第三章 圆锥曲线的方程 章末闯关试题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
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| 名称 | 第三章 圆锥曲线的方程 章末闯关试题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-13 17:29:18 | ||
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第三章 圆锥曲线的方程 章末闯关试题
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
2．2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹.太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）距地面，近地点（长轴端点中离地面最近的点）距地面，地球的半径为，则该椭圆的短轴长为（ ）
A． B．
C． D．
3．设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
7．已知过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则（ ）
A．32 B． C． D．8
8．设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在点P处变轨进入以F为一焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月球飞行，最后在点Q处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月球飞行．设圆形轨道Ⅰ的半径为，圆形轨道Ⅲ的半径为，则下列结论中正确的是（ ）
A．轨道Ⅱ的焦距为
B．轨道Ⅱ的长轴长为
C．若不变，r越大，轨道Ⅱ的短轴长越小
D．若不变，越大，轨道Ⅱ的离心率越大
10．已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
11．已知双曲线的左 右焦点分别为、，过点的直线与双曲线的左 右两支分别交于、两点，下列命题正确的有（ ）
A．当点为线段的中点时，直线的斜率为
B．若，则
C．
D．若直线的斜率为，且，则
三、填空题
12．已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 .
13．已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ．
14．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ．
四、解答题
15．已知椭圆C：过点A（﹣1，），B（），F为椭圆C的左焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若点M为直线l1：x+y+2＝0与直线l2：2x﹣y+4＝0的交点，过点M的直线1与椭圆C交于D，E两点，求△DEF面积的最大值，以及此时直线l的方程．
16．已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.
17．已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．
18．已知双曲线：（，）实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
19．定义：若椭圆上的两个点，满足，则称A，B为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆C：上一点．
(1)求“共轭点对”中点B所在直线l的方程．
(2)设O为坐标原点，点P，Q在椭圆C上，且，（1）中的直线l与椭圆C交于两点．
①求点，的坐标；
②设四点，P，，Q在椭圆C上逆时针排列，证明：四边形的面积小于．
参考答案
1．B
方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出；
方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．
方法一：因为，所以，
从而，所以．
故选：B.
方法二：
因为，所以，由椭圆方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故选：B.
2．D
根据椭圆的远地点和近地点的距离可得，进而可求得，求得b，可得答案.
由题意得，
故，
故选：D.
3．A
根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
由，得，因此，而，所以.
故选：A
4．A
根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得的值，即可求解.
由椭圆的标准方程为，可得，即，
因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距，
又因为双曲线满足，即，
又由，即，解得，可得，
所以双曲线的方程为.
故选：A．
5．A
根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
6．B
首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.
抛物线的焦点坐标为，
其到直线的距离：，
解得：(舍去).
故选：B.
7．A
由题意可得直线的方程为，联立直线与抛物线的方程得，由韦达定理可得，再根据抛线的定义即可得答案.
解：因为抛物线，
所以，，
所以直线的方程为，
由，得，
显然，
设
则有，
所以，
由抛物线定义可知.
故选：A.
8．D
根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
设，则的中点，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
9．ABD
设椭圆方程，根据椭圆的性质得到，判断选项A，B；由判断选项C；由判断选项D.
解：设椭圆方程，
由椭圆的性质知，，，
则，，故选A，B正确；
，，所以，
若不变，越大，越大，即轨道Ⅱ的短轴长越大，故C的错误；
，
若不变，越大，则越小，越大，即轨道Ⅱ的离心率越大，故D正确．
故选：ABD．
10．ACD
由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.
对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
11．BCD
对于A选项，设，代入双曲线，用点差法即可判断；对于B选项，设，表示出和，得出，再结合即可得出结论；对于C选项，设，其中，由双曲线方程，得出，利用两点之间距离公式，分别表示出和，通过做差即可得出结论；对于D选项，根据双曲线的定义，得出，再证出点与点关于直线对称，则，即可得出结论．
选项A：
设，代入双曲线得，
，两式相减得，
，
∵点为线段的中点，
∴，，
即，，
∴，
，故A错误；
选项B：
设，
，，
，
，
又 ，
，故B正确；
选项C：
设，其中，
则，即，
，
，
，
，
，
，故C正确；
选项D：
，，
，，
，
∵直线的斜率为即，且过点，
∴直线的方程为：，
又∵，，
，
即，
又∵点到直线的距离：，
点到直线的距离：，
即，
∴点与点关于直线对称，
，
，故D正确；
故选：BCD．
12．
先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.
抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,
不妨设,
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，
因为，所以,
，
所以的准线方程为
故答案为：.
13．
根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解.
因为为上关于坐标原点对称的两点，
且，所以四边形为矩形，
设，则，
所以，
，即四边形面积等于.
故答案为：.
14．
作出图形，设双曲线的右焦点为，根据双曲线的定义可得，可得出，利用、、三点共线时取得最小值即可得解.
对于双曲线，则，，，如下图所示：
设双曲线的右焦点为，则，
由双曲线的定义可得，则，
所以，，
当且仅当、、三点共线时，等号成立.
因此，的最小值为.
故答案为：.
15．（Ⅰ）；（Ⅱ）△DEF面积的最大值，直线l的方程．
（Ⅰ）由椭圆所过定点，待定系数法列方程组能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）联立方程得出M点坐标，根据直线过定点设出过M点的直线，与椭圆联立，利用韦达定理、弦长公式、不等式性质，结合已知条件能求出△DEF面积的最大值S，并能求出相应的直线方程．
（1）∵椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点A（﹣1，），B（），F为椭圆C的左焦点．
∴，解得a2＝2，b2＝1，
∴椭圆C的标准方程为＝1．
（Ⅱ）点M为直线l1：x+y+2＝0与直线l2：2x﹣y+4＝0的交点，
联立，得M（﹣2，0），
设D（x1，y1），E（x2，y2），由题意设直线l的方程为x＝my﹣2，
代入椭圆方程得（m2+2）y2﹣4my+2＝0，
则△＝16m2﹣8（m2+2）＝8m2﹣16＞0，∴m2＞2，
，y1y2＝，
∴S△DEF＝S△MEF﹣S△MDF＝|MF||y1﹣y2|＝＝≤，
当且仅当＝，即m2＝6（满足△＞0）时取得等号，
∴△DEF面积的最大值S＝，
此时直线1的方程为x＝，即y＝（x+2）．
16．（1）；（2）最大值为.
（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；
（2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.
（1）抛物线的焦点，准线方程为，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，
所以该抛物线的方程为；
（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法
设，则，
所以，
由在抛物线上可得，即，
据此整理可得点的轨迹方程为，
所以直线的斜率，
当时，；
当时，，
当时，因为，
此时，当且仅当，即时，等号成立；
当时，；
综上，直线的斜率的最大值为.
[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法
同方法一得到点Q的轨迹方程为．
设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为．
[方法三]：轨迹方程+换元求最值法
同方法一得点Q的轨迹方程为．
设直线的斜率为k，则．
令，则的对称轴为，所以．故直线斜率的最大值为．
[方法四]：参数+基本不等式法
由题可设．
因为，所以．
于是，所以
则直线的斜率为．
当且仅当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为．
【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得Q的轨迹方程，得到直线OQ的斜率关于的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；
方法二 同方法一得到点Q的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ的斜率的最大值，为最优解；
方法三同方法一求得Q的轨迹方程，得到直线的斜率k的平方关于的表达式，利用换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线斜率的最大值；
方法四利用参数法，由题可设，求得x,y关于的参数表达式，得到直线的斜率关于的表达式，结合使用基本不等式，求得直线斜率的最大值.
17．（1）；（2）．
（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求，从而可求椭圆的标准方程.
（2）设，求出直线的方程后可得的横坐标，从而可得，联立直线的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简，从而可求的范围，注意判别式的要求.
（1）因为椭圆过，故，
因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即，
故椭圆的标准方程为：.
（2）
设，
因为直线的斜率存在，故，
故直线，令，则，同理.
直线，由可得，
故，解得或.
又，故，所以
又
故即，
综上，或.
18．(1)
(2)在定直线方程上
（1）联立直线方程与双曲线方程，可得点，进而根据三角形面积公式即可求出的值；（2）分直线斜率 和不存在两种情况讨论，求出两直线交点，代入化简即可求解.
（1）设直线的方程为，联立，得，
又，，代入上式得，即，
∴，解得，∴，，∴双曲线的方程为．
（2）当直线点的斜率不存在时，，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得的，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立得，∴，，
∴直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，两边平方得，
又，满足，
∴
，
∴，∴，或，（舍去）
综上，在定直线上，且定直线方程为．
19．(1)
(2)①，；②证明见解析
（1）设，根据“共轭点对”得直线方程为，化简即可；
（2）①联立直线和椭圆的方程，解出即可；②设点，，利用点差法得，设过点P且与直线l平行的直线的方程为，计算直线与椭圆相切时的值，再检验证明此时不满足，则证明出面积小于.
（1）设中点B的坐标为，
对于椭圆C：上的点，由“共轭点对”的定义，
可知直线l的方程为，即l：．
（2）①联立直线l和椭圆C的方程，得解得或，
所以直线l和椭圆C的两个交点的坐标为，．
②设点，，则，
两式相减得．
又，所以，所以，
即，线段PQ被直线l平分．
设点到直线的距离为d，
则四边形的面积．
由，，得．
设过点P且与直线l平行的直线的方程为，则当与C相切时，d取得最大值．
由消去y得．
令，解得，
当时，此时方程为，即，解得，
则此时点P或点Q必有一个和点重合，不符合条件，
故直线与C不可能相切，
即d小于平行直线和（或）的距离．
故.
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第三章 圆锥曲线的方程 章末闯关试题
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
2．2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹.太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远的点）距地面，近地点（长轴端点中离地面最近的点）距地面，地球的半径为，则该椭圆的短轴长为（ ）
A． B．
C． D．
3．设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
7．已知过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则（ ）
A．32 B． C． D．8
8．设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在点P处变轨进入以F为一焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月球飞行，最后在点Q处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月球飞行．设圆形轨道Ⅰ的半径为，圆形轨道Ⅲ的半径为，则下列结论中正确的是（ ）
A．轨道Ⅱ的焦距为
B．轨道Ⅱ的长轴长为
C．若不变，r越大，轨道Ⅱ的短轴长越小
D．若不变，越大，轨道Ⅱ的离心率越大
10．已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
11．已知双曲线的左 右焦点分别为、，过点的直线与双曲线的左 右两支分别交于、两点，下列命题正确的有（ ）
A．当点为线段的中点时，直线的斜率为
B．若，则
C．
D．若直线的斜率为，且，则
三、填空题
12．已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 .
13．已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ．
14．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ．
四、解答题
15．已知椭圆C：过点A（﹣1，），B（），F为椭圆C的左焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若点M为直线l1：x+y+2＝0与直线l2：2x﹣y+4＝0的交点，过点M的直线1与椭圆C交于D，E两点，求△DEF面积的最大值，以及此时直线l的方程．
16．已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.
17．已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．
18．已知双曲线：（，）实轴端点分别为，，右焦点为，离心率为2，过点且斜率1的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过的直线与双曲线交于，两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
19．定义：若椭圆上的两个点，满足，则称A，B为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆C：上一点．
(1)求“共轭点对”中点B所在直线l的方程．
(2)设O为坐标原点，点P，Q在椭圆C上，且，（1）中的直线l与椭圆C交于两点．
①求点，的坐标；
②设四点，P，，Q在椭圆C上逆时针排列，证明：四边形的面积小于．
参考答案
1．B
方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出；
方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．
方法一：因为，所以，
从而，所以．
故选：B.
方法二：
因为，所以，由椭圆方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故选：B.
2．D
根据椭圆的远地点和近地点的距离可得，进而可求得，求得b，可得答案.
由题意得，
故，
故选：D.
3．A
根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
由，得，因此，而，所以.
故选：A
4．A
根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得的值，即可求解.
由椭圆的标准方程为，可得，即，
因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距，
又因为双曲线满足，即，
又由，即，解得，可得，
所以双曲线的方程为.
故选：A．
5．A
根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
6．B
首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.
抛物线的焦点坐标为，
其到直线的距离：，
解得：(舍去).
故选：B.
7．A
由题意可得直线的方程为，联立直线与抛物线的方程得，由韦达定理可得，再根据抛线的定义即可得答案.
解：因为抛物线，
所以，，
所以直线的方程为，
由，得，
显然，
设
则有，
所以，
由抛物线定义可知.
故选：A.
8．D
根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
设，则的中点，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
9．ABD
设椭圆方程，根据椭圆的性质得到，判断选项A，B；由判断选项C；由判断选项D.
解：设椭圆方程，
由椭圆的性质知，，，
则，，故选A，B正确；
，，所以，
若不变，越大，越大，即轨道Ⅱ的短轴长越大，故C的错误；
，
若不变，越大，则越小，越大，即轨道Ⅱ的离心率越大，故D正确．
故选：ABD．
10．ACD
由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.
对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
11．BCD
对于A选项，设，代入双曲线，用点差法即可判断；对于B选项，设，表示出和，得出，再结合即可得出结论；对于C选项，设，其中，由双曲线方程，得出，利用两点之间距离公式，分别表示出和，通过做差即可得出结论；对于D选项，根据双曲线的定义，得出，再证出点与点关于直线对称，则，即可得出结论．
选项A：
设，代入双曲线得，
，两式相减得，
，
∵点为线段的中点，
∴，，
即，，
∴，
，故A错误；
选项B：
设，
，，
，
，
又 ，
，故B正确；
选项C：
设，其中，
则，即，
，
，
，
，
，
，故C正确；
选项D：
，，
，，
，
∵直线的斜率为即，且过点，
∴直线的方程为：，
又∵，，
，
即，
又∵点到直线的距离：，
点到直线的距离：，
即，
∴点与点关于直线对称，
，
，故D正确；
故选：BCD．
12．
先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.
抛物线： ()的焦点,
∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,
不妨设,
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，
因为，所以,
，
所以的准线方程为
故答案为：.
13．
根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解.
因为为上关于坐标原点对称的两点，
且，所以四边形为矩形，
设，则，
所以，
，即四边形面积等于.
故答案为：.
14．
作出图形，设双曲线的右焦点为，根据双曲线的定义可得，可得出，利用、、三点共线时取得最小值即可得解.
对于双曲线，则，，，如下图所示：
设双曲线的右焦点为，则，
由双曲线的定义可得，则，
所以，，
当且仅当、、三点共线时，等号成立.
因此，的最小值为.
故答案为：.
15．（Ⅰ）；（Ⅱ）△DEF面积的最大值，直线l的方程．
（Ⅰ）由椭圆所过定点，待定系数法列方程组能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）联立方程得出M点坐标，根据直线过定点设出过M点的直线，与椭圆联立，利用韦达定理、弦长公式、不等式性质，结合已知条件能求出△DEF面积的最大值S，并能求出相应的直线方程．
（1）∵椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点A（﹣1，），B（），F为椭圆C的左焦点．
∴，解得a2＝2，b2＝1，
∴椭圆C的标准方程为＝1．
（Ⅱ）点M为直线l1：x+y+2＝0与直线l2：2x﹣y+4＝0的交点，
联立，得M（﹣2，0），
设D（x1，y1），E（x2，y2），由题意设直线l的方程为x＝my﹣2，
代入椭圆方程得（m2+2）y2﹣4my+2＝0，
则△＝16m2﹣8（m2+2）＝8m2﹣16＞0，∴m2＞2，
，y1y2＝，
∴S△DEF＝S△MEF﹣S△MDF＝|MF||y1﹣y2|＝＝≤，
当且仅当＝，即m2＝6（满足△＞0）时取得等号，
∴△DEF面积的最大值S＝，
此时直线1的方程为x＝，即y＝（x+2）．
16．（1）；（2）最大值为.
（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；
（2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.
（1）抛物线的焦点，准线方程为，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，
所以该抛物线的方程为；
（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法
设，则，
所以，
由在抛物线上可得，即，
据此整理可得点的轨迹方程为，
所以直线的斜率，
当时，；
当时，，
当时，因为，
此时，当且仅当，即时，等号成立；
当时，；
综上，直线的斜率的最大值为.
[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法
同方法一得到点Q的轨迹方程为．
设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为．
[方法三]：轨迹方程+换元求最值法
同方法一得点Q的轨迹方程为．
设直线的斜率为k，则．
令，则的对称轴为，所以．故直线斜率的最大值为．
[方法四]：参数+基本不等式法
由题可设．
因为，所以．
于是，所以
则直线的斜率为．
当且仅当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为．
【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得Q的轨迹方程，得到直线OQ的斜率关于的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；
方法二 同方法一得到点Q的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ的斜率的最大值，为最优解；
方法三同方法一求得Q的轨迹方程，得到直线的斜率k的平方关于的表达式，利用换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线斜率的最大值；
方法四利用参数法，由题可设，求得x,y关于的参数表达式，得到直线的斜率关于的表达式，结合使用基本不等式，求得直线斜率的最大值.
17．（1）；（2）．
（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求，从而可求椭圆的标准方程.
（2）设，求出直线的方程后可得的横坐标，从而可得，联立直线的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简，从而可求的范围，注意判别式的要求.
（1）因为椭圆过，故，
因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即，
故椭圆的标准方程为：.
（2）
设，
因为直线的斜率存在，故，
故直线，令，则，同理.
直线，由可得，
故，解得或.
又，故，所以
又
故即，
综上，或.
18．(1)
(2)在定直线方程上
（1）联立直线方程与双曲线方程，可得点，进而根据三角形面积公式即可求出的值；（2）分直线斜率 和不存在两种情况讨论，求出两直线交点，代入化简即可求解.
（1）设直线的方程为，联立，得，
又，，代入上式得，即，
∴，解得，∴，，∴双曲线的方程为．
（2）当直线点的斜率不存在时，，，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得的，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立得，∴，，
∴直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，两边平方得，
又，满足，
∴
，
∴，∴，或，（舍去）
综上，在定直线上，且定直线方程为．
19．(1)
(2)①，；②证明见解析
（1）设，根据“共轭点对”得直线方程为，化简即可；
（2）①联立直线和椭圆的方程，解出即可；②设点，，利用点差法得，设过点P且与直线l平行的直线的方程为，计算直线与椭圆相切时的值，再检验证明此时不满足，则证明出面积小于.
（1）设中点B的坐标为，
对于椭圆C：上的点，由“共轭点对”的定义，
可知直线l的方程为，即l：．
（2）①联立直线l和椭圆C的方程，得解得或，
所以直线l和椭圆C的两个交点的坐标为，．
②设点，，则，
两式相减得．
又，所以，所以，
即，线段PQ被直线l平分．
设点到直线的距离为d，
则四边形的面积．
由，，得．
设过点P且与直线l平行的直线的方程为，则当与C相切时，d取得最大值．
由消去y得．
令，解得，
当时，此时方程为，即，解得，
则此时点P或点Q必有一个和点重合，不符合条件，
故直线与C不可能相切，
即d小于平行直线和（或）的距离．
故.
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