华师大版七下（2024版）6.2.3 二元一次方程组的解法—应用——学案
文档属性
| 名称 | 华师大版七下（2024版）6.2.3 二元一次方程组的解法—应用——学案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 116.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-13 17:21:51 | ||
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文档简介
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第6章 二元一次方程
6.2.3二元一次方程组和它的解—应用
学习目标与重难点
学习目标：1.使学生掌握通过列二元一次方程组解决实际问题的方法，能够准确列出方程组并求解。
2.通过实例分析、小组讨论等方式，引导学生经历从实际问题到数学模型的转化过程，培养他们的抽象思维和问题解决能力。
学习重点： 掌握通过列二元一次方程组解决实际问题的步骤和方法。
学习难点： 如何准确地将实际问题抽象为二元一次方程组，并理解方程组中各个量的实际意义
预习自测
一、知识链接
1.已知关于x、y的方程组，则下列结论中正确的是（ ）
①当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝2的解；②当x＝y时，a＝；③不论a取什么实数，2x+y的值始终不变．
A．①② B．①②③ C．②③ D．②
2、若方程组有正整数解，则整数a的值为____．
自学自测
3、已知某桥长850米，一列火车从桥上通过，测得火车开始上桥到完全过桥共用1分钟，整列火车在桥上的时间为40秒，设火车的速度为x米/秒，车长为y米，下面所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
教学过程
一、创设情境、导入新课
例 6 某蔬菜公司收购到某种蔬菜 ,准备加工后上市销售. 该公司的加工能力是: 每天可以粗加工 或者精加工 . 现计划用 15 天完成加工任务, 该公司应安排几天粗加工, 几天精加工 如果每吨蔬菜粗加工后的利润为 1000 元, 精加工后的利润为 2000 元, 那么照此安排, 该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元
分析 本题的关键是解答第一个问题, 即先求出安排粗加工和精加工的天数. 从题目的信息中我们可以得到这样的等量关系:
(1)___________ +____________= 15；
(2)_____________ + _____________ = 140.
设粗加工和精加工的天数分别为 ,将两个等量关系直接 “翻译” 就可列出方程组.
解 设应安排 天粗加工, 天精加工. 根据题意,得
解这个方程组, 得
出售这些加工后的蔬菜共可获利：
答:
二、新知导入
概括 在第 5 章中, 我们通过列一元一次方程解决了一些简单的实际问题. 在这里, 又通过列二元一次方程组解决了另一些实际问题. 实际上, 有很多问题都存在着一些等量关系, 我们可以通过列方程或方程组的方法来处理. 列方程(或方程组) 解决实际问题的过程可以概括为:
要注意的是, 解决实际问题的方法往往是多种多样的, 应该根据具体问题灵活选用.
拓展：
玻璃厂熔炼玻璃液，原料是石英砂和长石粉混合而成。要求原料中含二氧化硅70%，根据化验，石英砂中含二氧化硅99%，长石粉中含二氧化硅67%。试问在3. 2t原料中，石英砂和长石粉各多少吨？
引导学生问题中涉及了哪些已知量和未知量？它们之间有何关系？
本题已知：______________________________?
又知：原料中石英砂和长石粉分别是________________?
未知量：________________
引出未知数，设石英砂x吨?长石粉y 吨，填写下表：
石英砂/t 长石粉/t 总量/t
需要量 x y 3.2
含二氧化硅
解：设需石英砂xt,长石粉yt.（引入两个未知数）
由所需总量，得:
由所含二氧化硅的总量，得 :
学生列方程组，并解答，老师巡视辅导。
设需要石英砂x t，长石粉y t.根据题意，得
解得
答：
【注意】列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知量和未知量，找出能够表示题意两个相等关系；
（2）设：将两个未知数用字母设出来；
（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；
（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；
（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.
三、课堂练习
【必做题】
1.解方程组：①②③④ ，比较适宜的方法是( )
A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法
C．②③用代入法，①④用加减法 D．②④用代入法，①③用加减法
2.已知关于，的二元一次方程组的解满足与的值之和等于6，则的值为（ ）
A．8 B．-6 C．3 D．-3
3. 有大、小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨，5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨. 求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？
【选做题】
4.若二元一次方程组 的解为 ，则m+n＝________.
5.某学校计划将校园内的一块空地进行规划，一部分建成篮球场，一部分建成绿化带。改变后，预计篮球场和绿化带的面积共有 600 平方米，绿化带面积是篮球场面积的 25%。问：改变后篮球场和绿化带的面积各为多少平方米？
【综合拓展作业】
6.某农场有一块梯形土地，计划将一部分开垦为农田，一部分种植果树。开垦后，预计农田和果树的种植面积共有 180 公顷，果树种植面积是农田面积的 40%。问：改变后农田和果树的种植面积各为多少公顷？
总结反思、拓展升华
1.用方程(组)解实际问题的过程:
分析和抽象的过程包括:
(1)审题，弄清题目中的数量关系，找出未知数，用x、y表示所要求的两个未知数
(2)找到能表示应用题全部含义的两个等量关系.（找等量关系的重要途径：列表法、画图法）
(3)根据两个等量关系，列出方程组.
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知量和未知量，找出能够表示题意两个相等关系；
（2）设：将两个未知数用字母设出来；
（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；
（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；
（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.
五、【作业布置】
【知识技能类作业】 必做题
1．是 方程组 的解，则5a﹣b的值是（ ）
A．10 B．﹣10 C．14 D．21
2．某中学的学生以4km/h的速度步行去某地参加社会公益活动．出发30min后，学校派一名通信员骑自行车以12km/h的速度去追赶队伍，通信员用多少时间可追上队伍？设通信员用x小时追上队伍，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
3.中国古代的数学专著《九章算术》有方程问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．”设每只雀、燕的重量各为两，两，可得方程组是___．
【综合拓展类作业】选做题 1-2
4.甲、乙两个工人按计划一个月应生产680个零件，结果甲超额完成计划的20%，乙超额完成计划的15%，两人一共多生产118个零件，则原计划甲、乙各生产零件数为（ ）
A．320，360 B．360，320 C．300，380 D．380，380
5.根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2：5。某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
【答案】
课堂练习
【必做题】3-4
1.答案：B
2.答案：A
解：设1辆大车可以运货x吨，1辆大车可以运货y吨.
根据题意，有
解这个方程组，得
3×4+5×2.5=24.5（吨）
答：3辆大车与5辆小车一次可以运货24.5吨
【选做题】2
4.答案：m+n=2。
5.答案：设改变后篮球场的面积为x平方米，绿化带的面积为y平方米。
根据题意可列方程组
x+y=600
y=25%x
将y=25%x代入x+y=600得：
x+25%x=600
1.25x=600
x=480
把x=480代入y=25%x得：y=25%×480=120。
答：改变后篮球场的面积为480平方米，绿化带的面积为120平方米。
【综合拓展作业】1-2
6.答案：
设改变后农田的种植面积为x公顷，果树的种植面积为y公顷。
根据题意可列方程组{x+y=180y=40%x
将y=40%x代入x+y=180得：
x+40%x=180
1.4x=180
x=7900 ≈128.57
把x=7900 代入y=40%x得：y=40%×7900 =7360 ≈51.43。
答：改变后农田的种植面积约为128.57公顷，果树的种植面积约为51.43公顷。
作业：【知识技能类作业】 必做题 3-4
1.答案：A
2.答案：B
3.答案：
5x+6y=16
3x 4y=0
【综合拓展类作业】选做题 1-2
4.答案：A
5.解：设这些消毒液应该分装大瓶产品x瓶，小瓶产品y瓶
根据题目，可列变形可得5x=2y
22.5吨=22.5×1000000=22500000克
500x+250y=22500000，两边同时除以250化简可得2x+y=90000。
可得到方程组
解得：这些消毒液应该分装大瓶产品20000瓶，小瓶产品50000瓶。
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第6章 二元一次方程
6.2.3二元一次方程组和它的解—应用
学习目标与重难点
学习目标：1.使学生掌握通过列二元一次方程组解决实际问题的方法，能够准确列出方程组并求解。
2.通过实例分析、小组讨论等方式，引导学生经历从实际问题到数学模型的转化过程，培养他们的抽象思维和问题解决能力。
学习重点： 掌握通过列二元一次方程组解决实际问题的步骤和方法。
学习难点： 如何准确地将实际问题抽象为二元一次方程组，并理解方程组中各个量的实际意义
预习自测
一、知识链接
1.已知关于x、y的方程组，则下列结论中正确的是（ ）
①当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝2的解；②当x＝y时，a＝；③不论a取什么实数，2x+y的值始终不变．
A．①② B．①②③ C．②③ D．②
2、若方程组有正整数解，则整数a的值为____．
自学自测
3、已知某桥长850米，一列火车从桥上通过，测得火车开始上桥到完全过桥共用1分钟，整列火车在桥上的时间为40秒，设火车的速度为x米/秒，车长为y米，下面所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
教学过程
一、创设情境、导入新课
例 6 某蔬菜公司收购到某种蔬菜 ,准备加工后上市销售. 该公司的加工能力是: 每天可以粗加工 或者精加工 . 现计划用 15 天完成加工任务, 该公司应安排几天粗加工, 几天精加工 如果每吨蔬菜粗加工后的利润为 1000 元, 精加工后的利润为 2000 元, 那么照此安排, 该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元
分析 本题的关键是解答第一个问题, 即先求出安排粗加工和精加工的天数. 从题目的信息中我们可以得到这样的等量关系:
(1)___________ +____________= 15；
(2)_____________ + _____________ = 140.
设粗加工和精加工的天数分别为 ,将两个等量关系直接 “翻译” 就可列出方程组.
解 设应安排 天粗加工, 天精加工. 根据题意,得
解这个方程组, 得
出售这些加工后的蔬菜共可获利：
答:
二、新知导入
概括 在第 5 章中, 我们通过列一元一次方程解决了一些简单的实际问题. 在这里, 又通过列二元一次方程组解决了另一些实际问题. 实际上, 有很多问题都存在着一些等量关系, 我们可以通过列方程或方程组的方法来处理. 列方程(或方程组) 解决实际问题的过程可以概括为:
要注意的是, 解决实际问题的方法往往是多种多样的, 应该根据具体问题灵活选用.
拓展：
玻璃厂熔炼玻璃液，原料是石英砂和长石粉混合而成。要求原料中含二氧化硅70%，根据化验，石英砂中含二氧化硅99%，长石粉中含二氧化硅67%。试问在3. 2t原料中，石英砂和长石粉各多少吨？
引导学生问题中涉及了哪些已知量和未知量？它们之间有何关系？
本题已知：______________________________?
又知：原料中石英砂和长石粉分别是________________?
未知量：________________
引出未知数，设石英砂x吨?长石粉y 吨，填写下表：
石英砂/t 长石粉/t 总量/t
需要量 x y 3.2
含二氧化硅
解：设需石英砂xt,长石粉yt.（引入两个未知数）
由所需总量，得:
由所含二氧化硅的总量，得 :
学生列方程组，并解答，老师巡视辅导。
设需要石英砂x t，长石粉y t.根据题意，得
解得
答：
【注意】列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知量和未知量，找出能够表示题意两个相等关系；
（2）设：将两个未知数用字母设出来；
（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；
（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；
（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.
三、课堂练习
【必做题】
1.解方程组：①②③④ ，比较适宜的方法是( )
A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法
C．②③用代入法，①④用加减法 D．②④用代入法，①③用加减法
2.已知关于，的二元一次方程组的解满足与的值之和等于6，则的值为（ ）
A．8 B．-6 C．3 D．-3
3. 有大、小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨，5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨. 求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？
【选做题】
4.若二元一次方程组 的解为 ，则m+n＝________.
5.某学校计划将校园内的一块空地进行规划，一部分建成篮球场，一部分建成绿化带。改变后，预计篮球场和绿化带的面积共有 600 平方米，绿化带面积是篮球场面积的 25%。问：改变后篮球场和绿化带的面积各为多少平方米？
【综合拓展作业】
6.某农场有一块梯形土地，计划将一部分开垦为农田，一部分种植果树。开垦后，预计农田和果树的种植面积共有 180 公顷，果树种植面积是农田面积的 40%。问：改变后农田和果树的种植面积各为多少公顷？
总结反思、拓展升华
1.用方程(组)解实际问题的过程:
分析和抽象的过程包括:
(1)审题，弄清题目中的数量关系，找出未知数，用x、y表示所要求的两个未知数
(2)找到能表示应用题全部含义的两个等量关系.（找等量关系的重要途径：列表法、画图法）
(3)根据两个等量关系，列出方程组.
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知量和未知量，找出能够表示题意两个相等关系；
（2）设：将两个未知数用字母设出来；
（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；
（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；
（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.
五、【作业布置】
【知识技能类作业】 必做题
1．是 方程组 的解，则5a﹣b的值是（ ）
A．10 B．﹣10 C．14 D．21
2．某中学的学生以4km/h的速度步行去某地参加社会公益活动．出发30min后，学校派一名通信员骑自行车以12km/h的速度去追赶队伍，通信员用多少时间可追上队伍？设通信员用x小时追上队伍，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
3.中国古代的数学专著《九章算术》有方程问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．”设每只雀、燕的重量各为两，两，可得方程组是___．
【综合拓展类作业】选做题 1-2
4.甲、乙两个工人按计划一个月应生产680个零件，结果甲超额完成计划的20%，乙超额完成计划的15%，两人一共多生产118个零件，则原计划甲、乙各生产零件数为（ ）
A．320，360 B．360，320 C．300，380 D．380，380
5.根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2：5。某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？
【答案】
课堂练习
【必做题】3-4
1.答案：B
2.答案：A
解：设1辆大车可以运货x吨，1辆大车可以运货y吨.
根据题意，有
解这个方程组，得
3×4+5×2.5=24.5（吨）
答：3辆大车与5辆小车一次可以运货24.5吨
【选做题】2
4.答案：m+n=2。
5.答案：设改变后篮球场的面积为x平方米，绿化带的面积为y平方米。
根据题意可列方程组
x+y=600
y=25%x
将y=25%x代入x+y=600得：
x+25%x=600
1.25x=600
x=480
把x=480代入y=25%x得：y=25%×480=120。
答：改变后篮球场的面积为480平方米，绿化带的面积为120平方米。
【综合拓展作业】1-2
6.答案：
设改变后农田的种植面积为x公顷，果树的种植面积为y公顷。
根据题意可列方程组{x+y=180y=40%x
将y=40%x代入x+y=180得：
x+40%x=180
1.4x=180
x=7900 ≈128.57
把x=7900 代入y=40%x得：y=40%×7900 =7360 ≈51.43。
答：改变后农田的种植面积约为128.57公顷，果树的种植面积约为51.43公顷。
作业：【知识技能类作业】 必做题 3-4
1.答案：A
2.答案：B
3.答案：
5x+6y=16
3x 4y=0
【综合拓展类作业】选做题 1-2
4.答案：A
5.解：设这些消毒液应该分装大瓶产品x瓶，小瓶产品y瓶
根据题目，可列变形可得5x=2y
22.5吨=22.5×1000000=22500000克
500x+250y=22500000，两边同时除以250化简可得2x+y=90000。
可得到方程组
解得：这些消毒液应该分装大瓶产品20000瓶，小瓶产品50000瓶。
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