第9章 二次根式
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列各式中,一定是二次根式的为(B)
A. B. C. D.
2.下列各式是最简二次根式的是(A)
A. B. C. D.
3.(2022湖北)下列各式计算正确的是(D)
A.+= B.4-3=1
C.÷2= D.×=
4.下列各式中,化简后能与合并的是(C)
A. B.
C. D.
5.若=-a-1,则a的值可以是(D)
A.4 B.2 C.0 D.-2
6.使有意义的x的取值范围在数轴上表示为(B)
A B
C D
7.已知m是的小数部分,则的值是(C)
A.0 B.1 C. D.3
8.(2024重庆)估计×(+)的值应在(C)
A.8和9之间 B.9和10之间
C.10和11之间 D.11和12之间
9.若x=+1,则代数式x2-2x+2的值为(C)
A.7 B.4 C.3 D.3-2
10.化简-a2·的结果是(C)
A.-2a B.-2a
C.0 D.2a
11.长方形的一边长为3,面积为30,要在这个长方形中剪出一个正方形,则所剪出的正方形的最大面积是(D)
A.30 B.40 C.50 D.60
12.对于任意的正数m,n定义运算“※”如下:m※n=计算(3※2)×(8※12)的结果为(B)
A.2-4 B.2 C.2 D.20
二、填空题(每小题3分,共15分)
13.若在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是 x>3 .
14.已知x,y是实数,且满足y=++,则·的值是 .
15.若关于x的不等式2x-m≤0的正整数解只有三个,则化简
+|m-9|= 5 .
16.高空抛物极其危险,是我们必须杜绝的行为.据相关研究,高空抛物下落的时间t(单位:s)和高度h(单位:m)近似满足公式t=(不考虑风速的影响).记从50 m高空抛物到落地所需时间为t1,从100 m高空抛物到落地所需时间为t2,则t2∶t1的值是 .
17.观察下列各等式:
①2=;
②3=;
③4=;
….
根据以上规律,请写出第5个等式: 6= .
三、解答题(共49分)
18.(8分)计算:
(1)+-(+2);
(2)×÷;
(3)÷2-6+;
(4)×-(2-)(2+)+(-1)2.
解:(1)原式=2+4--2=+2.
(2)原式=5××2
=
=20.
(3)原式=-2+
=2-2+
=.
(4)原式=-(12-2)+3-2+1
=2-10+4-2
=-6.
19.(6分)已知表示a,b,c的点在数轴上的位置如图所示,化简:-|a-c|-.
解:由数轴可知b-a>0,a-c<0,b<0,
∴原式=|b-a|-|a-c|-|b|
=b-a+a-c+b
=2b-c.
20.(6分)(2022济宁)已知a=2+,b=2-,求代数式a2b+ab2的值.
解:∵a=2+,b=2-,
∴a2b+ab2
=ab(a+b)
=(2+)(2-)(2++2-)
=(4-5)×4
=-1×4
=-4.
21.(8分)阅读下面的文字后,回答问题:
甲、乙两人同时解答题目:“化简并求值:a+,其中a=5.”甲、乙两人的解答不同.
甲的解答:a+=a+=a+1-3a=1-2a=-9;
乙的解答:a+=a+=a+3a-1=4a-1=19.
(1) 的解答是错误的.
(2)错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质: .
(3)化简并求值:|1-a|+,其中a=2.
解:(1)甲
(2)=|a|,当a<0时,=-a
(3)|1-a|+=|1-a|+=|1-a|+|1-4a|.
∵a=2,
∴1-a<0,1-4a<0,
∴原式=a-1+4a-1=5a-2=8.
22.(9分)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=+,BC=-
,求:
(1)△ABC的面积;
(2)斜边AB的长;
(3)AB边上的高.
解:(1)∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=+,BC=-,
∴S△ABC=
=
=
=4,
即△ABC的面积是4.
(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,
根据勾股定理,得
AB=
=
=2,
即AB的长是2.
(3)设AB边上的高为CD,
则S△ABC=AB·CD,
∴CD===,
即AB边上的高是.
23.(12分)【阅读学习】
小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2=(1+)2.善于思考的小明进行了以下探究:
设a+b=(m+n)2(其中a,b,m,n均为整数),则有a+b=m2+2n2+
2mn.
∴a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把形如a+b的式子化为平方式的方法.
【解决问题】
(1)当a,b,m,n均为正整数时,若a+b=(m+n)2,则用含m,n的式子分别表示a,b,得
a= ,b= .
(2)利用(1)的结论,找一组正整数a,b,m,n(m≠n),使得a+b=
(m+n)2成立,且a+b+m+n的值最小.请直接写出a,b,m,n的值.
(3)若a+6=(m+n)2,且a,m,n均为正整数,求a的值.
解:(1)m2+3n2 2mn
(2)m=2,n=1,a=7,b=4.
(3)∵a+6=(m+n)2,
∴a+6=m2+5n2+2mn,
∴a=m2+5n2,2mn=6.
∵a,m,n均为正整数,
∴m=3,n=1或m=1,n=3.
当m=3,n=1时,a=9+5=14;
当m=1,n=3时,a=1+5×9=46.
∴a的值为14或46.第9章 二次根式
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列各式中,一定是二次根式的为( )
A. B. C. D.
2.下列各式是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
3.(2022湖北)下列各式计算正确的是( )
A.+= B.4-3=1
C.÷2= D.×=
4.下列各式中,化简后能与合并的是( )
A. B.
C. D.
5.若=-a-1,则a的值可以是( )
A.4 B.2 C.0 D.-2
6.使有意义的x的取值范围在数轴上表示为( )
A B
C D
7.已知m是的小数部分,则的值是( )
A.0 B.1 C. D.3
8.(2024重庆)估计×(+)的值应在( )
A.8和9之间 B.9和10之间
C.10和11之间 D.11和12之间
9.若x=+1,则代数式x2-2x+2的值为( )
A.7 B.4 C.3 D.3-2
10.化简-a2·的结果是( )
A.-2a B.-2a
C.0 D.2a
11.长方形的一边长为3,面积为30,要在这个长方形中剪出一个正方形,则所剪出的正方形的最大面积是( )
A.30 B.40 C.50 D.60
12.对于任意的正数m,n定义运算“※”如下:m※n=计算(3※2)×(8※12)的结果为( )
A.2-4 B.2 C.2 D.20
二、填空题(每小题3分,共15分)
13.若在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是 .
14.已知x,y是实数,且满足y=++,则·的值是 .
15.若关于x的不等式2x-m≤0的正整数解只有三个,则化简
+|m-9|= .
16.高空抛物极其危险,是我们必须杜绝的行为.据相关研究,高空抛物下落的时间t(单位:s)和高度h(单位:m)近似满足公式t=(不考虑风速的影响).记从50 m高空抛物到落地所需时间为t1,从100 m高空抛物到落地所需时间为t2,则t2∶t1的值是 .
17.观察下列各等式:
①2=;
②3=;
③4=;
….
根据以上规律,请写出第5个等式: .
三、解答题(共49分)
18.(8分)计算:
(1)+-(+2);
(2)×÷;
(3)÷2-6+;
(4)×-(2-)(2+)+(-1)2.
19.(6分)已知表示a,b,c的点在数轴上的位置如图所示,化简:-|a-c|-.
20.(6分)(2022济宁)已知a=2+,b=2-,求代数式a2b+ab2的值.
21.(8分)阅读下面的文字后,回答问题:
甲、乙两人同时解答题目:“化简并求值:a+,其中a=5.”甲、乙两人的解答不同.
甲的解答:a+=a+=a+1-3a=1-2a=-9;
乙的解答:a+=a+=a+3a-1=4a-1=19.
(1) 的解答是错误的.
(2)错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质: .
(3)化简并求值:|1-a|+,其中a=2.
22.(9分)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=+,BC=-
,求:
(1)△ABC的面积;
(2)斜边AB的长;
(3)AB边上的高.
23.(12分)【阅读学习】
小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+2=(1+)2.善于思考的小明进行了以下探究:
设a+b=(m+n)2(其中a,b,m,n均为整数),则有a+b=m2+2n2+
2mn.
∴a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把形如a+b的式子化为平方式的方法.
【解决问题】
(1)当a,b,m,n均为正整数时,若a+b=(m+n)2,则用含m,n的式子分别表示a,b,得
a= ,b= .
(2)利用(1)的结论,找一组正整数a,b,m,n(m≠n),使得a+b=
(m+n)2成立,且a+b+m+n的值最小.请直接写出a,b,m,n的值.
(3)若a+6=(m+n)2,且a,m,n均为正整数,求a的值.
