3.1.1 椭圆及其标准方程 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
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| 名称 | 3.1.1 椭圆及其标准方程 同步巩固练 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 907.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-13 17:29:18 | ||
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文档简介
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3.1.1 椭圆及其标准方程 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．如果动点满足，则点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段
2．若椭圆过点，则椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点且，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知是椭圆的左 右焦点，点在椭圆上.当最大时，求（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆的右焦点为是椭圆上一点，点，则的周长最大值为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
6．已知点 在椭圆 上，点 ，则 的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．5
7．画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．设分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，则使得成立的点的个数为（ ）
A． B． C． D．
9．已知、为椭圆的左、右焦点，若为椭圆上一点，且的内切圆的周长等于，则满足条件的点的个数为（ ）
A． B． C． D．不确定
10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C在第一象限内的一点，，直线与C的另一个交点为Q，O为坐标原点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在轴上方，若的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则（ ）
A．点在第一象限 B．的面积为
C．的斜率为 D．直线和圆相切
三、填空题
12．已知P是圆上任一点，，线段PA的垂直平分线l和半径CP交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为 .
13．已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为 .
14．已知分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，（O为坐标原点）是面积为的正三角形，则此椭圆的方程为 ．
15．已知椭圆C：的左 右焦点分别为 ，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的取值范围为 .
16．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“通近法”得到椭圆的面积，除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知面积为的椭圆，以()的左焦点为，P为椭圆上任意一点，点Q的坐标为，则的最大值为 .
四、解答题
17．已知椭圆的焦点为，，且该椭圆过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆上的点满足，求点的坐标．
18．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点和；
(3)经过和点．
19．已知椭圆的焦点坐标为和，且椭圆经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)点为椭圆上的动点，且，求的面积.
参考答案
1．D
由题意可知方程表示出动点到定点的距离与它到定点的距离之和为3，而，从而可判断出其轨迹.
方程表示动点到定点的距离与它到定点的距离之和为3，
即，
所以点M的轨迹是线段．
故选：D
2．A
把已知两点坐标代入求出后即得．
由已知，解得，所以椭圆方程为．
故选：A.
3．B
设.利用椭圆的定义和勾股定理整体代换，求出和，即可求解.
设.
因为椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点且，
所以，所以，
所以.
故选：B
4．C
利用椭圆的定义结合余弦定理可得时最大，利用三角形的面积公式即得.
由椭圆的方程可得，，，则，
所以
，
当且仅当则时等号成立，即为椭圆短轴端点时最大，
此时，.
故选：C.
5．C
设椭圆的左焦点为，由题可知，，利用，即可得出．
如图所示设椭圆的左焦点为，则
，
则，
，
的周长，当且仅当三点M，，A共线时取等号．
的周长最大值等于18．
故选：C．
6．C
作出椭圆的另一个焦点，转化线段，最后利用三角不等式解决即可.
作椭圆的左焦点，则，
当且仅当点为线段的延长线与椭圆的交点时取得，由两点间距离公式得，
故，C正确，
故选：C
7．B
根据题意先写出椭圆的蒙日圆方程，然后根据条件判断出两圆内切或外切，由此列出方程求解出结果.
由题意可知的蒙日圆方程为，
因为圆与圆仅有一个公共点，
所以两圆内切或外切，故圆心距等于半径之和或者圆心距等于半径差的绝对值，
所以或，
由此解得，
故选：B.
8．D
设点的坐标，利用数量积的坐标表示，整理轨迹方程，联立椭圆方程，可得答案.
设，由椭圆，则，，即，故，，
，，，整理可得，
联立可得，解得，故点的坐标有，，，，
故选：D.
9．B
计算出，，计算出的内切圆的半径为，结合等面积法可求得点的坐标，即可得解.
由得，，所以，.
由椭圆的定义知，，.
因为的内切圆的周长等于，所以内切圆的半径为，
，
设点，则，所以，，
将点的坐标代入椭圆方程可得，解得，
所以，点的坐标为或或或，
因此，满足条件的点的个数为.
故选：B.
10．C
设，，在中，由余弦定理结合椭圆定义可得，根据面积相等，即可得P点纵坐标，进而得P点坐标，根据点坐标即可得直线方程，与椭圆联立可得点纵坐标，进而求得三角形面积.
解：因为，所以，
设，，在中，
由余弦定理得，
即，所以，
根据椭圆定义有：，所以，
所以，
因为，
因为P在第一象限，所以，代入椭圆中，得，
因为，所以，
所以直线，
联立，可得 ，
显然，则，因为，所以，
所以
．
故选：C
11．BCD
对于A，设椭圆的上顶点为，，即可解决；对于B，求得为等腰三角形即可解决；对于C，由，即可解决；对于D，过作于，求得即可解决；
由题知，椭圆，焦点在轴上，，
所以，，
所以，
所以，故B正确；
因为的中点为，
所以，过作于，，故D正确；
因为，
所以为中点，，故C正确；
设椭圆的上顶点为，，
所以点在第二象限，故A错误；
故选：BCD
12．
根据给定条件，结合图形的几何性质探求点Q满足的关系等式，再借助椭圆的定义求出方程作答.
圆的圆心，半径，点Q在线段PA的中垂线l上，如图，
有，则，
因此点Q的轨迹是以A，C为焦点，实轴长的椭圆，则虚半轴长，
所以点Q的轨迹方程为.
故答案为：
13．
先由椭圆的定义得到，再由余弦定理与同角平方关系求得，从而利用三角面积公式可求得，则可知点P到y轴的距离.
如图，由椭圆可得 ,
所以, 则,
所以在中，，
因为, 且,所以 ,
设的坐标为, 且，即，解得，
所以点到轴的距离为.
故答案为：.
14．
不妨设点位于第一象限，且，由题意得到，解得，结合椭圆的定义，求得，得到，即可求得椭圆的方程.
不妨设点位于第一象限，且，
因为 是面积为的正三角形，可得，解得，
所以，
由椭圆的定义得，
所以，则，
所以椭圆的标准方程为.
故答案为：.
15．
根据椭圆的定义，结合椭圆和圆的几何性质进行求解即可.
如图，
由为椭圆上任意一点，则，
又为圆上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线时取等号），
∴，
当且仅当M、N、E、共线时等号成立.
∵，，则，
∴的最小值为，
当共线时，最大，如下图所示：，
最大值为，
所以的取值范围为，
故答案为：
16．7
根据题设且求参数，即得椭圆方程，再根据椭圆定义得，进而求其最大值.
由题意且，又，可得，
所以椭圆方程为，而，即Q在椭圆内，如下图，
若为右焦点，由，则，
所以，而，
所以的最大值为7.
故答案为：7
17．(1)
(2)
（1）利用两点间距离公式求得P到椭圆的左右焦点的距离，然后根据椭圆的定义得到a的值，结合c的值，利用a,b,c的平方关系求得的值，再结合焦点位置，写出椭圆的标准方程．
（2）利用向量的数量积，求得点满足的条件，再结合椭圆的方程，解得的值．
（1）设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，
因为，
，
所以，即，
又因为c=2，所以，
又因为椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，
所以该椭圆的标准方程为.
（2）设，
因为，所以，即，
又，所以，即.
所以
18．(1)1
(2)
(3)．
（1）由焦点坐标求，由椭圆定义得即可求，从而得方程；
（2）结合图形，已知点是长短轴的顶点，则可得；
（3）设椭圆方程的简化形式，待定系数解方程组可得.
（1）由题意，椭圆焦点在轴上，且，
则，
∴椭圆方程为1；
（2）根据题意，所求椭圆的焦点在y轴上，且经过两个点和，
则，则椭圆的标准方程为；
（3）根据题意，要求椭圆经过（，）和点（，1）两点，
设其方程为，
则有，解可得，
则所求椭圆的方程为．
19．(1)
(2)
（1）根据题意得半焦距，再将点坐标代入椭圆方程得半长轴长，即得椭圆方程；
（2）根据余弦定理解得P点坐标，再根据三角形面积公式求结果.
（1）由题意可知，，
设椭圆方程为，将点代入椭圆方程，
得，解得（舍），，
所以椭圆方程为
（2）设，，由余弦定理得
，解得
所以，即或，
则三角形面积
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3.1.1 椭圆及其标准方程 同步巩固练
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．如果动点满足，则点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段
2．若椭圆过点，则椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点且，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知是椭圆的左 右焦点，点在椭圆上.当最大时，求（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆的右焦点为是椭圆上一点，点，则的周长最大值为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
6．已知点 在椭圆 上，点 ，则 的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．5
7．画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．设分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，则使得成立的点的个数为（ ）
A． B． C． D．
9．已知、为椭圆的左、右焦点，若为椭圆上一点，且的内切圆的周长等于，则满足条件的点的个数为（ ）
A． B． C． D．不确定
10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C在第一象限内的一点，，直线与C的另一个交点为Q，O为坐标原点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在轴上方，若的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则（ ）
A．点在第一象限 B．的面积为
C．的斜率为 D．直线和圆相切
三、填空题
12．已知P是圆上任一点，，线段PA的垂直平分线l和半径CP交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为 .
13．已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为 .
14．已知分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，（O为坐标原点）是面积为的正三角形，则此椭圆的方程为 ．
15．已知椭圆C：的左 右焦点分别为 ，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的取值范围为 .
16．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“通近法”得到椭圆的面积，除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知面积为的椭圆，以()的左焦点为，P为椭圆上任意一点，点Q的坐标为，则的最大值为 .
四、解答题
17．已知椭圆的焦点为，，且该椭圆过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆上的点满足，求点的坐标．
18．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点和；
(3)经过和点．
19．已知椭圆的焦点坐标为和，且椭圆经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)点为椭圆上的动点，且，求的面积.
参考答案
1．D
由题意可知方程表示出动点到定点的距离与它到定点的距离之和为3，而，从而可判断出其轨迹.
方程表示动点到定点的距离与它到定点的距离之和为3，
即，
所以点M的轨迹是线段．
故选：D
2．A
把已知两点坐标代入求出后即得．
由已知，解得，所以椭圆方程为．
故选：A.
3．B
设.利用椭圆的定义和勾股定理整体代换，求出和，即可求解.
设.
因为椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点且，
所以，所以，
所以.
故选：B
4．C
利用椭圆的定义结合余弦定理可得时最大，利用三角形的面积公式即得.
由椭圆的方程可得，，，则，
所以
，
当且仅当则时等号成立，即为椭圆短轴端点时最大，
此时，.
故选：C.
5．C
设椭圆的左焦点为，由题可知，，利用，即可得出．
如图所示设椭圆的左焦点为，则
，
则，
，
的周长，当且仅当三点M，，A共线时取等号．
的周长最大值等于18．
故选：C．
6．C
作出椭圆的另一个焦点，转化线段，最后利用三角不等式解决即可.
作椭圆的左焦点，则，
当且仅当点为线段的延长线与椭圆的交点时取得，由两点间距离公式得，
故，C正确，
故选：C
7．B
根据题意先写出椭圆的蒙日圆方程，然后根据条件判断出两圆内切或外切，由此列出方程求解出结果.
由题意可知的蒙日圆方程为，
因为圆与圆仅有一个公共点，
所以两圆内切或外切，故圆心距等于半径之和或者圆心距等于半径差的绝对值，
所以或，
由此解得，
故选：B.
8．D
设点的坐标，利用数量积的坐标表示，整理轨迹方程，联立椭圆方程，可得答案.
设，由椭圆，则，，即，故，，
，，，整理可得，
联立可得，解得，故点的坐标有，，，，
故选：D.
9．B
计算出，，计算出的内切圆的半径为，结合等面积法可求得点的坐标，即可得解.
由得，，所以，.
由椭圆的定义知，，.
因为的内切圆的周长等于，所以内切圆的半径为，
，
设点，则，所以，，
将点的坐标代入椭圆方程可得，解得，
所以，点的坐标为或或或，
因此，满足条件的点的个数为.
故选：B.
10．C
设，，在中，由余弦定理结合椭圆定义可得，根据面积相等，即可得P点纵坐标，进而得P点坐标，根据点坐标即可得直线方程，与椭圆联立可得点纵坐标，进而求得三角形面积.
解：因为，所以，
设，，在中，
由余弦定理得，
即，所以，
根据椭圆定义有：，所以，
所以，
因为，
因为P在第一象限，所以，代入椭圆中，得，
因为，所以，
所以直线，
联立，可得 ，
显然，则，因为，所以，
所以
．
故选：C
11．BCD
对于A，设椭圆的上顶点为，，即可解决；对于B，求得为等腰三角形即可解决；对于C，由，即可解决；对于D，过作于，求得即可解决；
由题知，椭圆，焦点在轴上，，
所以，，
所以，
所以，故B正确；
因为的中点为，
所以，过作于，，故D正确；
因为，
所以为中点，，故C正确；
设椭圆的上顶点为，，
所以点在第二象限，故A错误；
故选：BCD
12．
根据给定条件，结合图形的几何性质探求点Q满足的关系等式，再借助椭圆的定义求出方程作答.
圆的圆心，半径，点Q在线段PA的中垂线l上，如图，
有，则，
因此点Q的轨迹是以A，C为焦点，实轴长的椭圆，则虚半轴长，
所以点Q的轨迹方程为.
故答案为：
13．
先由椭圆的定义得到，再由余弦定理与同角平方关系求得，从而利用三角面积公式可求得，则可知点P到y轴的距离.
如图，由椭圆可得 ,
所以, 则,
所以在中，，
因为, 且,所以 ,
设的坐标为, 且，即，解得，
所以点到轴的距离为.
故答案为：.
14．
不妨设点位于第一象限，且，由题意得到，解得，结合椭圆的定义，求得，得到，即可求得椭圆的方程.
不妨设点位于第一象限，且，
因为 是面积为的正三角形，可得，解得，
所以，
由椭圆的定义得，
所以，则，
所以椭圆的标准方程为.
故答案为：.
15．
根据椭圆的定义，结合椭圆和圆的几何性质进行求解即可.
如图，
由为椭圆上任意一点，则，
又为圆上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线时取等号），
∴，
当且仅当M、N、E、共线时等号成立.
∵，，则，
∴的最小值为，
当共线时，最大，如下图所示：，
最大值为，
所以的取值范围为，
故答案为：
16．7
根据题设且求参数，即得椭圆方程，再根据椭圆定义得，进而求其最大值.
由题意且，又，可得，
所以椭圆方程为，而，即Q在椭圆内，如下图，
若为右焦点，由，则，
所以，而，
所以的最大值为7.
故答案为：7
17．(1)
(2)
（1）利用两点间距离公式求得P到椭圆的左右焦点的距离，然后根据椭圆的定义得到a的值，结合c的值，利用a,b,c的平方关系求得的值，再结合焦点位置，写出椭圆的标准方程．
（2）利用向量的数量积，求得点满足的条件，再结合椭圆的方程，解得的值．
（1）设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，
因为，
，
所以，即，
又因为c=2，所以，
又因为椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，
所以该椭圆的标准方程为.
（2）设，
因为，所以，即，
又，所以，即.
所以
18．(1)1
(2)
(3)．
（1）由焦点坐标求，由椭圆定义得即可求，从而得方程；
（2）结合图形，已知点是长短轴的顶点，则可得；
（3）设椭圆方程的简化形式，待定系数解方程组可得.
（1）由题意，椭圆焦点在轴上，且，
则，
∴椭圆方程为1；
（2）根据题意，所求椭圆的焦点在y轴上，且经过两个点和，
则，则椭圆的标准方程为；
（3）根据题意，要求椭圆经过（，）和点（，1）两点，
设其方程为，
则有，解可得，
则所求椭圆的方程为．
19．(1)
(2)
（1）根据题意得半焦距，再将点坐标代入椭圆方程得半长轴长，即得椭圆方程；
（2）根据余弦定理解得P点坐标，再根据三角形面积公式求结果.
（1）由题意可知，，
设椭圆方程为，将点代入椭圆方程，
得，解得（舍），，
所以椭圆方程为
（2）设，，由余弦定理得
，解得
所以，即或，
则三角形面积
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