26.2 二次函数的图象与性质
1.二次函数y=ax2的图象与性质
课时学习目标 素养目标达成
1.了解抛物线及有关概念 模型观念、抽象能力
2.会用描点法画二次函数y=ax2的图象 几何直观、抽象能力
3.能根据图象说出二次函数y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性等性质 几何直观、抽象能力、推理能力
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
二次函数y=ax2的图象和性质 抛物线y=ax2(a>0)y=ax2(a<0)图象开口方向 对称轴y轴(直线 ) 顶点坐标 增减性当x<0时,y随x的增大而 ;当x>0时,y随x的增大而增大当x<0时,y随x的增大而 ;当x>0时,y随x的增大而减小最值当x=0时, y最小=0当x=0时, y最大=0区别与 联系抛物线y=ax2(a>0)与y=ax2(a<0)关于 对称,对称轴都为y轴,形状相同,开口方向相反
1.抛物线y=-x2开口方向是( ) A.向上 B.向下 C.向左 D.向右 2.抛物线y=x2的对称轴是( ) A.直线x=-1 B.直线x=1 C.x轴 D.y轴 3.抛物线y=x2的顶点坐标是 . 4.已知二次函数y=-3x2,当x<0时,y随x的增大而 .(填“增大”或“减小”)
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1 二次函数y=ax2的图象(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P5例1拓展)在平面直角坐标系中,画出函数y=2x2的图象(取值、描点、连线、画图).
列表:
x -2 -1 0 1 2
y 8 2 0 2 8
【解析】描点:如图,描出点:(-2,8),(-1,2),(0,0),(1,2),(2,8),
连线:如图所示,
【举一反三】
(2024·梧州期末)二次函数y=ax2(a>0)的图象一定经过( )
A.第一、二象限 B.第二、三象限
C.第二、四象限 D.第三、四象限
【技法点拨】
二次函数y=ax2的图象的特征
1.a>0 开口向上;a<0 开口向下.
2.对称轴是y轴.
3.顶点坐标为(0,0).
重点2 二次函数y=ax2的性质(几何直观、推理能力)
【典例2】已知函数y=(m+1)是关于x的二次函数.
(1)求满足条件的m的值;
(2)m为何值时,抛物线有最低点 求出这个最低点,这时当x为何值时,y随x的增大而增大
(3)m为何值时,函数有最大值 最大值是多少 这时当x为何值时,y随x的增大而减小
【举一反三】
二次函数y=x2的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若x1【技法点拨】
二次函数y=ax2的“两关系四对等”
1.a>0 开口向上 有最小值
2.a<0 开口向下 有最大值
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·模型观念)对于抛物线y=-3x2,下列说法不正确的是( )
A.图象开口向下 B.y随x的增大而减小
C.顶点坐标为(0,0) D.对称轴为y轴
2.(4分·推理能力)已知点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)都在函数y=-2x2的图象上,且x1>x2>x3>0,则( )
A.y1C.y33.(4分·几何直观)二次函数y=(k+1)x2的图象如图所示,则k的取值范围为 .
4.(8分·抽象能力、几何直观)说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)y=5x2;(2)y=-5x2;
(3)y=x2;(4)y=-x2.26.2 二次函数的图象与性质
1.二次函数y=ax2的图象与性质
课时学习目标 素养目标达成
1.了解抛物线及有关概念 模型观念、抽象能力
2.会用描点法画二次函数y=ax2的图象 几何直观、抽象能力
3.能根据图象说出二次函数y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性等性质 几何直观、抽象能力、推理能力
基础主干落实 九层之台 起于累土
新知要点 对点小练
二次函数y=ax2的图象和性质 抛物线y=ax2(a>0)y=ax2(a<0)图象开口方向 向上 向下 对称轴y轴(直线 x=0 ) 顶点坐标 (0,0) 增减性当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小最值当x=0时, y最小=0当x=0时, y最大=0区别与 联系抛物线y=ax2(a>0)与y=ax2(a<0)关于 x轴 对称,对称轴都为y轴,形状相同,开口方向相反
1.抛物线y=-x2开口方向是(B) A.向上 B.向下 C.向左 D.向右 2.抛物线y=x2的对称轴是(D) A.直线x=-1 B.直线x=1 C.x轴 D.y轴 3.抛物线y=x2的顶点坐标是 (0,0) . 4.已知二次函数y=-3x2,当x<0时,y随x的增大而 增大 .(填“增大”或“减小”)
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1 二次函数y=ax2的图象(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P5例1拓展)在平面直角坐标系中,画出函数y=2x2的图象(取值、描点、连线、画图).
列表:
x -2 -1 0 1 2
y 8 2 0 2 8
【解析】描点:如图,描出点:(-2,8),(-1,2),(0,0),(1,2),(2,8),
连线:如图所示,
【举一反三】
(2024·梧州期末)二次函数y=ax2(a>0)的图象一定经过(A)
A.第一、二象限 B.第二、三象限
C.第二、四象限 D.第三、四象限
【技法点拨】
二次函数y=ax2的图象的特征
1.a>0 开口向上;a<0 开口向下.
2.对称轴是y轴.
3.顶点坐标为(0,0).
重点2 二次函数y=ax2的性质(几何直观、推理能力)
【典例2】已知函数y=(m+1)是关于x的二次函数.
(1)求满足条件的m的值;
(2)m为何值时,抛物线有最低点 求出这个最低点,这时当x为何值时,y随x的增大而增大
(3)m为何值时,函数有最大值 最大值是多少 这时当x为何值时,y随x的增大而减小
【自主解答】(1)∵函数y=(m+1)是关于x的二次函数,∴m2+2m=2,m+1≠0,
解得m1=-1+,m2=-1-.
(2)∵m=-1±,
∴m+1=或-,
当m+1=,即m=-1+时,抛物线有最低点,该点坐标为(0,0);
当x>0时,y随x的增大而增大.
(3)当m+1=-,即m=-1-时,函数有最大值,最大值是0;
当x>0时,y随x的增大而减小.
【举一反三】
二次函数y=x2的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若x1y2 .
【技法点拨】
二次函数y=ax2的“两关系四对等”
1.a>0 开口向上 有最小值
2.a<0 开口向下 有最大值
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·模型观念)对于抛物线y=-3x2,下列说法不正确的是(B)
A.图象开口向下 B.y随x的增大而减小
C.顶点坐标为(0,0) D.对称轴为y轴
2.(4分·推理能力)已知点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)都在函数y=-2x2的图象上,且x1>x2>x3>0,则(A)
A.y1C.y33.(4分·几何直观)二次函数y=(k+1)x2的图象如图所示,则k的取值范围为 k>-1 .
4.(8分·抽象能力、几何直观)说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)y=5x2;(2)y=-5x2;
(3)y=x2;(4)y=-x2.
【解析】(1)y=5x2,∵a=5>0,∴开口向上,
对称轴为直线x=0,顶点坐标为(0,0);
(2)y=-5x2,∵a=-5<0,∴开口向下,
对称轴为直线x=0,顶点坐标为(0,0);
(3)y=x2,
∵a=>0,∴开口向上,
对称轴为直线x=0,顶点坐标为(0,0);
(4)y=-x2,
∵a=-<0,∴开口向下,
对称轴为直线x=0,顶点坐标为(0,0).
