第三章 圆锥曲线的方程 章末拓展试题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
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| 名称 | 第三章 圆锥曲线的方程 章末拓展试题 2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-13 17:29:18 | ||
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文档简介
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第三章 圆锥曲线的方程 章末拓展试题
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
3．已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A． B． C． D．
5．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
6．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A． B．
C．2 D．
7．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
8．数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（ ）
A．的准线方程为
B．直线与相切
C．若，则的最小值为
D．若，则的周长的最小值为11
10．设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ）．
A．
B．P到最小的距离是2
C．面积的最大值为6
D．P到最大的距离是9
11．双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为 .
13．如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球，，使得它们分别与圆锥的侧面和平面都相切，平面分别与球，相切于点，.数学家GerminalDandelin利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也被称为Dandelin双球.若球，的半径分别为6和3，球心距离，则此椭圆的长轴长为 .
14．已知抛物线C：的焦点为F，，过点M作直线的垂线，垂足为Q，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为 ．
四、解答题
15．椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点且长轴长为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦长|AB|．
16．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点，
(1)求双曲线C的标准方程
(2)已知直线与曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数m的值．
17．若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)不过原点O的直线与椭圆E交于A、B两点，求面积的最大值以及此时直线l的方程．
18．已知抛物线，为坐标原点，焦点在直线上．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点作动直线与抛物线交于，两点，直线，分别与圆交于点，两点（异于点），设直线，斜率分别为，．
①求证：为定值；
②求证：直线恒过定点．
19．已知椭圆，定义椭圆上的点的“伴随点”为.
(1)求椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程；
(2)如果椭圆上的点的“伴随点”为，对于椭圆上的任意点及它的“伴随点”，求的取值范围；
(3)当，时，直线交椭圆于两点，若点的“伴随点”分别是，且以为直径的圆经过坐标原点，求的面积.
参考答案
1．B
根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.
解：因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，
B为上顶点，所以.
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为.
故选：B.
2．D
利用抛物线的定义求解即可.
因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，
所以到准线的距离为，
又到直线的距离为，
所以，故.
故选：D.
3．B
设双曲线的右焦点为，由双曲线方程可求出，b，c的值，利用双曲线的定义以及三点共线即可求出的周长的最小值．
设双曲线的右焦点为，由双曲线的方程可得：，则，
所以，且，所以，
的周长为，
当且仅当M，P，A三点共线时取等号，
则周长的最小值为．
故选：B．
4．C
首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于的方程，解出即可.
将直线与椭圆联立，消去可得，
因为直线与椭圆相交于点，则，解得，
设到的距离到距离，易知，
则，，
，解得或（舍去），
故选：C.
5．B
因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
6．A
准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．
设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
为圆心．
，又点在圆上，
，即．
，故选A．
7．A
设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.
设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
8．A
根据题意O、A、P、B四点在以OP为直径的圆上，可设点P坐标为，从而得出四点所在圆的方程为，利用两圆方程之差求得切点A、B所在直线方程，进而求得M、N两点坐标即可解决本题.
依题意有OAPB四点共圆，设点P坐标为，则该圆的方程为：，
将两圆方程：与相减，得切点所在直线方程为
，解得，因为，所以
故选：A
9．BCD
将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A，联立直线与抛物线方程，消元，由判断B，设点，表示出，根据二次函数的性质判断C，根据抛物线的定义转化求出的周长的最小值，即可判断D.
解：抛物线：，即，所以焦点坐标为，准线方程为，故A错误；
由，即，解得，所以直线与相切，故B正确；
设点，所以，
所以，故C正确；
如图过点作准线，交于点，，，
所以，
当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确；
故选：BCD
10．AD
根据椭圆的定义和性质逐项运算分析即可.
由椭圆方程可得：，则，
对A：根据椭圆的定义可得，A正确；
对B：根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时，P到的距离最小，
最小值为，B错误；
对C：根据椭圆性质可知当P是椭圆的上顶点时，的面积最大，
最大值为，C错误；
对D：根据椭圆性质可知当P是椭圆的右顶点时，P到的距离最大，
最小值为，D正确.
故选：AD.
11．AC
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.
[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，
所以，因为，所以在双曲线的左支，
，， ，设，由即，则，
选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，
所以，， ，设，
由，即，则，
所以，即，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点都在左支,，
，
则，
特值双曲线，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点在左右两支，在右支，，
，
则，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率
若均在左支上，
同理有，其中为钝角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故选：AC.
12．2
根据双曲线的几何性质可知，，，即可根据斜率列出等式求解即可．
联立，解得，所以.
依题可得，，，即，变形得，,
因此，双曲线的离心率为.
故答案为：．
13．
根据给定条件，过切点E，F作出双球模型的轴截面，利用圆的切线性质及椭圆的定义求解作答.
过切点E，F作出双球模型的轴截面，设球分别与圆锥的同一条母线切于A，B两点，
有，过作于点C，则四边形是矩形，
于是，，又，从而，
设直线AB与平面的交点为P，则有，，
所以椭圆的长轴长.
故答案为：
14．
本题先求出直线必过的定点，再求出的轨迹方程，再数形结合求最值即可.
由得，
所以直线过点．
连接AM，则，由题意知点Q在以AM为直径的圆上，设，所以点Q的轨迹方程为（不包含点），
记圆的圆心为，过点Q，P，N分别作准线的垂线，垂足分别为B，D，S，连接DQ，则，当且仅当B，P，Q，N四点共线且点Q在PN中间时等号同时成立，所以的最小值为．
故答案为;
15．(1)
(2)
（1）根据椭圆的长轴长及所经过点直接求出，得出椭圆C的标准方程.
（2）直线l与椭圆方程联立，得出韦达定理，根据弦长公式得出结果.
（1）由题意设椭圆C的方程为，
因为椭圆经过点且长轴长为，
所以，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）由已知设直线l的方程为，设，.
将直线代入，
得，
所以，，
.
16．(1)
(2)
（1）据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点，计算，即可得出答案．
（2）联立直线与双曲线的方程，得关于的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出的中点坐标，代入圆的方程，计算即可得出答案．
（1）设双曲线的方程为，
代入，，得，解得，
所以双曲线的方程为．
（2）由，得，
设，，，，
则中点坐标为，，
由韦达定理可得，
所以，
所以中点坐标为，
因为点在圆上，
所以，解得．
17．(1)
(2)面积的最大值为，此时直线的方程为
(1)根据抛物线和双曲线的性质结合椭圆的的关系求解；
(2)利用韦达定理求出弦长，再利用点到直线距离公式为三角形的高即可求解.
（1）抛物线的焦点为，所以，
因为双曲线的焦点坐标为，
所以则，
所以椭圆E的方程为.
（2）设，
联立可得，
因为直线与椭圆E交于A、B两点，
所以解得，
由韦达定理可得，
由弦长公式可得，
点到直线的距离为，
所以
当且仅当即时取得等号，
所以面积的最大值为，此时直线的方程为.
18．(1)
(2)①证明见解析；②证明见解析
（1）先求出抛物线的焦点坐标，进而得到，可得，从而求解；
（2）①设直线方程为，，，联立方程组，结合韦达定理可得，结合可得，进而求证；
②设直线方程为，，，联立方程组，结合韦达定理可得，，再结合即可得证.
（1）易知直线与x轴交于，
即焦点坐标为，
所以，，
则抛物线方程为．
（2）①设直线方程为，，，
联立方程组，得，
所以，又，
所以，即，
则．
②设直线方程为，，
联立方程组，得，
所以，，
．
整理得，，所以直线过定点．
19．(1)
(2)
(3)
（1）根据“伴随点”的定义，结合点在椭圆上求解即可；
（2）根据题意，结合（1）得，进而得，再根据数量积的坐标表示，结合二次函数求解即可；
（3）设，，则，，进而根据得，再联立椭圆和直线的方程并结合韦达定理得，最后求弦长与点到直线的距离并求面积即可.
（1）解：设.
所以，根据“伴随点”的定义，有，则，
又因为，
所以，即.
所以，椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程为.
（2）解：由（1）知，椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程为，
因为椭圆上的点的“伴随点”为，
所以，根据“伴随点”的定义与（1）中结论，有，解得，
因为点在椭圆上，所以，
所以，，且，
所以.
因为，，所以，
所以的取值范围是.
（3）解：由题意，得椭圆的方程为.
设，，则，.
联立椭圆和直线的方程，得
所以.
由题意，得，
所以，.①
因为为直径的圆经过坐标原点，
所以，即，
所以.②
将①代入②，化简，得.
所以，，
所以.
又因为点到直线的距离，
所以.
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第三章 圆锥曲线的方程 章末拓展试题
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第一册
一、单选题
1．已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
3．已知为双曲线的左焦点，为其右支上一点，点，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A． B． C． D．
5．设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
6．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A． B．
C．2 D．
7．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
8．数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（ ）
A．的准线方程为
B．直线与相切
C．若，则的最小值为
D．若，则的周长的最小值为11
10．设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（ ）．
A．
B．P到最小的距离是2
C．面积的最大值为6
D．P到最大的距离是9
11．双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为 .
13．如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球，，使得它们分别与圆锥的侧面和平面都相切，平面分别与球，相切于点，.数学家GerminalDandelin利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也被称为Dandelin双球.若球，的半径分别为6和3，球心距离，则此椭圆的长轴长为 .
14．已知抛物线C：的焦点为F，，过点M作直线的垂线，垂足为Q，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为 ．
四、解答题
15．椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点且长轴长为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦长|AB|．
16．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点，
(1)求双曲线C的标准方程
(2)已知直线与曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求实数m的值．
17．若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)不过原点O的直线与椭圆E交于A、B两点，求面积的最大值以及此时直线l的方程．
18．已知抛物线，为坐标原点，焦点在直线上．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点作动直线与抛物线交于，两点，直线，分别与圆交于点，两点（异于点），设直线，斜率分别为，．
①求证：为定值；
②求证：直线恒过定点．
19．已知椭圆，定义椭圆上的点的“伴随点”为.
(1)求椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程；
(2)如果椭圆上的点的“伴随点”为，对于椭圆上的任意点及它的“伴随点”，求的取值范围；
(3)当，时，直线交椭圆于两点，若点的“伴随点”分别是，且以为直径的圆经过坐标原点，求的面积.
参考答案
1．B
根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.
解：因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，
B为上顶点，所以.
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为.
故选：B.
2．D
利用抛物线的定义求解即可.
因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，
所以到准线的距离为，
又到直线的距离为，
所以，故.
故选：D.
3．B
设双曲线的右焦点为，由双曲线方程可求出，b，c的值，利用双曲线的定义以及三点共线即可求出的周长的最小值．
设双曲线的右焦点为，由双曲线的方程可得：，则，
所以，且，所以，
的周长为，
当且仅当M，P，A三点共线时取等号，
则周长的最小值为．
故选：B．
4．C
首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于的方程，解出即可.
将直线与椭圆联立，消去可得，
因为直线与椭圆相交于点，则，解得，
设到的距离到距离，易知，
则，，
，解得或（舍去），
故选：C.
5．B
因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案.
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
6．A
准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．
设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
为圆心．
，又点在圆上，
，即．
，故选A．
7．A
设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.
设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
8．A
根据题意O、A、P、B四点在以OP为直径的圆上，可设点P坐标为，从而得出四点所在圆的方程为，利用两圆方程之差求得切点A、B所在直线方程，进而求得M、N两点坐标即可解决本题.
依题意有OAPB四点共圆，设点P坐标为，则该圆的方程为：，
将两圆方程：与相减，得切点所在直线方程为
，解得，因为，所以
故选：A
9．BCD
将抛物线方程化为标准式，即可求出焦点坐标与准线方程，从而判断A，联立直线与抛物线方程，消元，由判断B，设点，表示出，根据二次函数的性质判断C，根据抛物线的定义转化求出的周长的最小值，即可判断D.
解：抛物线：，即，所以焦点坐标为，准线方程为，故A错误；
由，即，解得，所以直线与相切，故B正确；
设点，所以，
所以，故C正确；
如图过点作准线，交于点，，，
所以，
当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确；
故选：BCD
10．AD
根据椭圆的定义和性质逐项运算分析即可.
由椭圆方程可得：，则，
对A：根据椭圆的定义可得，A正确；
对B：根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时，P到的距离最小，
最小值为，B错误；
对C：根据椭圆性质可知当P是椭圆的上顶点时，的面积最大，
最大值为，C错误；
对D：根据椭圆性质可知当P是椭圆的右顶点时，P到的距离最大，
最小值为，D正确.
故选：AD.
11．AC
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.
[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，
所以，因为，所以在双曲线的左支，
，， ，设，由即，则，
选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，
所以，， ，设，
由，即，则，
所以，即，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点都在左支,，
，
则，
特值双曲线，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点在左右两支，在右支，，
，
则，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率
若均在左支上，
同理有，其中为钝角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故选：AC.
12．2
根据双曲线的几何性质可知，，，即可根据斜率列出等式求解即可．
联立，解得，所以.
依题可得，，，即，变形得，,
因此，双曲线的离心率为.
故答案为：．
13．
根据给定条件，过切点E，F作出双球模型的轴截面，利用圆的切线性质及椭圆的定义求解作答.
过切点E，F作出双球模型的轴截面，设球分别与圆锥的同一条母线切于A，B两点，
有，过作于点C，则四边形是矩形，
于是，，又，从而，
设直线AB与平面的交点为P，则有，，
所以椭圆的长轴长.
故答案为：
14．
本题先求出直线必过的定点，再求出的轨迹方程，再数形结合求最值即可.
由得，
所以直线过点．
连接AM，则，由题意知点Q在以AM为直径的圆上，设，所以点Q的轨迹方程为（不包含点），
记圆的圆心为，过点Q，P，N分别作准线的垂线，垂足分别为B，D，S，连接DQ，则，当且仅当B，P，Q，N四点共线且点Q在PN中间时等号同时成立，所以的最小值为．
故答案为;
15．(1)
(2)
（1）根据椭圆的长轴长及所经过点直接求出，得出椭圆C的标准方程.
（2）直线l与椭圆方程联立，得出韦达定理，根据弦长公式得出结果.
（1）由题意设椭圆C的方程为，
因为椭圆经过点且长轴长为，
所以，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）由已知设直线l的方程为，设，.
将直线代入，
得，
所以，，
.
16．(1)
(2)
（1）据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点，计算，即可得出答案．
（2）联立直线与双曲线的方程，得关于的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出的中点坐标，代入圆的方程，计算即可得出答案．
（1）设双曲线的方程为，
代入，，得，解得，
所以双曲线的方程为．
（2）由，得，
设，，，，
则中点坐标为，，
由韦达定理可得，
所以，
所以中点坐标为，
因为点在圆上，
所以，解得．
17．(1)
(2)面积的最大值为，此时直线的方程为
(1)根据抛物线和双曲线的性质结合椭圆的的关系求解；
(2)利用韦达定理求出弦长，再利用点到直线距离公式为三角形的高即可求解.
（1）抛物线的焦点为，所以，
因为双曲线的焦点坐标为，
所以则，
所以椭圆E的方程为.
（2）设，
联立可得，
因为直线与椭圆E交于A、B两点，
所以解得，
由韦达定理可得，
由弦长公式可得，
点到直线的距离为，
所以
当且仅当即时取得等号，
所以面积的最大值为，此时直线的方程为.
18．(1)
(2)①证明见解析；②证明见解析
（1）先求出抛物线的焦点坐标，进而得到，可得，从而求解；
（2）①设直线方程为，，，联立方程组，结合韦达定理可得，结合可得，进而求证；
②设直线方程为，，，联立方程组，结合韦达定理可得，，再结合即可得证.
（1）易知直线与x轴交于，
即焦点坐标为，
所以，，
则抛物线方程为．
（2）①设直线方程为，，，
联立方程组，得，
所以，又，
所以，即，
则．
②设直线方程为，，
联立方程组，得，
所以，，
．
整理得，，所以直线过定点．
19．(1)
(2)
(3)
（1）根据“伴随点”的定义，结合点在椭圆上求解即可；
（2）根据题意，结合（1）得，进而得，再根据数量积的坐标表示，结合二次函数求解即可；
（3）设，，则，，进而根据得，再联立椭圆和直线的方程并结合韦达定理得，最后求弦长与点到直线的距离并求面积即可.
（1）解：设.
所以，根据“伴随点”的定义，有，则，
又因为，
所以，即.
所以，椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程为.
（2）解：由（1）知，椭圆上的点的“伴随点”的轨迹方程为，
因为椭圆上的点的“伴随点”为，
所以，根据“伴随点”的定义与（1）中结论，有，解得，
因为点在椭圆上，所以，
所以，，且，
所以.
因为，，所以，
所以的取值范围是.
（3）解：由题意，得椭圆的方程为.
设，，则，.
联立椭圆和直线的方程，得
所以.
由题意，得，
所以，.①
因为为直径的圆经过坐标原点，
所以，即，
所以.②
将①代入②，化简，得.
所以，，
所以.
又因为点到直线的距离，
所以.
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