解得，
因为为正整数，故；
（2）在（1）的条件下，方程表示圆：
由恰好平分圆C的圆周，得经过圆心，
设点M关于直线的对称点，
则直线MN与直线垂直，且线段MN的中点在上，
则有，解得，所以，
所以直线CN即为直线，且，
直线方程为，即.
19．(1)；
(2).
（1）设圆的一般方程，结合已知列方程求解的值，再转化为圆的标准方程即可；
（2）由于圆与圆关于直线对称，根据点关于直线对称坐标特点求得的坐标，则得圆心，由对称可知半径不变，故可得圆的标准方程．
（1）解：设圆C的方程为，
已知圆的圆心在直线上，且圆过点，，
则，解得，
即圆C的方程为，
∴圆C的标准方程为．
（2）解：由（1）得圆C的圆心，半径，
设圆的圆心坐标为，∵圆与圆C关于直线对称，
则有，解得，即．
∴圆的标准方程为．
20．(1)
(2)
（1）设圆的圆心为，在直线上，将两点坐标代入方程解得答案.
（2）直线过定点，当与直线垂直时，距离最大，计算斜率，根据垂直得到答案.
（1）设圆的圆心为，圆的一般方程为，由方程可知，
由条件在直线上，两点在圆上，
联立方程组，解得，
，为所求的圆的标准方程.
（2）直线化为，直线经过定点，
当与直线垂直时，距离最大，
，故直线斜率为，解得.
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