2.5.2 圆与圆的位置关系 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
文档属性
| 名称 | 2.5.2 圆与圆的位置关系 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 910.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-13 17:29:18 | ||
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文档简介
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2.5.2 圆与圆的位置关系 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．已知圆：与圆：有公共点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知圆与圆交于A，B两点，则四边形的面积为（ ）
A．12 B．6 C．24 D．
3．已知圆与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B．5 C． D．
4．已知直线是圆的切线，并且点到直线的距离是2，这样的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
5．已知两圆和恰有三条公切线，若，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．平面直角坐标系中，，，动点满足，则使为等腰三角形的点个数为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
8．已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（ ）
A． B． C．或1 D．
9．两个圆：与：恰有三条公切线，则的最大值为（ ）
A． B． C．6 D．－6
10．已知是圆上的一个动点，直线上存在两点，使得恒成立，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．已知圆与圆，下列说法正确的是（ ）
A．与的公切线恰有4条
B．与相交弦的方程为
C．与相交弦的弦长为
D．若分别是圆上的动点，则
12．已知圆，圆，则（ ）
A．圆与圆相切
B．圆与圆公切线的长度为
C．圆与圆公共弦所在直线的方程为
D．圆与圆公共部分的面积为
13．已知点在圆上，点在圆上，则（ ）
A．两圆外离 B．的最大值为9
C．的最小值为1 D．两个圆的一条公切线方程为
14．已知点，，且点在圆：上，为圆心，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为
B．以为直径的圆与圆的公共弦所在的直线方程为：
C．当最大时，的面积为
D．的面积的最大值为
三、填空题
15．已知圆的圆心在直线上，点与都在圆上，圆，则与的位置关系是 .
16．已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ．
17．已知圆与圆内切，则的最小值为
18．早在两千多年前，我国的墨子给出了圆的定义——一中同长也．已知O为坐标原点，．若，的“长”分别为1，r，且两圆相切，则 ．
19．某中学开设了剪纸艺术社团，该社团学生在庆中秋剪纸活动中剪出了三个互相外切的圆，其半径分别为，，(单位：)，则三个圆之间空隙部分的面积为 .
四、解答题
20．已知圆与圆相交于两点，点位于轴上方，且两圆在点处的切线相互垂直.
(1)求的值；
(2)若直线与圆 圆分别切于两点，求的最大值.
21．已知圆C：．
(1)求过点且与圆C相切的直线方程；
(2)求圆心在直线上，并且经过圆C与圆Q：的交点的圆的方程．
参考答案
1．C
根据题意得到，再解不等式即可.
由题知：，，，，
.
因为和有公共点，所以，
解得.
故选：C
2．A
由两圆标准方程得圆心坐标和半径，由和可知，则四边形的面积，计算即可.
圆，圆心坐标为，半径，
圆化成标准方程为，圆心坐标为，半径，
圆与圆都过点，则，如图所示，
又，∴，由对称性可知，，
，，则四边形的面积.
故选：A
3．C
求出两圆的公共弦所在直线方程，再求出弦长即可.
圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
，圆与圆相交，两圆方程相减得直线：，
显然点在直线上，因此线段是圆的直径，
所以.
故选：C
4．D
由已知可推得，直线是圆与圆的公切线.根据两圆的圆心、半径，推得两圆的位置关系，即可得出答案.
由已知可得，圆心，半径.
由点到直线的距离是2，所以直线是以为圆心，为半径的圆的切线，
又直线是圆的切线，
所以，直线是圆与圆的公切线.
因为，
所以，两圆外离，所以两圆的公切线有4条，
即满足条件的直线有4条.
故选：D.
5．A
确定两圆圆心和半径，根据公切线得到两圆外切，得到，变换得到，展开利用均值不等式计算得到答案.
，即，圆心，；
，即，圆心，半径；
两圆恰有三条公切线，即两圆外切，故，
即，
.
当且仅当，即，时等号成立.
故选：A
6．C
根据条件，将问题转化成圆与圆C有公共交点，再利用圆与圆的位置关系即可求出结果.
由，故点 P在圆上，又点P在圆C上，所以两圆有交点（不在圆上）
因为圆的圆心为原点O，半径为a，圆C的圆心为，半径为1，
所以，又，故有，
解得，所以a的最小值为4.
故选：C.
7．D
设，根据可得动点的轨迹方程为圆，再结合为等腰三角形分析即可求解.
设，由，
得，
整理得，记为圆
又，为等腰三角形，
则有或.
因为圆与圆相交，故满足点有2个；
因为圆与圆相交，故满足点有2个，
故使为等腰三角形的点共有4个.
故选：D.
8．D
两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，后由垂径定理结合圆圆心与半径表达式可得答案.
与两式相减得，即公共弦所在直线方程.
圆方程可化为，可得圆心，半径.则圆心到的距离为，
半弦长为，则有，解得或（舍），此时
故选：.
9．A
将圆与圆的方程化为标准方程，得出圆心、半径.由题意可知，两圆外切，即，代入整理可得，然后根据基本不等式即得.
由已知可得，圆的方程可化为，圆心为，半径；
圆的方程可化为，圆心为，半径.
因为圆与圆恰有三条公切线，所以两圆外切.
所以有，即，所以.
又，当且仅当时，等号成立，
所以.
故选：A.
10．B
根据已知条件可知圆内切于以线段为直径的圆，或圆在以线段为直径的圆内，由此容易得到的最小值.
如图，已知圆O：的圆心为，半径，
若直线上存在两点A，B，使得恒成立，
则以为直径的圆要内含或内切圆，
点到直线l的距离，
所以的最小值为，
选B．
11．BD
由根据两圆之间的位置关系确定公切线个数；如果两圆相交，进行两圆方程的做差可以得到相交弦的直线方程；通过垂径定理可以求弦长；两圆上的点的最长距离为圆心距和两半径之和，逐项分析判断即可.
由已知得圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
，
故两圆相交，所以与的公切线恰有2条，故A错误；
做差可得与相交弦的方程为
到相交弦的距离为，故相交弦的弦长为，故C错误；
若分别是圆上的动点，则，故D正确.
故选：BD
12．BCD
求出两圆圆心坐标与半径，求出圆心距，即可判断A，B，两圆方程作差即可得到公共弦方程，从而判断C，求出两圆圆心到公共弦的距离，从而取出公共部分的面积，从而判断D.
解：因为圆，圆，
所以圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，
所以，故圆与圆相交，即A错误；
因为两圆半径相等，则两圆公切线的长度为，故B正确
将两圆方程作差得，
所以两圆公共弦所在直线的方程为，故C正确；
因为的圆心为，半径，
所以到直线的距离为，
所以公共弦长为，
又圆心到直线的距离为，
所以圆与圆公共部分的面积为，故D正确.
故选：BCD
13．ABC
将两圆的方程化为标准方程，求出两圆的圆心和半径，再逐项分析.
圆的圆心坐标，半径，
圆，即的圆心坐标，半径，
所以圆心距，
因为，所以两圆外离．故A正确；
因为在圆上，在圆上，所以，故B、C正确；
因为圆心到直线的距离，所以不是两圆公切线，故D错误；
故选：ABC．
14．ABD
由求得最大值判断A；以为直径的圆方程与圆的方程相减判断B；当与圆相切时，求出三角形的面积判断C；求出点到直线的距离最大值，计算判断D作答.
显然点在圆：外，点在圆内，圆的半径为2，
直线方程为，圆心在直线上，
对于A，，当且仅当点是射线与圆的交点时取等号，A正确；
对于B，以为直径的圆方程为，与圆的方程联立消去二次项得，
因此以为直径的圆与圆的公共弦所在的直线方程为：，B正确；
对于C，当且仅当与圆相切时，最大，即，此时，
，，C错误；
对于D，到直线：的距离最大值为2，因此的面积的最大值为，D正确.
故选：ABD
15．相交
利用待定系数法求得圆的标准方程，求出圆心距，与两圆的半径和、差比较即可得出结论.
设圆的标准方程为，
因为圆心在直线上，且该圆经过与两点，
列方程组，解得，
即圆的标准方程为，圆心，半径，
又圆，圆心，半径，
∴，又，，而，
∴与的位置关系是相交.
故答案为：相交.
16．
利用圆与圆的位置关系，结合图形和几何关系，即可求解.
圆，圆心，半径，
圆，圆心，半径，
圆心距，由，
所以两圆相交，则.
故答案为：
17．2
计算两圆的圆心距，令圆心距等于两圆半径之差，结合基本不等式求解最小值即可．
圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
两圆的圆心距，
两圆内切，，可得，
所以．当且仅当时，取得最小值，的最小值为2．
故答案为：2．
18．1或3
根据圆的定义，得出和的圆心和半径，再由两圆相切分为内切和外切两种情况，分别得出两半径间的关系，求解即可．
由题意，O为坐标原点，，
根据圆的定义可知，的圆心为，半径为1，
的圆心为，半径为r，
因为两圆相切，
当两圆外切时，则有，即，
当两圆内切时，则有，即，或（舍）
所以或3，
故答案为：1或3．
19．
由已知可得,,,得到，，求出，中的小扇形的面积，中的小扇形的面积，中的小扇形的面积，然后用三角形的面积减去三个扇形的面积即可得到答案.
如图，的半径为cm, 的半径为cm, 的半径为cm,
,,
, ,
又,可得,
，
中的小扇形的面积为，
中的小扇形的面积为，
中的小扇形的面积为，
则三个圆之间空隙部分的面积为
故答案为：
20．(1)
(2)最大值为3
（1）根据切线的性质构造直角三角形，结合勾股定理求解；
（2）平移公切线构造直角三角形，由勾股定理结合基本不等式求解的最大值.
（1）如图，由题意可知与圆相切，与圆相切，
且，
故，
即.
（2）作于点H，连接PQ，
在中，，
其中，
故，
又，当且仅当时取等号，
故，
即的最大值为3.
21．(1)或
(2)．
（1）根据圆心到直线的距离即可求解，
（2）联立两圆方程可得交点坐标，进而根据圆的性质利用几何法求解圆心坐标，进而可求解，或者利用圆系方程，代入圆心坐标即可求解.
（1）当直线有斜率时，设切线的斜率为k，则切线方程为，
即
∵圆心到切线的距离等于半径2，
∴
解得或．
因此，所求切线方程为，或．
当直线无斜率时，则，此时直线与圆不相切，不满足题意，
故切线方程为，或．
（2）法一：
联立，解得或．
∴圆C与圆Q的交点为，，
线段AB的垂直平分线为，设所求圆的圆心为，半径为r．
由，解得，所以圆心为，．
因此，所求圆的方程为
法二：设经过圆C与圆Q交点的圆为：．（）
即
即
圆心代入直线，得．
因此，所求圆的方程为．
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2.5.2 圆与圆的位置关系 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．已知圆：与圆：有公共点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知圆与圆交于A，B两点，则四边形的面积为（ ）
A．12 B．6 C．24 D．
3．已知圆与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B．5 C． D．
4．已知直线是圆的切线，并且点到直线的距离是2，这样的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
5．已知两圆和恰有三条公切线，若，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．平面直角坐标系中，，，动点满足，则使为等腰三角形的点个数为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
8．已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（ ）
A． B． C．或1 D．
9．两个圆：与：恰有三条公切线，则的最大值为（ ）
A． B． C．6 D．－6
10．已知是圆上的一个动点，直线上存在两点，使得恒成立，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．已知圆与圆，下列说法正确的是（ ）
A．与的公切线恰有4条
B．与相交弦的方程为
C．与相交弦的弦长为
D．若分别是圆上的动点，则
12．已知圆，圆，则（ ）
A．圆与圆相切
B．圆与圆公切线的长度为
C．圆与圆公共弦所在直线的方程为
D．圆与圆公共部分的面积为
13．已知点在圆上，点在圆上，则（ ）
A．两圆外离 B．的最大值为9
C．的最小值为1 D．两个圆的一条公切线方程为
14．已知点，，且点在圆：上，为圆心，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为
B．以为直径的圆与圆的公共弦所在的直线方程为：
C．当最大时，的面积为
D．的面积的最大值为
三、填空题
15．已知圆的圆心在直线上，点与都在圆上，圆，则与的位置关系是 .
16．已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ．
17．已知圆与圆内切，则的最小值为
18．早在两千多年前，我国的墨子给出了圆的定义——一中同长也．已知O为坐标原点，．若，的“长”分别为1，r，且两圆相切，则 ．
19．某中学开设了剪纸艺术社团，该社团学生在庆中秋剪纸活动中剪出了三个互相外切的圆，其半径分别为，，(单位：)，则三个圆之间空隙部分的面积为 .
四、解答题
20．已知圆与圆相交于两点，点位于轴上方，且两圆在点处的切线相互垂直.
(1)求的值；
(2)若直线与圆 圆分别切于两点，求的最大值.
21．已知圆C：．
(1)求过点且与圆C相切的直线方程；
(2)求圆心在直线上，并且经过圆C与圆Q：的交点的圆的方程．
参考答案
1．C
根据题意得到，再解不等式即可.
由题知：，，，，
.
因为和有公共点，所以，
解得.
故选：C
2．A
由两圆标准方程得圆心坐标和半径，由和可知，则四边形的面积，计算即可.
圆，圆心坐标为，半径，
圆化成标准方程为，圆心坐标为，半径，
圆与圆都过点，则，如图所示，
又，∴，由对称性可知，，
，，则四边形的面积.
故选：A
3．C
求出两圆的公共弦所在直线方程，再求出弦长即可.
圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
，圆与圆相交，两圆方程相减得直线：，
显然点在直线上，因此线段是圆的直径，
所以.
故选：C
4．D
由已知可推得，直线是圆与圆的公切线.根据两圆的圆心、半径，推得两圆的位置关系，即可得出答案.
由已知可得，圆心，半径.
由点到直线的距离是2，所以直线是以为圆心，为半径的圆的切线，
又直线是圆的切线，
所以，直线是圆与圆的公切线.
因为，
所以，两圆外离，所以两圆的公切线有4条，
即满足条件的直线有4条.
故选：D.
5．A
确定两圆圆心和半径，根据公切线得到两圆外切，得到，变换得到，展开利用均值不等式计算得到答案.
，即，圆心，；
，即，圆心，半径；
两圆恰有三条公切线，即两圆外切，故，
即，
.
当且仅当，即，时等号成立.
故选：A
6．C
根据条件，将问题转化成圆与圆C有公共交点，再利用圆与圆的位置关系即可求出结果.
由，故点 P在圆上，又点P在圆C上，所以两圆有交点（不在圆上）
因为圆的圆心为原点O，半径为a，圆C的圆心为，半径为1，
所以，又，故有，
解得，所以a的最小值为4.
故选：C.
7．D
设，根据可得动点的轨迹方程为圆，再结合为等腰三角形分析即可求解.
设，由，
得，
整理得，记为圆
又，为等腰三角形，
则有或.
因为圆与圆相交，故满足点有2个；
因为圆与圆相交，故满足点有2个，
故使为等腰三角形的点共有4个.
故选：D.
8．D
两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，后由垂径定理结合圆圆心与半径表达式可得答案.
与两式相减得，即公共弦所在直线方程.
圆方程可化为，可得圆心，半径.则圆心到的距离为，
半弦长为，则有，解得或（舍），此时
故选：.
9．A
将圆与圆的方程化为标准方程，得出圆心、半径.由题意可知，两圆外切，即，代入整理可得，然后根据基本不等式即得.
由已知可得，圆的方程可化为，圆心为，半径；
圆的方程可化为，圆心为，半径.
因为圆与圆恰有三条公切线，所以两圆外切.
所以有，即，所以.
又，当且仅当时，等号成立，
所以.
故选：A.
10．B
根据已知条件可知圆内切于以线段为直径的圆，或圆在以线段为直径的圆内，由此容易得到的最小值.
如图，已知圆O：的圆心为，半径，
若直线上存在两点A，B，使得恒成立，
则以为直径的圆要内含或内切圆，
点到直线l的距离，
所以的最小值为，
选B．
11．BD
由根据两圆之间的位置关系确定公切线个数；如果两圆相交，进行两圆方程的做差可以得到相交弦的直线方程；通过垂径定理可以求弦长；两圆上的点的最长距离为圆心距和两半径之和，逐项分析判断即可.
由已知得圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
，
故两圆相交，所以与的公切线恰有2条，故A错误；
做差可得与相交弦的方程为
到相交弦的距离为，故相交弦的弦长为，故C错误；
若分别是圆上的动点，则，故D正确.
故选：BD
12．BCD
求出两圆圆心坐标与半径，求出圆心距，即可判断A，B，两圆方程作差即可得到公共弦方程，从而判断C，求出两圆圆心到公共弦的距离，从而取出公共部分的面积，从而判断D.
解：因为圆，圆，
所以圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，
所以，故圆与圆相交，即A错误；
因为两圆半径相等，则两圆公切线的长度为，故B正确
将两圆方程作差得，
所以两圆公共弦所在直线的方程为，故C正确；
因为的圆心为，半径，
所以到直线的距离为，
所以公共弦长为，
又圆心到直线的距离为，
所以圆与圆公共部分的面积为，故D正确.
故选：BCD
13．ABC
将两圆的方程化为标准方程，求出两圆的圆心和半径，再逐项分析.
圆的圆心坐标，半径，
圆，即的圆心坐标，半径，
所以圆心距，
因为，所以两圆外离．故A正确；
因为在圆上，在圆上，所以，故B、C正确；
因为圆心到直线的距离，所以不是两圆公切线，故D错误；
故选：ABC．
14．ABD
由求得最大值判断A；以为直径的圆方程与圆的方程相减判断B；当与圆相切时，求出三角形的面积判断C；求出点到直线的距离最大值，计算判断D作答.
显然点在圆：外，点在圆内，圆的半径为2，
直线方程为，圆心在直线上，
对于A，，当且仅当点是射线与圆的交点时取等号，A正确；
对于B，以为直径的圆方程为，与圆的方程联立消去二次项得，
因此以为直径的圆与圆的公共弦所在的直线方程为：，B正确；
对于C，当且仅当与圆相切时，最大，即，此时，
，，C错误；
对于D，到直线：的距离最大值为2，因此的面积的最大值为，D正确.
故选：ABD
15．相交
利用待定系数法求得圆的标准方程，求出圆心距，与两圆的半径和、差比较即可得出结论.
设圆的标准方程为，
因为圆心在直线上，且该圆经过与两点，
列方程组，解得，
即圆的标准方程为，圆心，半径，
又圆，圆心，半径，
∴，又，，而，
∴与的位置关系是相交.
故答案为：相交.
16．
利用圆与圆的位置关系，结合图形和几何关系，即可求解.
圆，圆心，半径，
圆，圆心，半径，
圆心距，由，
所以两圆相交，则.
故答案为：
17．2
计算两圆的圆心距，令圆心距等于两圆半径之差，结合基本不等式求解最小值即可．
圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
两圆的圆心距，
两圆内切，，可得，
所以．当且仅当时，取得最小值，的最小值为2．
故答案为：2．
18．1或3
根据圆的定义，得出和的圆心和半径，再由两圆相切分为内切和外切两种情况，分别得出两半径间的关系，求解即可．
由题意，O为坐标原点，，
根据圆的定义可知，的圆心为，半径为1，
的圆心为，半径为r，
因为两圆相切，
当两圆外切时，则有，即，
当两圆内切时，则有，即，或（舍）
所以或3，
故答案为：1或3．
19．
由已知可得,,,得到，，求出，中的小扇形的面积，中的小扇形的面积，中的小扇形的面积，然后用三角形的面积减去三个扇形的面积即可得到答案.
如图，的半径为cm, 的半径为cm, 的半径为cm,
,,
, ,
又,可得,
，
中的小扇形的面积为，
中的小扇形的面积为，
中的小扇形的面积为，
则三个圆之间空隙部分的面积为
故答案为：
20．(1)
(2)最大值为3
（1）根据切线的性质构造直角三角形，结合勾股定理求解；
（2）平移公切线构造直角三角形，由勾股定理结合基本不等式求解的最大值.
（1）如图，由题意可知与圆相切，与圆相切，
且，
故，
即.
（2）作于点H，连接PQ，
在中，，
其中，
故，
又，当且仅当时取等号，
故，
即的最大值为3.
21．(1)或
(2)．
（1）根据圆心到直线的距离即可求解，
（2）联立两圆方程可得交点坐标，进而根据圆的性质利用几何法求解圆心坐标，进而可求解，或者利用圆系方程，代入圆心坐标即可求解.
（1）当直线有斜率时，设切线的斜率为k，则切线方程为，
即
∵圆心到切线的距离等于半径2，
∴
解得或．
因此，所求切线方程为，或．
当直线无斜率时，则，此时直线与圆不相切，不满足题意，
故切线方程为，或．
（2）法一：
联立，解得或．
∴圆C与圆Q的交点为，，
线段AB的垂直平分线为，设所求圆的圆心为，半径为r．
由，解得，所以圆心为，．
因此，所求圆的方程为
法二：设经过圆C与圆Q交点的圆为：．（）
即
即
圆心代入直线，得．
因此，所求圆的方程为．
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