3.求二次函数的表达式
课时学习目标 素养目标达成
1.会用待定系数法求二次函数的表达式 运算能力、模型观念
2.能灵活应用一般式、顶点式、交点式求二次函数的表达式 运算能力、推理能力
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
1.二次函数的表达式的三种形式 形式内容一般式y= ax2+bx+c (a≠0) 顶点式y= a(x-h)2+k (a≠0) 交点式y= a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
1.已知二次函数的图象经过(0,0),(3,0),(1,-4)三点,则该函数的表达式为(C) A.y=x2-3x B.y=2x2-3x C.y=2x2-6x D.y=x2-6x
2.灵活选择设法求二次函数表达式 (1)已知三个一般点的坐标,设一般式y=ax2+bx+c(a≠0)求表达式. (2)已知抛物线的顶点坐标、对称轴或最值,设顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)求表达式. (3)已知抛物线与x轴的交点坐标,设交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)求表达式. 2.如图是函数y=-(x-h)2+k的图象,则其表达式为 y=-(x+1)2+5 .
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1 用一般式求二次函数的表达式(模型观念、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P22例7拓展)如图,二次函数y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),B(5,0),C(0,-5),点D是抛物线的顶点,过D作x轴的垂线交直线BC于点E.
(1)求此二次函数的表达式及点D坐标;
(2)连结CD,求△CDE的面积.
【解析】(1)由函数图象过点C(0,-5),
∴c=-5,
又由于图象过(-1,0),(5,0),
∴a-b-5=0,
25a+5b-5=0,
解得,
∴y=x2-4x-5,
∵y=x2-4x-5=(x-2)2-9,
∴D(2,-9).
(2)设直线BC的表达式为y=mx+n,
把B(5,0),C(0,-5)分别代入得,
解得,
∴直线BC的表达式为y=x-5,
当x=2时,y=2-5=-3,
∴E(2,-3),
∴S△CDE=×(-3+9)×2=6.
【举一反三】
(2024·南京期末)已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如表:
x … 0 1 2 3 …
y … 5 2 1 2 …
(1)求该二次函数的表达式;
(2)若点A(-1,y1),B(4,y2)在这个函数的图象上,则y1 y2.(填“>”“<”或“=”)
【解析】(1)由题知,将点(0,5),(1,2),(2,1)分别代入函数表达式得,,
解得,
所以该二次函数表达式为y=x2-4x+5.
(2)当x=-1时,
y1=(-1)2-4×(-1)+5=10;
当x=4时,
y2=42-4×4+5=5;
∴y1>y2.
答案:>
重点2用顶点式、交点式求二次函数的表达式(运算能力、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P22例6拓展)已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(-1,2),且图象过点(1,-3),
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)写出它的开口方向、对称轴.
【自主解答】(1)设函数表达式为y=a(x+1)2+2,把点(1,-3)代入表达式,得
a=-,所以抛物线的表达式为y=-(x+1)2+2;
(2)由(1)的函数表达式可得:抛物线的开口向下,对称轴为直线x=-1.
【举一反三】
1.(2024·北京期末)已知某二次函数的图象开口向上,且顶点坐标为(1,3),则这个二次函数表达式可以是 y=(x-1)2+3(答案不唯一) .
2.(2024·合肥期末)抛物线的图象如图所示,其中点A为顶点.
(1)写出点A,B的坐标;
(2)求出抛物线的表达式.
【解析】(1)观察题中图象可知,A(2,-4),B(0,4);
(2)∵A(2,-4)为顶点,
∴设抛物线的表达式为y=a(x-2)2-4,
把B(0,4)代入得,4a-4=4,解得a=2,
∴抛物线的表达式为y=2(x-2)2-4.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·运算能力)一个二次函数图象的顶点坐标是(2,4),且过另一点(0,-4),则这个二次函数的表达式为(C)
A.y=-2(x+2)2+4 B.y=2(x+2)2-4
C.y=-2(x-2)2+4 D.y=2(x-2)2-4
2.(4分·运算能力)设二次函数y=ax2+bx+2(a≠0,b是实数),已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示,则该二次函数的表达式为(B)
x … -1 0 1 2 3 …
y … 5 m n 2 p …
A.y=2x2-x+2 B.y=x2-2x+2
C.y=-2x2-5x+2 D.y=-x2+2x+2
3.(4分·运算能力)已知二次函数图象经过(1,0),(2,0)和(0,2)三点,则该函数的表达式是(B)
A.y=2x2+x+2 B.y=x2-3x+2
C.y=x2+3x+2 D.y=x2-2x+3
4.(8分·运算能力)已知,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),C(0,3),B(2,-3)三点.
(1)求抛物线对应的函数表达式;
(2)求抛物线的对称轴和顶点坐标.
【解析】(1)由题意得:
,解得,
则抛物线对应的表达式为y=-2x2+x+3;
(2)抛物线的对称轴为直线x=-=,
当x=时,y=-2x2+x+3=,
即顶点坐标为(,).
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课时学习目标 素养目标达成
1.会用待定系数法求二次函数的表达式 运算能力、模型观念
2.能灵活应用一般式、顶点式、交点式求二次函数的表达式 运算能力、推理能力
基础主干落实 博观约取 厚积薄发
新知要点 对点小练
1.二次函数的表达式的三种形式 形式内容一般式y= (a≠0) 顶点式y= (a≠0) 交点式y= (a≠0)
1.已知二次函数的图象经过(0,0),(3,0),(1,-4)三点,则该函数的表达式为( ) A.y=x2-3x B.y=2x2-3x C.y=2x2-6x D.y=x2-6x
2.灵活选择设法求二次函数表达式 (1)已知三个一般点的坐标,设一般式y=ax2+bx+c(a≠0)求表达式. (2)已知抛物线的顶点坐标、对称轴或最值,设顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)求表达式. (3)已知抛物线与x轴的交点坐标,设交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)求表达式. 2.如图是函数y=-(x-h)2+k的图象,则其表达式为 .
重点典例研析 循道而行 方能致远
重点1 用一般式求二次函数的表达式(模型观念、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P22例7拓展)如图,二次函数y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),B(5,0),C(0,-5),点D是抛物线的顶点,过D作x轴的垂线交直线BC于点E.
(1)求此二次函数的表达式及点D坐标;
(2)连结CD,求△CDE的面积.
【举一反三】
(2024·南京期末)已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数y与自变量x的部分对应值如表:
x … 0 1 2 3 …
y … 5 2 1 2 …
(1)求该二次函数的表达式;
(2)若点A(-1,y1),B(4,y2)在这个函数的图象上,则y1 y2.(填“>”“<”或“=”)
重点2用顶点式、交点式求二次函数的表达式(运算能力、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P22例6拓展)已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(-1,2),且图象过点(1,-3),
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)写出它的开口方向、对称轴.
【举一反三】
1.(2024·北京期末)已知某二次函数的图象开口向上,且顶点坐标为(1,3),则这个二次函数表达式可以是 .
2.(2024·合肥期末)抛物线的图象如图所示,其中点A为顶点.
(1)写出点A,B的坐标;
(2)求出抛物线的表达式.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·运算能力)一个二次函数图象的顶点坐标是(2,4),且过另一点(0,-4),则这个二次函数的表达式为( )
A.y=-2(x+2)2+4 B.y=2(x+2)2-4
C.y=-2(x-2)2+4 D.y=2(x-2)2-4
2.(4分·运算能力)设二次函数y=ax2+bx+2(a≠0,b是实数),已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示,则该二次函数的表达式为( )
x … -1 0 1 2 3 …
y … 5 m n 2 p …
A.y=2x2-x+2 B.y=x2-2x+2
C.y=-2x2-5x+2 D.y=-x2+2x+2
3.(4分·运算能力)已知二次函数图象经过(1,0),(2,0)和(0,2)三点,则该函数的表达式是( )
A.y=2x2+x+2 B.y=x2-3x+2
C.y=x2+3x+2 D.y=x2-2x+3
4.(8分·运算能力)已知,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),C(0,3),B(2,-3)三点.
(1)求抛物线对应的函数表达式;
(2)求抛物线的对称轴和顶点坐标.
