第二章 直线和圆的方程 章末闯关试题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
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| 名称 | 第二章 直线和圆的方程 章末闯关试题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 717.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-13 17:29:18 | ||
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文档简介
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第二章 直线和圆的方程 章末闯关试题
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．直线被圆所截得的弦长为（ ）
A． B．1 C． D．2
2．三条直线，，的位置如图所示，它们的斜率分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．若直线过两点，则直线的一般式方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．直线与直线平行，则（ ）
A．0 B．1 C． D．1或
5．圆上的点到直线的最大距离是（ ）
A． B． C． D．
6．不论k为任何实数，直线恒过定点，则这个定点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．点在圆：上运动，点，当直线的斜率最大时，直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．“”是“方程表示圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
9．已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
10．已知直线和圆，则（ ）
A．直线l恒过定点
B．存在k使得直线l与直线垂直
C．直线l与圆O相交
D．若，直线l被圆O截得的弦长为4
11．已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
三、填空题
12．圆关于直线对称，则 ．
13．已知直线l与直线的倾斜角相等，且直线过点，则直线l的方程为 .
14．已知常数，若关于x的方程有且仅有一个实数解，则m的取值范围是 .
15．从直线上的任意一点作圆的两条切线，切点为，则弦长度的最小值为 ．
四、解答题
16．已知直线l1经过，直线l2经过点.
(1)若l1∥l2，求的值；
(2)若l1⊥l2，求的值.
17．已知点，直线，直线.
(1)求点A关于直线的对称点B的坐标；
(2)求直线关于直线的对称直线方程.
18．已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点.
(1)求AB边所在的直线方程；
(2)求中线AM的长
(3)求AB边的高所在直线方程.
19．已知圆与圆．
(1)求证：圆与圆相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程；
(3)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程．
20．定义直线关于圆的圆心距单位：圆心到直线的距离与圆的半径之比.显然有：当直线与圆相交时，圆心距单位小于1；当直线与圆相切时，圆心距单位等于1；当直线与圆相离时，圆心距单位大于1.
（1）设圆，求过点的直线关于圆的圆心距单位的直线方程；
（2）若圆与轴相切于点，且直线关于圆的圆心距单位，求此圆的方程；
（3）是否存在点,使过的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆与的圆心距单位始终相等？若存在，求出相应的点坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．C
根据圆的方程，写出圆心和半径，利用点到直线的距离公式，求得弦心距，利用弦长公式，可得答案.
由圆的方程，则其圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
则弦长.
故选：C.
2．B
根据直线的倾斜角与斜率的关系判断即可.
设三条直线，，的倾斜角为,
由图可知,
所以.
故选：B.
3．A
根据已知条件利用直线方程的截距式求解即可
因为直线过两点，
所以直线的方程为，即，
故选：A
4．B
由已知结合直线的一般式方程平行条件建立关于的方程，可求．
解：因为直线与直线平行，
所以，
所以或，
当时，直线与直线重合，舍去，
故．
故选：B．
5．C
将圆的一般方程化为标准方程得圆心及半径，圆上点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径.
圆化为标准方程得，
圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为
所以圆上的点到直线的最大距离为.
故选:C.
6．B
直线方程即，一定经过和 的交点，联立方程组可求定点的坐标．
直线
即，
根据的任意性可得，解得，
不论取什么实数时，直线都经过一个定点．
故选：B
7．C
设直线的方程为，利用圆心到直线的距离小于等于1，从而得到不等式，即可得到的最大值.
设直线的方程为，即，
，即，则圆心，半径，
则由题意得圆心到直线的距离小于等于1，
，解得，则的最大值为，
此时直线的方程为，化简得，
故选：C.
8．A
根据二元二次方程表示圆的充要条件是可得答案.
因为方程，即表示圆，
等价于0，解得或.
故“”是“方程表示圆”的充分不必要条件.
故选：A
9．ABD
转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，
所以，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
10．BC
利用直线系方程求出直线所过定点坐标判断A、C；求出使得直线与直线垂直的值判断B；根据弦长公式求出弦长可判断D.
解：对于A、C，由，得，令，解得，
所以直线恒过定点，故A错误；
因为直线恒过定点，而，即在圆内，
所以直线l与圆O相交，故C正确；
对于B，直线的斜率为，则当时，满足直线与直线垂直，故B正确；
对于D，时，直线，圆心到直线的距离为，
所以直线l被圆O截得的弦长为，故D错误.
故选：BC.
11．ACD
计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
12．3
由题分析知直线过圆心，代入圆心坐标即可.
由可得圆的标准方程为：，
则由题意得直线过圆心，代入直线方程有，解得，
故答案为：3.
13．
求出直线的斜率，利用点斜式求直线方程即可.
直线l与直线的倾斜角相等，可得直线的斜率为2，
直线过点，则直线l的方程为，即．
故答案为：．
14．,
将问题转化为直线与曲线只有一个交点，作出图象，结合图象求解即可．
由，可得，
由题意可得，
即直线与曲线只有一个交点，
又因为曲线表求以原点为圆心，2为半径且位于轴上及上方的半圆，
如图所示：
当直线过时，，此时直线与半圆只有一个交点，
当直线过点时，，此时直线与半圆有两个交点，
结合图象，当直线与半圆相切时，，
综上所述，的取值范围是,．
故答案为：,．
15．
设，易知的极线方程为，即可得弦必过，易得圆上，过的最短的弦长为．
16．(1)＝1或＝6
(2)＝3或＝－4
（1）由两直线的斜率相等列方程可求出的值，
（2）由k1k2＝－1，可求出的值.
（1）由题知直线l2的斜率存在且，
若l1∥l2，则直线l1的斜率也存在，由k1＝k2，
得，解得m＝1或m＝6，
经检验，当m＝1或m＝6时，l1∥l2.
（2）若l1⊥l2，当k2＝0时，
此时m＝0，l1斜率存在，不符合题意；
当k2≠0时，直线l2的斜率存在且不为0，
则直线l1的斜率也存在，且k1k2＝－1，
即，
解得m＝3或m＝－4，
所以当m＝3或m＝－4时，l1⊥l2.
17．(1)
(2)
（1）设点，则由题意可得，解方程组求出，从而可得点B的坐标，
（2）先求出两直线的交点坐标，再在直线上任取一点，求出其关于直线的对称点，从而可求出直线关于直线的对称直线方程
（1）设点，则由题意可得，
解得，
所以点B的坐标为，
（2）由，得，所以两直线交于点，
在直线上取一点，设其关于直线的对称点为，则
，解得，即，
所以，
所以直线为，即，
所以直线关于直线的对称直线方程为
18．(1)；
(2)；
(3).
（1）由两点式写出直线方程，整理为一般式即可，也可求出斜率，再由点斜式得直线方程；
（2）由中点坐标公式求得中点坐标，再由两点间距离公式计算可得；
（3）先求直线AB的斜率，由垂直关系可得AB边高线的斜率，可得高线的点斜式方程，化为一般式即可.
（1）法一：由两点式写方程得，即；
法二：直线的斜率为，
直线的方程为，即；
（2）设的坐标为，则由中点坐标公式可得，故，
所以；
（3）直线AB的斜率为，
所以由垂直关系可得AB边高线的斜率为，
故AB边的高所在直线方程为,化为一般式可得：.
19．(1)证明见解析
(2)
(3)
（1）将两圆方程化成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心距，即可证明；
（2）将两圆方程作差，即可求出公共弦方程；
（3）首先求出两圆的交点坐标，设圆心为，根据得到方程，即可求出，从而求出圆心坐标与半径，从而得到圆的方程.
（1）证明：圆：化为标准方程为，
，
圆的圆心坐标为，半径为，
，
，两圆相交；
（2）解：由圆与圆，
将两圆方程相减，可得，
即两圆公共弦所在直线的方程为；
（3）解：由，解得，
则交点为，，
圆心在直线上，设圆心为，
则，即，解得，
故圆心，半径，
所求圆的方程为．
20．（1） ；（2） 或；（3）存在或.
（1）先运用直线的点斜式方程，建构直线方程，再运用点到直线的距离公式待定斜率；
（2）由已知可设圆心为，借助题设建构方程求出即可；
（3）可先设点的坐标为，再依据题设建构关于的方程组，最后通过解方程组可使本题获解.
（1）因为圆的半径为1，
所以圆心距单位等价于圆心到直线的距离等于，
设过点的直线方程为：即，
则由题意有，解得，
所以所求直线的方程为：.
（2）由题设，由已知可设圆心为，
则所求圆的方程为：或，
又直线关于圆的圆心距单位，
所以圆心到直线的距离为，
即有或3，
所以所求圆的方程为或.
（3）假设存在点，设过的两条直线为：
和，
又的圆心半径为1，
的圆心半径为2，
由题意可得，
化简可得或，
即有或，
解得或，
所以存在这样的点和 满足条件.
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第二章 直线和圆的方程 章末闯关试题
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．直线被圆所截得的弦长为（ ）
A． B．1 C． D．2
2．三条直线，，的位置如图所示，它们的斜率分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．若直线过两点，则直线的一般式方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．直线与直线平行，则（ ）
A．0 B．1 C． D．1或
5．圆上的点到直线的最大距离是（ ）
A． B． C． D．
6．不论k为任何实数，直线恒过定点，则这个定点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．点在圆：上运动，点，当直线的斜率最大时，直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．“”是“方程表示圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
9．已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
10．已知直线和圆，则（ ）
A．直线l恒过定点
B．存在k使得直线l与直线垂直
C．直线l与圆O相交
D．若，直线l被圆O截得的弦长为4
11．已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
三、填空题
12．圆关于直线对称，则 ．
13．已知直线l与直线的倾斜角相等，且直线过点，则直线l的方程为 .
14．已知常数，若关于x的方程有且仅有一个实数解，则m的取值范围是 .
15．从直线上的任意一点作圆的两条切线，切点为，则弦长度的最小值为 ．
四、解答题
16．已知直线l1经过，直线l2经过点.
(1)若l1∥l2，求的值；
(2)若l1⊥l2，求的值.
17．已知点，直线，直线.
(1)求点A关于直线的对称点B的坐标；
(2)求直线关于直线的对称直线方程.
18．已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点.
(1)求AB边所在的直线方程；
(2)求中线AM的长
(3)求AB边的高所在直线方程.
19．已知圆与圆．
(1)求证：圆与圆相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程；
(3)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程．
20．定义直线关于圆的圆心距单位：圆心到直线的距离与圆的半径之比.显然有：当直线与圆相交时，圆心距单位小于1；当直线与圆相切时，圆心距单位等于1；当直线与圆相离时，圆心距单位大于1.
（1）设圆，求过点的直线关于圆的圆心距单位的直线方程；
（2）若圆与轴相切于点，且直线关于圆的圆心距单位，求此圆的方程；
（3）是否存在点,使过的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆与的圆心距单位始终相等？若存在，求出相应的点坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．C
根据圆的方程，写出圆心和半径，利用点到直线的距离公式，求得弦心距，利用弦长公式，可得答案.
由圆的方程，则其圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
则弦长.
故选：C.
2．B
根据直线的倾斜角与斜率的关系判断即可.
设三条直线，，的倾斜角为,
由图可知,
所以.
故选：B.
3．A
根据已知条件利用直线方程的截距式求解即可
因为直线过两点，
所以直线的方程为，即，
故选：A
4．B
由已知结合直线的一般式方程平行条件建立关于的方程，可求．
解：因为直线与直线平行，
所以，
所以或，
当时，直线与直线重合，舍去，
故．
故选：B．
5．C
将圆的一般方程化为标准方程得圆心及半径，圆上点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径.
圆化为标准方程得，
圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为
所以圆上的点到直线的最大距离为.
故选:C.
6．B
直线方程即，一定经过和 的交点，联立方程组可求定点的坐标．
直线
即，
根据的任意性可得，解得，
不论取什么实数时，直线都经过一个定点．
故选：B
7．C
设直线的方程为，利用圆心到直线的距离小于等于1，从而得到不等式，即可得到的最大值.
设直线的方程为，即，
，即，则圆心，半径，
则由题意得圆心到直线的距离小于等于1，
，解得，则的最大值为，
此时直线的方程为，化简得，
故选：C.
8．A
根据二元二次方程表示圆的充要条件是可得答案.
因为方程，即表示圆，
等价于0，解得或.
故“”是“方程表示圆”的充分不必要条件.
故选：A
9．ABD
转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，
所以，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
10．BC
利用直线系方程求出直线所过定点坐标判断A、C；求出使得直线与直线垂直的值判断B；根据弦长公式求出弦长可判断D.
解：对于A、C，由，得，令，解得，
所以直线恒过定点，故A错误；
因为直线恒过定点，而，即在圆内，
所以直线l与圆O相交，故C正确；
对于B，直线的斜率为，则当时，满足直线与直线垂直，故B正确；
对于D，时，直线，圆心到直线的距离为，
所以直线l被圆O截得的弦长为，故D错误.
故选：BC.
11．ACD
计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
12．3
由题分析知直线过圆心，代入圆心坐标即可.
由可得圆的标准方程为：，
则由题意得直线过圆心，代入直线方程有，解得，
故答案为：3.
13．
求出直线的斜率，利用点斜式求直线方程即可.
直线l与直线的倾斜角相等，可得直线的斜率为2，
直线过点，则直线l的方程为，即．
故答案为：．
14．,
将问题转化为直线与曲线只有一个交点，作出图象，结合图象求解即可．
由，可得，
由题意可得，
即直线与曲线只有一个交点，
又因为曲线表求以原点为圆心，2为半径且位于轴上及上方的半圆，
如图所示：
当直线过时，，此时直线与半圆只有一个交点，
当直线过点时，，此时直线与半圆有两个交点，
结合图象，当直线与半圆相切时，，
综上所述，的取值范围是,．
故答案为：,．
15．
设，易知的极线方程为，即可得弦必过，易得圆上，过的最短的弦长为．
16．(1)＝1或＝6
(2)＝3或＝－4
（1）由两直线的斜率相等列方程可求出的值，
（2）由k1k2＝－1，可求出的值.
（1）由题知直线l2的斜率存在且，
若l1∥l2，则直线l1的斜率也存在，由k1＝k2，
得，解得m＝1或m＝6，
经检验，当m＝1或m＝6时，l1∥l2.
（2）若l1⊥l2，当k2＝0时，
此时m＝0，l1斜率存在，不符合题意；
当k2≠0时，直线l2的斜率存在且不为0，
则直线l1的斜率也存在，且k1k2＝－1，
即，
解得m＝3或m＝－4，
所以当m＝3或m＝－4时，l1⊥l2.
17．(1)
(2)
（1）设点，则由题意可得，解方程组求出，从而可得点B的坐标，
（2）先求出两直线的交点坐标，再在直线上任取一点，求出其关于直线的对称点，从而可求出直线关于直线的对称直线方程
（1）设点，则由题意可得，
解得，
所以点B的坐标为，
（2）由，得，所以两直线交于点，
在直线上取一点，设其关于直线的对称点为，则
，解得，即，
所以，
所以直线为，即，
所以直线关于直线的对称直线方程为
18．(1)；
(2)；
(3).
（1）由两点式写出直线方程，整理为一般式即可，也可求出斜率，再由点斜式得直线方程；
（2）由中点坐标公式求得中点坐标，再由两点间距离公式计算可得；
（3）先求直线AB的斜率，由垂直关系可得AB边高线的斜率，可得高线的点斜式方程，化为一般式即可.
（1）法一：由两点式写方程得，即；
法二：直线的斜率为，
直线的方程为，即；
（2）设的坐标为，则由中点坐标公式可得，故，
所以；
（3）直线AB的斜率为，
所以由垂直关系可得AB边高线的斜率为，
故AB边的高所在直线方程为,化为一般式可得：.
19．(1)证明见解析
(2)
(3)
（1）将两圆方程化成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心距，即可证明；
（2）将两圆方程作差，即可求出公共弦方程；
（3）首先求出两圆的交点坐标，设圆心为，根据得到方程，即可求出，从而求出圆心坐标与半径，从而得到圆的方程.
（1）证明：圆：化为标准方程为，
，
圆的圆心坐标为，半径为，
，
，两圆相交；
（2）解：由圆与圆，
将两圆方程相减，可得，
即两圆公共弦所在直线的方程为；
（3）解：由，解得，
则交点为，，
圆心在直线上，设圆心为，
则，即，解得，
故圆心，半径，
所求圆的方程为．
20．（1） ；（2） 或；（3）存在或.
（1）先运用直线的点斜式方程，建构直线方程，再运用点到直线的距离公式待定斜率；
（2）由已知可设圆心为，借助题设建构方程求出即可；
（3）可先设点的坐标为，再依据题设建构关于的方程组，最后通过解方程组可使本题获解.
（1）因为圆的半径为1，
所以圆心距单位等价于圆心到直线的距离等于，
设过点的直线方程为：即，
则由题意有，解得，
所以所求直线的方程为：.
（2）由题设，由已知可设圆心为，
则所求圆的方程为：或，
又直线关于圆的圆心距单位，
所以圆心到直线的距离为，
即有或3，
所以所求圆的方程为或.
（3）假设存在点，设过的两条直线为：
和，
又的圆心半径为1，
的圆心半径为2，
由题意可得，
化简可得或，
即有或，
解得或，
所以存在这样的点和 满足条件.
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