第6章 平行四边形
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.如图所示,在四边形ABCD中,已知AB∥CD,添加一个条件,可使四边形ABCD是平行四边形.下列条件不符合要求的是( )
A.BC∥AD B.BC=AD C.AB=CD D.∠A+∠B=180°
2.下列命题中是真命题的是( )
A.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D.两条对角线相等的四边形是矩形
3.在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列结论中不一定正确的是( )
A.AB=AD B.AC⊥BD
C.∠DAC=∠BAC D.AC=BD
4.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AC上一点,连接BD,点P是BD的中点.若∠A=∠DBA,AD=8,则CP的长为( )
A.8 B.4 C.16 D.6
5.如图所示,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH,若OA=6,OH=4,则菱形ABCD的面积为( )
A.24 B.48 C.72 D.96
6.如图所示,在任意四边形ABCD中,M,N,P,Q分别是AB,BC,CD,DA上的中点,对于四边形MNPQ的形状,下列结论错误的是( )
A.四边形MNPQ一定为平行四边形
B.若四边形ABCD是菱形,则四边形MNPQ为正方形
C.当AC=BD时,四边形MNPQ为菱形
D.当AC⊥BD时,四边形MNPQ为矩形
7.如图所示,在△ABC中,∠B=50°,CD⊥AB于点D,∠BCD和∠BDC的平分线相交于点E,点F为边AC的中点,CD=CF,则∠ACD+∠CED等于( )
A.125° B.145° C.175° D.190°
8.如图所示,在△ABC中,AD平分∠BAC,按如下步骤作图:第一步,分别以点A,D为圆心,以大于AD的一半长为半径在AD两侧作弧,交于两点M,N;第二步,作直线MN,分别交AB,AC于点E,F;第三步,连接DE,DF,则得到的四边形AEDF的形状是( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
9.如图所示,四边形ABCD是正方形,以CD为边作等边三角形CDE,BE与AC相交于点M,则∠AMD的度数是( )
A.75° B.60° C.54° D.67.5°
10.如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BC上一点,沿DE折叠,点C恰好落在点O处,则∠DBC的度数为( )
A.15° B.22.5° C.30° D.45°
11.如图所示,在△ABC中,AB=8,AC=5,AD,AE分别是角平分线和中线,过点C作CF⊥AD于点F,连接EF,则线段EF的长为( )
A. B.3 C.4 D.1
12.如图所示,在平行四边形ABCD中,AD=2AB=2,∠ABC=60°,E,F是对角线BD上的动点,且BE=DF,M,N分别是边AD,边BC上的动点.有下列四种说法:①存在无数个平行四边形MENF;②存在无数个矩形MENF;③存在无数个菱形MENF;④存在无数个正方形MENF.其中正确说法的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(每小题3分,共15分)
13.如图所示,在 ABCD中,点E,F分别是AB,CD边上的点,且∠ADE=∠CBF,连接BD,EF.补充一个条件,可使四边形EBFD是菱形,这个条件是 .
14.如图所示,在Rt△ABC中,BO是斜边的中线,EF是△OAB的中位线,若AC=8,则EF的长为 .
15.在平行四边形ABCD中,AB=2,BC=3,若AC=BD,那么平行四边形ABCD的面积为 .
16.如图所示,正方形OABC在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标是(3,2),则点B的坐标是 .
17.如图所示,以△ABC的三边为边分别作等边三角形:△ACD,△ABE,△BCF.∠BAC≠60°,有下列结论:①△EBF≌△DFC;②四边形AEFD为平行四边形;③当AB=AC时,四边形AEFD是菱形;④当∠BAC=90°时,四边形AEFD是矩形.其中正确的结论是 .(填序号)
三、解答题(共49分)
18.(6分)如图所示,在 ABCD中,DF平分∠ADC,交AB于点F,BE∥DF,交AD的延长线于点E.若∠A=40°,求∠ABE的度数.
19.(6分)如图所示,在△ABC中,AD是BC边的中线,F是AC上一点,且满足2AF=CF,连接DF,BF,BF与AD相交于点E.若G为线段BF上一动点,连接AG,DG,当点G在何位置时,四边形AFDG为平行四边形 请说明理由.
20.(8分)如图所示,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DE∥AC,且DE=AC,连接CE.
(1)求证:四边形OCED为矩形;
(2)若DB=6,AC=8,求菱形ABCD的面积.
21.(8分)如图所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D,E分别是边BC,AC的中点,连接ED并延长到点F,使DF=ED,连接BE,BF,CF,AD.
(1)求证:四边形BFCE是菱形;
(2)若BC=6,EF=3,求AD的长.
22.(9分)如图所示,在△ABC中,O为AC上的任意一点(不与A,C重合),过点O作直线l∥BC,直线l与∠BCA的平分线相交于点E,与∠DCA
(∠BCA的邻补角)的平分线相交于点F,连接AE,AF.
(1)OE=OF吗 为什么
(2)点O在何处时,四边形AECF为矩形 为什么
(3)△ABC满足什么条件时,(2)中的四边形AECF是正方形 为什么
23.(12分)【问题解决】
如图①所示,在矩形ABCD中,点E,F分别在AB,BC边上,DE=AF,DE⊥AF于点G.
(1)求证:四边形ABCD是正方形.
(2)延长CB到点H,使得BH=AE,请判断△AHF的形状,并说明理由.
【类比迁移】
(3)如图②所示,在菱形ABCD中,点E,F分别在AB,BC边上,DE与AF相交于点G,DE=AF,∠AED=60°,AE=6,BF=2,求DE的长.第6章 平行四边形
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.如图所示,在四边形ABCD中,已知AB∥CD,添加一个条件,可使四边形ABCD是平行四边形.下列条件不符合要求的是(B)
A.BC∥AD B.BC=AD C.AB=CD D.∠A+∠B=180°
2.下列命题中是真命题的是(A)
A.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D.两条对角线相等的四边形是矩形
3.在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列结论中不一定正确的是(D)
A.AB=AD B.AC⊥BD
C.∠DAC=∠BAC D.AC=BD
4.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AC上一点,连接BD,点P是BD的中点.若∠A=∠DBA,AD=8,则CP的长为(B)
A.8 B.4 C.16 D.6
5.如图所示,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH,若OA=6,OH=4,则菱形ABCD的面积为(B)
A.24 B.48 C.72 D.96
6.如图所示,在任意四边形ABCD中,M,N,P,Q分别是AB,BC,CD,DA上的中点,对于四边形MNPQ的形状,下列结论错误的是(B)
A.四边形MNPQ一定为平行四边形
B.若四边形ABCD是菱形,则四边形MNPQ为正方形
C.当AC=BD时,四边形MNPQ为菱形
D.当AC⊥BD时,四边形MNPQ为矩形
7.如图所示,在△ABC中,∠B=50°,CD⊥AB于点D,∠BCD和∠BDC的平分线相交于点E,点F为边AC的中点,CD=CF,则∠ACD+∠CED等于(C)
A.125° B.145° C.175° D.190°
8.如图所示,在△ABC中,AD平分∠BAC,按如下步骤作图:第一步,分别以点A,D为圆心,以大于AD的一半长为半径在AD两侧作弧,交于两点M,N;第二步,作直线MN,分别交AB,AC于点E,F;第三步,连接DE,DF,则得到的四边形AEDF的形状是(C)
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
9.如图所示,四边形ABCD是正方形,以CD为边作等边三角形CDE,BE与AC相交于点M,则∠AMD的度数是(B)
A.75° B.60° C.54° D.67.5°
10.如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BC上一点,沿DE折叠,点C恰好落在点O处,则∠DBC的度数为(C)
A.15° B.22.5° C.30° D.45°
11.如图所示,在△ABC中,AB=8,AC=5,AD,AE分别是角平分线和中线,过点C作CF⊥AD于点F,连接EF,则线段EF的长为(A)
A. B.3 C.4 D.1
12.如图所示,在平行四边形ABCD中,AD=2AB=2,∠ABC=60°,E,F是对角线BD上的动点,且BE=DF,M,N分别是边AD,边BC上的动点.有下列四种说法:①存在无数个平行四边形MENF;②存在无数个矩形MENF;③存在无数个菱形MENF;④存在无数个正方形MENF.其中正确说法的个数是(C)
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(每小题3分,共15分)
13.如图所示,在 ABCD中,点E,F分别是AB,CD边上的点,且∠ADE=∠CBF,连接BD,EF.补充一个条件,可使四边形EBFD是菱形,这个条件是 BD⊥EF(答案不唯一) .
14.如图所示,在Rt△ABC中,BO是斜边的中线,EF是△OAB的中位线,若AC=8,则EF的长为 2 .
15.在平行四边形ABCD中,AB=2,BC=3,若AC=BD,那么平行四边形ABCD的面积为 6 .
16.如图所示,正方形OABC在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标是(3,2),则点B的坐标是 (1,5) .
17.如图所示,以△ABC的三边为边分别作等边三角形:△ACD,△ABE,△BCF.∠BAC≠60°,有下列结论:①△EBF≌△DFC;②四边形AEFD为平行四边形;③当AB=AC时,四边形AEFD是菱形;④当∠BAC=90°时,四边形AEFD是矩形.其中正确的结论是 ①②③ .(填序号)
三、解答题(共49分)
18.(6分)如图所示,在 ABCD中,DF平分∠ADC,交AB于点F,BE∥DF,交AD的延长线于点E.若∠A=40°,求∠ABE的度数.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠A+∠ADC=180°.
∵∠A=40°,
∴∠ADC=140°.
∵DF平分∠ADC,
∴∠CDF=∠ADC=70°,
∴∠AFD=70°.
∵DF∥BE,
∴∠ABE=∠AFD=70°.
19.(6分)如图所示,在△ABC中,AD是BC边的中线,F是AC上一点,且满足2AF=CF,连接DF,BF,BF与AD相交于点E.若G为线段BF上一动点,连接AG,DG,当点G在何位置时,四边形AFDG为平行四边形 请说明理由.
解:当点G为线段BF的中点时,四边形AFDG为平行四边形.理由如下:
∵AD是BC边的中线,∴BD=CD.
∵点G为线段BF的中点,
∴DG是△BCF的中位线,
∴DG∥CF,2DG=CF.
∵2AF=CF,∴DG=AF.
又∵DG∥AF,
∴四边形AFDG为平行四边形.
20.(8分)如图所示,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DE∥AC,且DE=AC,连接CE.
(1)求证:四边形OCED为矩形;
(2)若DB=6,AC=8,求菱形ABCD的面积.
(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AO=OC=AC,
∴∠DOC=90°.
∵DE∥AC,DE=AC,
∴DE=OC,DE∥OC,
∴四边形OCED是平行四边形.
又∵∠DOC=90°,∴平行四边形OCED是矩形.
(2)解:∵四边形ABCD是菱形,DB=6,AC=8,
∴菱形ABCD的面积=AC·BD=×8×6=24.
21.(8分)如图所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D,E分别是边BC,AC的中点,连接ED并延长到点F,使DF=ED,连接BE,BF,CF,AD.
(1)求证:四边形BFCE是菱形;
(2)若BC=6,EF=3,求AD的长.
(1)证明:∵点D是BC的中点,∴BD=CD.
又∵DF=ED,∴四边形BFCE是平行四边形.
∵点D,E分别是边BC,AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥AB,
∴∠CDE=∠ABC=90°,即DE⊥BC,
∴平行四边形BFCE是菱形.
(2)解:∵BC=6,EF=3,
∴BD=BC=3,ED=EF=.
∵DE是△ABC的中位线,∴AB=2DE=3,
∴在Rt△ABD中,AD==3.
22.(9分)如图所示,在△ABC中,O为AC上的任意一点(不与A,C重合),过点O作直线l∥BC,直线l与∠BCA的平分线相交于点E,与∠DCA
(∠BCA的邻补角)的平分线相交于点F,连接AE,AF.
(1)OE=OF吗 为什么
(2)点O在何处时,四边形AECF为矩形 为什么
(3)△ABC满足什么条件时,(2)中的四边形AECF是正方形 为什么
解:(1)OE=OF.理由:
∵直线l∥BC,∴∠OEC=∠ECB.
∵CE平分∠ACB,∴∠OCE=∠BCE,
∴∠OEC=∠OCE,∴OE=OC.
同理OF=OC,∴OE=OF.
(2)当点O在AC的中点处时,四边形AECF是矩形.
理由:∵OA=OC,OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形.
由(1),知OE=OF=OC,
∴AC=EF,
∴平行四边形AECF是矩形.
(3)当△ACB满足∠ACB=90°时,矩形AECF是正方形.
理由:∵直线l∥BC,∠ACB=90°,
∴∠AOE=∠ACB=90°,∴AC⊥EF,
∴矩形AECF是正方形.
23.(12分)【问题解决】
如图①所示,在矩形ABCD中,点E,F分别在AB,BC边上,DE=AF,DE⊥AF于点G.
(1)求证:四边形ABCD是正方形.
(2)延长CB到点H,使得BH=AE,请判断△AHF的形状,并说明理由.
【类比迁移】
(3)如图②所示,在菱形ABCD中,点E,F分别在AB,BC边上,DE与AF相交于点G,DE=AF,∠AED=60°,AE=6,BF=2,求DE的长.
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=∠ABC=90°,
∴∠BAF+∠DAF=90°.
∵DE⊥AF,∴∠AGD=90°,
∴∠ADE+∠DAF=90°,
∴∠ADE=∠BAF.
又∵DE=AF,
∴△ADE≌△BAF(AAS),∴AD=AB.
∵四边形ABCD是矩形,
∴矩形ABCD是正方形.
(2)解:△AHF是等腰三角形.
理由:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DAB=∠ABH=90°,AB=DA.
又∵BH=AE,
∴△DAE≌△ABH(SAS),
∴AH=DE.
∵DE=AF,∴AH=AF,
∴△AHF是等腰三角形.
(3)解:如图所示,延长CB到点H,使BH=AE,连接AH.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,AB=AD,
∴∠ABH=∠BAD.
又∵BH=AE,∴△DAE≌△ABH(SAS),
∴AH=DE,∠AHB=∠DEA=60°.
∵DE=AF,∴AH=AF,
∴△AHF是等边三角形,
∴AH=HF=HB+BF=AE+BF=6+2=8,
∴DE=AH=8.
