第11章 图形的平移与旋转
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列图形是中心对称图形的是(B)
A B C D
2.如图所示,已知点A(2,1),将线段OA先向上平移2个单位长度,再向左平移3个单位长度,得到线段O′A′,则点A的对应点A′的坐标是(C)
A.(-3,2) B.(0,4) C.(-1,3) D.(3,-1)
3.下列基本图形中,经过平移、旋转或轴对称变换后,不能得到如图所示图形的是(C)
A B C D
4.如图所示,在△ABC中,∠BAC=108°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′.若点B′恰好落在BC边上,且AB=CB′,则∠C′的度数为(C)
A.18° B.20° C.24° D.28°
5.如图所示,将Rt△ABC绕直角顶点顺时针旋转90°得到△A′B′C,连接AA′,若∠1=25°,则∠B的度数是(A)
A.70° B.65° C.60° D.55°
6.一个正比例函数的图象经过点A(2,m)和点B(n,-6),若点A与点B关于原点对称,则这个正比例函数的表达式为 (A)
A.y=3x B.y=-3x
C.y=x D.y=-x
7.将某图形的各顶点的横坐标都减去3,纵坐标保持不变,则该图形(B)
A.沿x轴向右平移3个单位长度 B.沿x轴向左平移3个单位长度
C.沿y轴向上平移3个单位长度 D.沿y轴向下平移3个单位长度
8.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,△FEC与△ABC关于点C成中心对称,连接AE,BF,则四边形ABFE的周长为(C)
A.12 B.16 C.20 D.25
9.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,将△ABC绕点A逆时针旋转,使点C落在线段AB上的点E处,点B落在点D处,则B,D两点间的距离为(A)
A. B.2 C.3 D.2
10.如图所示,在△ABC中,AB=AC,若M是BC边上任意一点,将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN,点M的对应点为点N,连接MN,则下列结论一定正确的是(C)
A.AB=AN B.AB∥NC
C.∠AMN=∠ACN D.MN⊥AC
11.如图所示,△ABC与△A′B′C关于点C(0,1)成中心对称,设点A的坐标为(a,b),则点A′的坐标为(D)
A.(-a,-b) B.(-a,-b-1)
C.(-a,-b+1) D.(-a,-b+2)
12.如图所示,将点A1(1,1)向上平移1个单位长度,再向右平移2个单位长度得到点A2;将点A2向上平移2个单位长度,再向右平移4个单位长度得到点A3;将点A3向上平移4个单位长度,再向右平移8个单位长度得到点A4;….按这个规律平移得到点An,则点A2 024的横坐标为(B)
A.22 024 B.22 024-1
C.22 023-1 D.22 023+1
二、填空题(每小题3分,共15分)
13.如图所示,将△ABC向右平移5个单位长度得到△DEF,且点B,E,C,F在同一条直线上,若EC=3,则BC的长是 8 .
14.已知平面直角坐标系中有两点A(-1,0),B(1,2),连接AB,平移线段AB得到线段A1B1,若点B的对应点B1的坐标为(2,-1),则点A的对应点A1的坐标为 (0,-3) .
15.如图所示,在平面直角坐标系中,△OAB为等腰三角形,OA=AB=5,点B到x轴的距离为4,若将△OAB绕点O逆时针旋转90°,得到
△OA′B′,则点B′的坐标为 (-4,8) .
16.如图所示,在等边三角形ABC中,AB=4,AD是BC边上的中线,将
△ABD绕点A旋转,使AB与AC重合,连接DE,则线段DE的长为 2 .
17.如图所示,正方形ABCD的边长为1,将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到正方形CEFG的位置,使得点B在对角线CF上,则阴影部分的面积是 -1 .
三、解答题(共49分)
18.(8分)由4个全等的正方形组成的“L”形图案如图所示,请按下列要求画图:
(1)在图案①中添加1个正方形,使它成为轴对称图形(不能是中心对称图形);
(2)在图案②中添加1个正方形,使它成为中心对称图形(不能是轴对称图形);
(3)在图案③中改变1个正方形的位置,从而得到一个新图形,使它既成为中心对称图形,又成为轴对称图形.
解:(1)如图①②③所示(任选其一).
(2)如图④所示.
(3)如图⑤⑥所示(任选其一).
19.(8分)如图所示,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy,格点(网格线的交点)A,B,C,D的坐标分别为(7,8),(2,8),(10,4),(5,4).
(1)以点D为旋转中心,将△ABC旋转180°得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;
(2)直接写出以B,C1,B1,C为顶点的四边形的面积;
(3)在所给的网格图中确定一个格点E,使得射线AE平分∠BAC,写出点E的坐标.
解:(1)△A1B1C1如图所示.
(2)=2=2××10×4=40.
(3)∵AB=5,AC==5,
∴△ABC是等腰三角形,
∴AE也是线段BC的垂直平分线,∴点E可以为BC的中点.
由题图可得中点E的坐标为(6,6).(答案不唯一)
20.(9分)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AD,△EFG是由△ABC沿CB方向平移得到的,且直线EF恰好过点D.
(1)求证:AD⊥DF;
(2)求∠FDB的度数.
(1)证明:∵线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得
到的,
∴∠DAB=90°.
∵△EFG由△ABC沿CB方向平移得到,
∴AB∥EF,∴∠DAB+∠ADF=180°,
∴∠ADF=90°,∴AD⊥DF.
(2)解:由旋转,得AD=AB,∠DAB=90°,
∴∠ADB=45°.
由(1),得∠ADF=90°,∴∠FDB=45°.
21.(10分)如图所示,△ABC和△DEF关于点O成中心对称.
(1)找出它们的对称中心O;
(2)若AC=6,AB=5,BC=4,求△DEF的周长;
(3)连接AF,CD,试判断四边形ACDF的形状,并说明理由.
解:(1)如图所示,点O即为所求对称中心.
(2)由题意,得△ABC≌△DEF,
∴△DEF的周长=△ABC的周长=6+5+4=15.
(3)四边形ACDF是平行四边形.
理由如下:由题意可知OA=OD,OC=OF,
∴四边形ACDF是平行四边形.
22.(14分)(1)问题发现:
如图①所示,△ABC和△AED都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,点B在线段AE上,点C在线段AD上,请直接写出线段BE与线段CD的数量关系: .
(2)操作探究:
如图②所示,将图①中的△ABC绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°),请判断线段BE与线段CD的数量关系,并说明理由.
(3)解决问题:
将图①中的△ABC绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°),若DE=2AC,在旋转的过程中,当以A,B,C,D四点为顶点的四边形是平行四边形时,求旋转角α的度数.
解:(1)BE=CD
(2)BE=CD.理由如下:
∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形,
∴AB=AC,AE=AD.
由旋转的性质,得∠BAE=∠CAD.
在△BAE和△CAD中,
∴△BAE≌△CAD(SAS),
∴BE=CD.
(3)如图①所示,当四边形ABCD为平行四边形时,AB=CD且AB∥CD.
∵∠BAC=90°,∴∠ACD=90°.
∵△AED是等腰直角三角形,AC=ED,
∴AC为△AED的中线,∴AC为∠EAD的平分线,
∴∠CAD=∠EAD=×90°=45°,
∴α=∠CAD=45°.
如图②所示,当四边形ACBD为平行四边形时,AC=BD,AC∥BD.
∵∠CAB=90°,∴∠ABD=90°.
又∵AC=AB,∴AB=BD,
∴∠BAD=45°,
∴α=360°-90°-45°=225°.
如图所示③所示,当四边形ABDC为平行四边形时,∵∠BAC=90°,
AB=AC,
∴平行四边形ABDC是正方形.
又∵AD为正方形ABDC的对角线,
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=×90°=45°,∴∠EAB=45°,
∴α=360°-45°=315°.
综上所述,当α的度数为45°,225°或315°时,以A,B,C,D四点为顶点的四边形为平行四边形.第11章 图形的平移与旋转
一、选择题(每小题3分,共36分)
1.下列图形是中心对称图形的是( )
A B C D
2.如图所示,已知点A(2,1),将线段OA先向上平移2个单位长度,再向左平移3个单位长度,得到线段O′A′,则点A的对应点A′的坐标是( )
A.(-3,2) B.(0,4) C.(-1,3) D.(3,-1)
3.下列基本图形中,经过平移、旋转或轴对称变换后,不能得到如图所示图形的是( )
A B C D
4.如图所示,在△ABC中,∠BAC=108°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′.若点B′恰好落在BC边上,且AB=CB′,则∠C′的度数为( )
A.18° B.20° C.24° D.28°
5.如图所示,将Rt△ABC绕直角顶点顺时针旋转90°得到△A′B′C,连接AA′,若∠1=25°,则∠B的度数是( )
A.70° B.65° C.60° D.55°
6.一个正比例函数的图象经过点A(2,m)和点B(n,-6),若点A与点B关于原点对称,则这个正比例函数的表达式为 ( )
A.y=3x B.y=-3x
C.y=x D.y=-x
7.将某图形的各顶点的横坐标都减去3,纵坐标保持不变,则该图形( )
A.沿x轴向右平移3个单位长度 B.沿x轴向左平移3个单位长度
C.沿y轴向上平移3个单位长度 D.沿y轴向下平移3个单位长度
8.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,△FEC与△ABC关于点C成中心对称,连接AE,BF,则四边形ABFE的周长为( )
A.12 B.16 C.20 D.25
9.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,将△ABC绕点A逆时针旋转,使点C落在线段AB上的点E处,点B落在点D处,则B,D两点间的距离为( )
A. B.2 C.3 D.2
10.如图所示,在△ABC中,AB=AC,若M是BC边上任意一点,将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN,点M的对应点为点N,连接MN,则下列结论一定正确的是( )
A.AB=AN B.AB∥NC
C.∠AMN=∠ACN D.MN⊥AC
11.如图所示,△ABC与△A′B′C关于点C(0,1)成中心对称,设点A的坐标为(a,b),则点A′的坐标为( )
A.(-a,-b) B.(-a,-b-1)
C.(-a,-b+1) D.(-a,-b+2)
12.如图所示,将点A1(1,1)向上平移1个单位长度,再向右平移2个单位长度得到点A2;将点A2向上平移2个单位长度,再向右平移4个单位长度得到点A3;将点A3向上平移4个单位长度,再向右平移8个单位长度得到点A4;….按这个规律平移得到点An,则点A2 024的横坐标为( )
A.22 024 B.22 024-1
C.22 023-1 D.22 023+1
二、填空题(每小题3分,共15分)
13.如图所示,将△ABC向右平移5个单位长度得到△DEF,且点B,E,C,F在同一条直线上,若EC=3,则BC的长是 .
14.已知平面直角坐标系中有两点A(-1,0),B(1,2),连接AB,平移线段AB得到线段A1B1,若点B的对应点B1的坐标为(2,-1),则点A的对应点A1的坐标为 .
15.如图所示,在平面直角坐标系中,△OAB为等腰三角形,OA=AB=5,点B到x轴的距离为4,若将△OAB绕点O逆时针旋转90°,得到
△OA′B′,则点B′的坐标为 .
16.如图所示,在等边三角形ABC中,AB=4,AD是BC边上的中线,将
△ABD绕点A旋转,使AB与AC重合,连接DE,则线段DE的长为 .
17.如图所示,正方形ABCD的边长为1,将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到正方形CEFG的位置,使得点B在对角线CF上,则阴影部分的面积是 .
三、解答题(共49分)
18.(8分)由4个全等的正方形组成的“L”形图案如图所示,请按下列要求画图:
(1)在图案①中添加1个正方形,使它成为轴对称图形(不能是中心对称图形);
(2)在图案②中添加1个正方形,使它成为中心对称图形(不能是轴对称图形);
(3)在图案③中改变1个正方形的位置,从而得到一个新图形,使它既成为中心对称图形,又成为轴对称图形.
19.(8分)如图所示,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy,格点(网格线的交点)A,B,C,D的坐标分别为(7,8),(2,8),(10,4),(5,4).
(1)以点D为旋转中心,将△ABC旋转180°得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;
(2)直接写出以B,C1,B1,C为顶点的四边形的面积;
(3)在所给的网格图中确定一个格点E,使得射线AE平分∠BAC,写出点E的坐标.
20.(9分)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AD,△EFG是由△ABC沿CB方向平移得到的,且直线EF恰好过点D.
(1)求证:AD⊥DF;
(2)求∠FDB的度数.
21.(10分)如图所示,△ABC和△DEF关于点O成中心对称.
(1)找出它们的对称中心O;
(2)若AC=6,AB=5,BC=4,求△DEF的周长;
(3)连接AF,CD,试判断四边形ACDF的形状,并说明理由.
22.(14分)(1)问题发现:
如图①所示,△ABC和△AED都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,点B在线段AE上,点C在线段AD上,请直接写出线段BE与线段CD的数量关系: .
(2)操作探究:
如图②所示,将图①中的△ABC绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°),请判断线段BE与线段CD的数量关系,并说明理由.
(3)解决问题:
将图①中的△ABC绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°),若DE=2AC,在旋转的过程中,当以A,B,C,D四点为顶点的四边形是平行四边形时,求旋转角α的度数.
