第7章 实数
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.有下列四个实数:0,,,2π.其中,无理数有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.下列命题中正确的是( )
A.-9没有立方根 B.两个无理数之和一定是无理数
C.实数不是有理数就是无理数 D.无理数都是带根号的数
3.以下计算正确的是( )
A.=±2 B.=3
C.=-2 D.±=±4
4.下列各组线段中,能够组成直角三角形的一组是( )
A.2,3,4 B.2,4,5 C.4,5,6 D.1,,
5.如图所示,正方形ABCD的面积为169 cm2,△ABP为直角三角形,
∠P=90°,PB=5 cm,则AP的长为( )
A.13 cm B.12 cm C.5 cm D. cm
6.已知x,y为实数,且+2|y+1|=0,则x-y的平方根为( )
A. B.2 C.± D.±2
7.计算++的结果为( )
A.10 B.9 C.9 D.
8.已知432=1 849,442=1 936,452=2 025,462=2 116.若n为整数且n<A.43 B.44 C.45 D.46
9.如图所示,数轴上的点A表示的数是1,OB⊥OA,垂足为O,且BO=1,以点A为圆心,AB为半径画弧交数轴于点C,则点C表示的数为( )
A.-0.4 B.- C.1- D.-1
10.在证明勾股定理时,甲、乙两名同学给出如图所示的两种方案,则( )
甲 乙
A.甲对 B.乙对
C.甲、乙都对 D.甲、乙都不对
11.如图所示,在矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=6,将△ABC沿AC折叠,使点B落在点E处,CE交AD于点F,则DF的长为( )
A. B. C. D.
12.如图所示,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,且有一点P从点B沿着BD往点D移动,若过点P作AB的垂线交AB于点E,过点P作AD的垂线交AD于点F,连接EF,则EF的长度最小为( )
A. B. C.5 D.7
二、填空题(每小题3分,共15分)
13.9的算术平方根是 .
14.如图所示是一个数值转换器,当输入x的值为625时,输出y的值为 .
15.一个直角三角形的两边长分别为1和2,则第三边长为 .
16.为了比较+1与的大小,可以构造如图所示的图形进行推算,其中∠C=90°,BC=3,D在BC上且BD=AC=1.通过计算可得+1
.(填“>”“<”或“=”)
17.我国古代数学家赵爽利用“弦图”证明了勾股定理,小明同学在研究边长为7的“弦图”(如图①所示)时,发现将其中的四个全等的直角三角形取出,可以分别拼成如图②所示的边长为9的正方形和如图③所示的菱形,则图③中菱形的面积为 .
① ② ③
三、解答题(共49分)
18.(6分)若(a+1)2+|b-2|+=0,求a(b+c)的值.
19.(8分)计算:
(1)×(π-3.14)0-|-1|+()2;
(2)-22++(π-)0+;
(3)(-)×(-2)2-+;
(4)--32-|1-|+.
20.(9分)已知a是-27的立方根,=3,c=|1-|-(-).
(1)求a,b,c的值;
(2)求b-a-c的平方根;
(3)若在△ABC中,AC=b,AB=,BC=,判断△ABC的形状,并说明理由.
21.(12分)某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园,如图所示,∠ACB=90°,AC=40米,BC=30米,线段CD是一条水渠,且D点在边AB上,已知水渠的造价为1 000元/米,则当水渠的造价最低时,CD的长为多少米 最低造价是多少元
22.(14分)(2024潍坊期中)我们已经学习了勾股定理:在直角三角形中,如果两条直角边分别为a与b,斜边为c,那么a2+b2=c2.还有勾股定理的逆定理:如果三角形三边满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
(1)小明发现证明勾股定理的新方法:如图①所示,在正方形ACDE边CD上取点B,连接AB,得到Rt△ACB,三边长分别为a,b,c,剪下△ACB并把它拼接到△AEF的位置,如图②所示,请利用面积不变证明勾股
定理.
(2)一个零件的形状如图③所示,按规定这个零件中∠A和∠C都应是直角,小明测得这个零件各边尺寸(单位:cm)如图③所示,这个零件符合要求吗 请说明理由.
① ② ③第7章 实数
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.有下列四个实数:0,,,2π.其中,无理数有(C)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.下列命题中正确的是(C)
A.-9没有立方根 B.两个无理数之和一定是无理数
C.实数不是有理数就是无理数 D.无理数都是带根号的数
3.以下计算正确的是(D)
A.=±2 B.=3
C.=-2 D.±=±4
4.下列各组线段中,能够组成直角三角形的一组是( D )
A.2,3,4 B.2,4,5 C.4,5,6 D.1,,
5.如图所示,正方形ABCD的面积为169 cm2,△ABP为直角三角形,
∠P=90°,PB=5 cm,则AP的长为(B)
A.13 cm B.12 cm C.5 cm D. cm
6.已知x,y为实数,且+2|y+1|=0,则x-y的平方根为(D)
A. B.2 C.± D.±2
7.计算++的结果为(A)
A.10 B.9 C.9 D.
8.已知432=1 849,442=1 936,452=2 025,462=2 116.若n为整数且n<A.43 B.44 C.45 D.46
9.如图所示,数轴上的点A表示的数是1,OB⊥OA,垂足为O,且BO=1,以点A为圆心,AB为半径画弧交数轴于点C,则点C表示的数为(C)
A.-0.4 B.- C.1- D.-1
10.在证明勾股定理时,甲、乙两名同学给出如图所示的两种方案,则(A)
甲 乙
A.甲对 B.乙对
C.甲、乙都对 D.甲、乙都不对
11.如图所示,在矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=6,将△ABC沿AC折叠,使点B落在点E处,CE交AD于点F,则DF的长为(B)
A. B. C. D.
12.如图所示,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,且有一点P从点B沿着BD往点D移动,若过点P作AB的垂线交AB于点E,过点P作AD的垂线交AD于点F,连接EF,则EF的长度最小为(B)
A. B. C.5 D.7
二、填空题(每小题3分,共15分)
13.9的算术平方根是 3 .
14.如图所示是一个数值转换器,当输入x的值为625时,输出y的值为 .
15.一个直角三角形的两边长分别为1和2,则第三边长为 或 .
16.为了比较+1与的大小,可以构造如图所示的图形进行推算,其中∠C=90°,BC=3,D在BC上且BD=AC=1.通过计算可得+1
> .(填“>”“<”或“=”)
17.我国古代数学家赵爽利用“弦图”证明了勾股定理,小明同学在研究边长为7的“弦图”(如图①所示)时,发现将其中的四个全等的直角三角形取出,可以分别拼成如图②所示的边长为9的正方形和如图③所示的菱形,则图③中菱形的面积为 32 .
① ② ③
三、解答题(共49分)
18.(6分)若(a+1)2+|b-2|+=0,求a(b+c)的值.
解:∵(a+1)2+|b-2|+=0,
∴a+1=0,b-2=0,c+3=0,
解得a=-1,b=2,c=-3,
则原式=-1×(2-3)=1.
19.(8分)计算:
(1)×(π-3.14)0-|-1|+()2;
(2)-22++(π-)0+;
(3)(-)×(-2)2-+;
(4)--32-|1-|+.
解:(1)原式=×1-(-1)+9=-+1+9=10.
(2)原式=-4+9+1-5=1.
(3)原式=-×4++=-2+1=-1.
(4)原式=3--9-(-1)+3
=3--9-+1+3
=--.
20.(9分)已知a是-27的立方根,=3,c=|1-|-(-).
(1)求a,b,c的值;
(2)求b-a-c的平方根;
(3)若在△ABC中,AC=b,AB=,BC=,判断△ABC的形状,并说明理由.
解:(1)由题意,得a==-3.
∵=3,
∴2b-1=9,解得b=5.
c=|1-|-(-)=-1-+2=1.
∴a,b,c的值分别为-3,5,1.
(2)∵a=-3,b=5,c=1,
∴b-a-c=5-(-3)-1=7,
∴b-a-c的平方根为±.
(3)△ABC是直角三角形.理由如下:
∵a=-3,b=5,c=1,
∴AC=5,AB==,BC=.
∵()2+()2=52,
∴AB2+BC2=AC2,
∴△ABC是直角三角形.
21.(12分)某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园,如图所示,∠ACB=90°,AC=40米,BC=30米,线段CD是一条水渠,且D点在边AB上,已知水渠的造价为1 000元/米,则当水渠的造价最低时,CD的长为多少米 最低造价是多少元
解:当CD为斜边上的高时,CD最短,从而水渠造价最低.
∵∠ACB=90°,AC=40米,BC=30米,
∴AB===50(米).
∵CD·AB=AC·BC,
∴CD×50=40×30,∴CD=24米,
∴24×1 000=24 000(元).
∴当水渠的造价最低时,CD的长为24米,最低造价是24 000元.
22.(14分)(2024潍坊期中)我们已经学习了勾股定理:在直角三角形中,如果两条直角边分别为a与b,斜边为c,那么a2+b2=c2.还有勾股定理的逆定理:如果三角形三边满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
(1)小明发现证明勾股定理的新方法:如图①所示,在正方形ACDE边CD上取点B,连接AB,得到Rt△ACB,三边长分别为a,b,c,剪下△ACB并把它拼接到△AEF的位置,如图②所示,请利用面积不变证明勾股
定理.
(2)一个零件的形状如图③所示,按规定这个零件中∠A和∠C都应是直角,小明测得这个零件各边尺寸(单位:cm)如图③所示,这个零件符合要求吗 请说明理由.
① ② ③
(1)证明:如图①所示,连接BF.
①
∵AC=b,∴正方形ACDE的面积为b2.
∵CD=DE=AC=b,EF=BC=a,
∴BD=CD-BC=b-a,DF=DE+EF=b+a.
∵∠BAC=∠EAF,
∴∠BAF=∠EAF+∠BAE=∠BAC+∠BAE=∠CAE=90°.
又∵AB=AF=c,
∴△BAF为等腰直角三角形,
∴四边形ABDF的面积为c2+(b-a)(b+a)=c2+(b2-a2).
∵正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等,
∴b2=c2+(b2-a2),整理,得a2+b2=c2,
∴a2+b2=c2.
②
(2)解:这个零件不符合要求.
理由如下:连接BD,如图②所示.
由勾股定理的逆定理,知只有当BC2+DC2=AB2+AD2=BD2时,∠A和∠C都是直角.
∵BC2+DC2=152+202=225+400=625,
AB2+AD2=232+82=529+64=593,625≠593,
∴BC2+DC2≠AB2+AD2,
∴∠A和∠C不可能都是直角.
因此,这个零件不符合要求.
