26.3 实践与探索
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.能运用二次函数的性质解决拱桥、运动轨迹等有关问题. 应用意识、几何直观、运算能力
2.能运用二次函数的性质解决商品销售中的最大利润问题. 应用意识、几何直观、运算能力
3.能通过建立二次函数模型,运用二次函数的图象与性质进行决策,进一步提升模型观念和解决实际问题的能力. 模型观念、创新意识
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
建立坐标系解决实际问题的一般步骤: 第一步:根据题意建立适当的 ; 第二步:根据条件求出函数的 ; 第三步:确定自变量的 ; 第四步:解决 . 中条山隧道位于山西省运城市盐湖区,这一隧道的建设开创了全省普通公路特长隧道工程建设的先河,也是全国单洞里程最长的隧道工程.如图1是中条山隧道,其截面近似为抛物线形,如图2为截面示意图,线段OA表示水平的路面,以O为坐标原点,OA所在直线为x轴,以过点O垂直于x轴的直线为y轴,建立平面直角坐标系.经测量OA=12 m,抛物线的顶点P到OA的距离为5 m,则抛物线的函数表达式为 .
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1抛物线形问题(几何直观、应用意识、运算能力)
【典例1】(教材溯源·P27问题2拓展·2024·武汉中考)16世纪中叶,我国发明了一种新式火箭“火龙出水”,它是二级火箭的始祖.火箭第一级运行路径形如抛物线,当火箭运行一定水平距离时,自动引发火箭第二级,火箭第二级沿直线运行.
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图,以发射点为原点,地平线为x轴,垂直于地面的直线为y轴,建立平面直角坐标系,分别得到抛物线y=ax2+x和直线y=-x+b.其中,当火箭运行的水平距离为9 km时,自动引发火箭的第二级.
(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6 km,
①直接写出a,b的值;
②火箭在运行过程中,有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35 km,求这两个位置之间的距离.
(2)直接写出a满足什么条件时,火箭落地点与发射点的水平距离超过15 km.
【举一反三】
(2024·宁波模拟)如图,将小球从点O的正上方3 m的点A处发出,把小球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=-x2+bx+c.
(1)若当小球运动的水平距离为1 m时,小球达到最大高度,求小球达到的最大高度.
(2)若小球发出位置的正前方4 m(OC=4 m)处有一个截面为长方形的球筐CDEF,其中CD为2 m,DE为1 m,若要使小球落入筐中,求b的取值范围.
【技法点拨】
解决抛物线形实物问题的一般步骤
(1)建:建立适当的平面直角坐标系.
(2)求:待定系数法求出二次函数表达式.
(3)算:根据特殊点的横(纵)坐标,算出该点的纵(横)坐标.
(4)结:写出实际问题的结论.
重点2商品利润与二次函数(几何直观、应用意识、运算能力)
【典例2】(教材溯源·P30T2·2023朝阳中考)某超市以每件10元的价格购进一种文具,销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元.经过市场调查发现,该文具的每天销售数量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,部分数据如表所示:
销售单价x/元 … 12 13 14 …
每天销售数量y/件 … 36 34 32 …
(1)直接写出y与x之间的函数关系式;
(2)若该超市每天销售这种文具获利192元,则销售单价为多少元
(3)设销售这种文具每天获利w元,当销售单价为多少元时,每天获利最大 最大利润是多少元
【举一反三】
(2024·贵阳期末)为抢抓大数据产业发展先机,紧跟电商发展新机遇、新模式、新业态,贵州省大力打造地方特色电商平台,通过“云”销售,助力“黔货出山”.贵州特产某品牌刺梨汁的进价为45元/箱,售价为60元/箱,某销售网店平均每周可售出100箱;当销售价每降低1元时,平均每周多售出20箱.设每箱产品降价x元,每周的销售利润为y元.
(1)求y与x的关系式;
(2)当销售价为多少元时,每周获得的利润最大 并求出最大利润.
【技法点拨】
1.销售量随单价变化而变化的三种展现方法:(1)文字叙述;(2)表格展示;(3)图象展现.
2.确定利润最大值的两种情况:
(1)顶点在自变量的取值范围之内,顶点的纵坐标便是最值;
(2)顶点在自变量的取值范围之外,端点的纵坐标才是最值.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(5分·应用意识、运算能力)便民商店经营一种商品,在销售过程中,发现一周利润y(元)与每件销售价x(元)之间的关系满足y=-2x2+80x+758,由于某种原因,价格需满足15≤x≤19,那么一周可获得的最大利润是( )
A.1 554元 B.1 556元
C.1 558元 D.1 560元
2.(5分·应用意识、运算能力)如图为一座拱桥的部分示意图,中间桥洞的边界线是抛物线形,涝季的最高水位线在AB处,此时桥洞中水面宽度AB仅为4米,桥洞顶部点O到水面AB的距离仅为1米;旱季最低水位线在CD处,此时桥洞中水面宽度CD达12米,那么最低水位CD与最高水位AB之间的距离为( )
A.8米 B.9米 C.10米 D.11米
3.(10分·模型观念)某工厂生产某种体育器材,生产这种体育器材每件的成本y(元)与产量x(件)之间满足一次函数关系,且当x=160时,y=960;当x=190时,y=840.
(1)求y与x之间的函数表达式.
(2)该工厂计划生产这种体育器材不超过300件,且每件的成本不超过800元,已知这种体育器材每件的售价为1 200元,且全部售出,求当产量为多少件时,该工厂生产这种体育器材的利润最大,并求出最大利润.26.3 实践与探索
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.能运用二次函数的性质解决拱桥、运动轨迹等有关问题. 应用意识、几何直观、运算能力
2.能运用二次函数的性质解决商品销售中的最大利润问题. 应用意识、几何直观、运算能力
3.能通过建立二次函数模型,运用二次函数的图象与性质进行决策,进一步提升模型观念和解决实际问题的能力. 模型观念、创新意识
基础主干落实 起步起势 向上向阳
新知要点 对点小练
建立坐标系解决实际问题的一般步骤: 第一步:根据题意建立适当的 平面直角坐标系 ; 第二步:根据条件求出函数的 表达式 ; 第三步:确定自变量的 取值范围 ; 第四步:解决 实际问题 . 中条山隧道位于山西省运城市盐湖区,这一隧道的建设开创了全省普通公路特长隧道工程建设的先河,也是全国单洞里程最长的隧道工程.如图1是中条山隧道,其截面近似为抛物线形,如图2为截面示意图,线段OA表示水平的路面,以O为坐标原点,OA所在直线为x轴,以过点O垂直于x轴的直线为y轴,建立平面直角坐标系.经测量OA=12 m,抛物线的顶点P到OA的距离为5 m,则抛物线的函数表达式为 y=-(x-6)2+5 .
重点典例研析 精钻细研 学深悟透
重点1抛物线形问题(几何直观、应用意识、运算能力)
【典例1】(教材溯源·P27问题2拓展·2024·武汉中考)16世纪中叶,我国发明了一种新式火箭“火龙出水”,它是二级火箭的始祖.火箭第一级运行路径形如抛物线,当火箭运行一定水平距离时,自动引发火箭第二级,火箭第二级沿直线运行.
某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程.如图,以发射点为原点,地平线为x轴,垂直于地面的直线为y轴,建立平面直角坐标系,分别得到抛物线y=ax2+x和直线y=-x+b.其中,当火箭运行的水平距离为9 km时,自动引发火箭的第二级.
(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6 km,
①直接写出a,b的值;
②火箭在运行过程中,有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35 km,求这两个位置之间的距离.
(2)直接写出a满足什么条件时,火箭落地点与发射点的水平距离超过15 km.
【解析】(1)①∵y=ax2+x经过点(9,3.6),∴81a+9=3.6,解得a=-.
∵y=-x+b经过点(9,3.6),
∴3.6=-×9+b.
解得b=8.1.
②由①得:y=-x2+x
=-(x2-15x+)+
=-(x-)2+(0≤x≤9).
∴火箭运行的最高点是 km.
∴-1.35=2.4(km),
∴2.4=-x2+x,
整理得x2-15x+36=0.
解得x1=12>9(不合题意,舍去),x2=3.
由①得:y=-x+8.1,
∴2.4=-x+8.1,
解得:x=11.4.
∴11.4-3=8.4(km).
答:这两个位置之间的距离为8.4 km.
(2)当x=9时,y=81a+9.
∴火箭第二级的引发点的坐标为(9,81a+9).
设火箭落地点与发射点的水平距离为15 km.
∴y=-x+b经过点(9,81a+9),(15,0),
∴.
解得:.
∴-
【举一反三】
(2024·宁波模拟)如图,将小球从点O的正上方3 m的点A处发出,把小球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=-x2+bx+c.
(1)若当小球运动的水平距离为1 m时,小球达到最大高度,求小球达到的最大高度.
(2)若小球发出位置的正前方4 m(OC=4 m)处有一个截面为长方形的球筐CDEF,其中CD为2 m,DE为1 m,若要使小球落入筐中,求b的取值范围.
【解析】(1)∵小球运动的水平距离为1 m时,小球达到最大高度,
∴抛物线的对称轴为直线x=1.
∴-=1,解得b=.
由题意得:抛物线上点A的坐标为(0,3).
∴c=3.
∴抛物线的表达式为y=-x2+x+3.
当x=1时,y=-++3=.
答:小球达到的最大高度为 m;
(2)由题意得:点F的坐标为(4,1),点E的坐标为(6,1).
∵抛物线上点A的坐标为(0,3),∴c=3.
∴抛物线的表达式为y=-x2+bx+3.
①抛物线经过点(4,1),-×42+4b+3=1,
解得b=.
②抛物线经过点(6,1),-×62+6b+3=1,
解得b=.∴要使小球落入筐中,b的取值范围为≤b≤.
【技法点拨】
解决抛物线形实物问题的一般步骤
(1)建:建立适当的平面直角坐标系.
(2)求:待定系数法求出二次函数表达式.
(3)算:根据特殊点的横(纵)坐标,算出该点的纵(横)坐标.
(4)结:写出实际问题的结论.
重点2商品利润与二次函数(几何直观、应用意识、运算能力)
【典例2】(教材溯源·P30T2·2023朝阳中考)某超市以每件10元的价格购进一种文具,销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元.经过市场调查发现,该文具的每天销售数量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,部分数据如表所示:
销售单价x/元 … 12 13 14 …
每天销售数量y/件 … 36 34 32 …
(1)直接写出y与x之间的函数关系式;
(2)若该超市每天销售这种文具获利192元,则销售单价为多少元
(3)设销售这种文具每天获利w元,当销售单价为多少元时,每天获利最大 最大利润是多少元
【解析】(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0),由题表所给数据可知,
,解得,
故y与x的函数关系式为y=-2x+60.
(2)根据题意得(x-10)(-2x+60)=192,
解得x1=18,x2=22,
又∵10≤x≤19,∴x=18,
答:销售单价应为18元.
(3)w=(x-10)(-2x+60)=-2x2+80x-600=-2(x-20)2+200,
∵a=-2<0,∴抛物线开口向下,
∵对称轴为直线x=20,
∴当10≤x≤19时,w随x的增大而增大,
∴当x=19时,w有最大值,w最大=198.
答:当销售单价为19元时,每天获利最大,最大利润是198元.
【举一反三】
(2024·贵阳期末)为抢抓大数据产业发展先机,紧跟电商发展新机遇、新模式、新业态,贵州省大力打造地方特色电商平台,通过“云”销售,助力“黔货出山”.贵州特产某品牌刺梨汁的进价为45元/箱,售价为60元/箱,某销售网店平均每周可售出100箱;当销售价每降低1元时,平均每周多售出20箱.设每箱产品降价x元,每周的销售利润为y元.
(1)求y与x的关系式;
(2)当销售价为多少元时,每周获得的利润最大 并求出最大利润.
【解析】(1)由题意得,y=(60-45-x)(100+20x)=-20x2+200x+1 500;
(2)∵y=-20x2+200x+1500=-20(x-5)2+2 000≤2 000,
故当x=5,即售价为55元时,每周获得的利润最大,最大利润为2 000元.
【技法点拨】
1.销售量随单价变化而变化的三种展现方法:(1)文字叙述;(2)表格展示;(3)图象展现.
2.确定利润最大值的两种情况:
(1)顶点在自变量的取值范围之内,顶点的纵坐标便是最值;
(2)顶点在自变量的取值范围之外,端点的纵坐标才是最值.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(5分·应用意识、运算能力)便民商店经营一种商品,在销售过程中,发现一周利润y(元)与每件销售价x(元)之间的关系满足y=-2x2+80x+758,由于某种原因,价格需满足15≤x≤19,那么一周可获得的最大利润是(B)
A.1 554元 B.1 556元
C.1 558元 D.1 560元
2.(5分·应用意识、运算能力)如图为一座拱桥的部分示意图,中间桥洞的边界线是抛物线形,涝季的最高水位线在AB处,此时桥洞中水面宽度AB仅为4米,桥洞顶部点O到水面AB的距离仅为1米;旱季最低水位线在CD处,此时桥洞中水面宽度CD达12米,那么最低水位CD与最高水位AB之间的距离为(A)
A.8米 B.9米 C.10米 D.11米
3.(10分·模型观念)某工厂生产某种体育器材,生产这种体育器材每件的成本y(元)与产量x(件)之间满足一次函数关系,且当x=160时,y=960;当x=190时,y=840.
(1)求y与x之间的函数表达式.
(2)该工厂计划生产这种体育器材不超过300件,且每件的成本不超过800元,已知这种体育器材每件的售价为1 200元,且全部售出,求当产量为多少件时,该工厂生产这种体育器材的利润最大,并求出最大利润.
【解析】(1)设y与x之间的函数表达式y=kx+b(k≠0),
依题意得,
解得,∴y与x之间的函数表达式为y=-4x+1 600;
(2)设该工厂生产这种体育器材的利润为W元,
依题意得W=[1 200-(-4x+1 600)]·x=4x2-400x,
由题意可知,x≤300,y≤800,
∴,
∴200≤x≤300,
∵W=4x2-400x,对称轴为x=-=50,
∵a=4>0,x的取值范围在对称轴右侧,
∴W随x的增大而增大,
∴当x=300时,W最大,最大值为4×3002-400×300=360 000-120 000=240 000(元),
答:当产量为300件时,该工厂生产这种体育器材的利润最大,最大利润为240 000元.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 九”26.3 实践与探索
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.掌握二次函数与一元二次方程的关系,能运用一元二次方程根的判别式处理二次函数的相关问题,能用图象法求一元二次方程的近似解. 几何直观、运算能力、推理能力
2.会利用二次函数的图象求不等式的解集. 几何直观、运算能力
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与一元二次方程根的关系 判别式: Δ=b2 -4ac二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根Δ>0与x轴有两个不同的交点 ( x1 ,0), ( x2 ,0) 有两个不等的实数根x= x1 , x= x2 Δ=0与x轴有唯一一个交点 有两个相等的实数根x1=x2=Δ<0与x轴 没有 交点 没有 实数根
1.判断(对的打“√”,错的打“×”) (1)二次函数图象与x轴不一定有交点.(√) (2)二次函数图象与y轴不一定有交点.(×) 2.若抛物线y=x2+4x+c与x轴没有交点,则c的值可以是(D) A.-4 B.0 C.4 D.8 3.根据下列表格,判断出方程8x2+9x-1=0的一个近似解(结果精确到0.01)是(C) x-1.5-1.4-1.3-1.2-1.18x2+9x-13.52.080.82-0.28-1.22
A.-1.43 B.-1.33 C.-1.23 D.-1.13 4.已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为 x1=3,x2=-1 . 5.如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分,其对称轴为直线x=1,若抛物线与x轴的一个交点为A(-1,0),则由图象可知,不等式ax2+bx+c<0的解集是 -1重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1二次函数与一元二次方程(抽象能力、运算能力、几何直观)
【典例1】(教材再开发·P28问题3拓展)如图,二次函数y=-x2+6x-5a的图象交x轴正半轴于A,B两点(点A在点B的左边),交y轴于点C,连结AC,BC,已知OC=5.
(1)求二次函数的表达式;
(2)求△ABC的面积.
【自主解答】(1)由题意,令x=0,∴y=-5a.
又OC=5,∴-5a=-5.∴a=1.
∴二次函数的表达式为y=-x2+6x-5.
(2)由(1)得抛物线为y=-x2+6x-5,
∴令y=0,则0=-x2+6x-5.
∴x=1或x=5.∴AB=5-1=4.又OC=5,
∴S△ABC=AB·OC=×4×5=10.
【举一反三】
(2024·湖州期末)如图,已知抛物线的顶点D的坐标为(1,-4),
且与y轴交于点C(0,-3).
(1)求该函数的关系式;
(2)求该抛物线与x轴的交点A,B的坐标.
【解析】(1)设抛物线顶点式为y=a(x-h)2+k(a≠0),由题意得h=1,k=-4,
将C点代入式子可得a=1,
所以抛物线的关系式为y=(x-1)2-4.
(2)要求抛物线与x轴的交点,可令y=0,
即(x-1)2-4=0,
解得x1=3,x2=-1.
所以交点坐标为B(3,0),A(-1,0).
【技法点拨】
二次函数与一元二次方程关系的两个方面
1.“数”的方面:当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值等于0时,相应的自变量的值为一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的解.
2.“形”的方面:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的解.
重点2二次函数与不等式(运算能力、几何直观)
【典例2】(教材再开发·P29问题4拓展)如图,抛物线y=-x2+mx与直线y=x+b交于点A和点B,直线AB与y轴交于点C(0,-2).
(1)求抛物线的表达式及顶点坐标;
(2)求点A的坐标,并结合图象直接写出关于x的不等式-x2+mx≤x+b的解集;
(3)若关于x的方程-x2+mx=n在-1≤x≤2的范围内只有一个实数根或两个相等的实数根,直接写出n的取值范围.
【解析】(1)由题意,将点C(0,-2)代入y=x+b,得b=-2,∴y=x-2.
当y=0时,x-2=0,解得x=2,
∴B(2,0).
将点B(2,0)代入y=-x2+mx得-22+2m=0,
∴解得m=2.
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x.
∵y=-x2+2x=-(x-1)2+1,
∴顶点坐标为(1,1).
(2)∵直线y=x-2与抛物线y=-x2+2x的交点在第三象限,∴-x2+2x=x-2,
∴x=2(不符合题意,舍去)或x=-1,
∴x=-1,∴y=-3,
∴点A的坐标为(-1,-3).
观察图象,得不等式-x2+mx≤x+b的解集为x≤-1或x≥2.
(3)由题意,方程-x2+mx=n在-1≤x≤2的范围内只有一个实数根或两个相等的实数根可以理解为抛物线y=-x2+2x与直线y=n在-1≤x≤2的范围内只有一个交点.
如图,当-3≤n<0时,直线y=n与抛物线y=-x2+2x始终有一个交点;
当直线y=n经过抛物线顶点时,直线y=n与抛物线y=-x2+2x有一个交点.
∴n的取值范围为-3≤n<0或n=1.
【举一反三】
(2024·福州模拟)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与y轴交于点A(0,2),其对称轴是直线x=,则不等式ax2+bx+c≤2的解集是(D)
A.x≤0 B.x≤-1或x≥2
C.0≤x≤1 D.x≤0或x≥1
【技法点拨】
与二次函数相关的不等式解集的两种情况
1.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在x轴上方的部分的点的纵坐标都是正数,所对应的x的所有值就是不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集.
2.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在x轴下方的部分的点的纵坐标都是负数,所对应的x的所有值就是不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·几何直观)二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y2=kx+m(k≠0)的图象如图所示,当y1>y2时,自变量x的取值范围是(D)
A.1C.x>4 D.x<1或x>4
2.(4分·抽象能力)如表是一组二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x与函数值y的对应值:
x 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
y -0.36 -0.01 0.36 0.75 1.16
那么下列选项中可能是方程ax2+bx+c=0的近似解的是(B)
A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5
3.(4分·抽象能力)经过点A(m,n),B(m-4,n)的抛物线y=x2+2cx+c与x轴有两个公共点,与y轴的交点在x轴的上方,则m的取值范围是 m<1 .
4.(8分·抽象能力、运算能力)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x与函数y的部分对应值如表:
x … -1 0 1 2 3 4 …
y … 0 -3 -4 -3 0 m …
(1)二次函数图象的顶点坐标为 ,m的值为 ;
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象;
(3)点P(-4,y1)、Q(5,y2)在函数图象上,y1 y2(填“<”“>”或“=”);
(4)当y<0时,x的取值范围是 ;
(5)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=5的解为 .
【解析】(1)根据抛物线的对称性可知,顶点坐标为(1,-4),将(0,-3),(1,-4),(2,-3)代入y=ax2+bx+c(a≠0)中得y=x2-2x-3,把x=4代入得,m=5;
答案:(1,-4) 5
(2)抛物线图象如图所示:
(3)根据抛物线的性质,开口向上,对称轴为直线x=1,
点P到对称轴的距离为1-(-4)=5,
点Q到对称轴的距离为5-1=4,
∵5>4,∴y1>y2;
答案:>
(4)根据函数的图象和性质,当y<0时,x的取值范围是-1答案:-1(5)设二次函数的表达式y=k(x-1)2-4,将(-1,0)代入得,0=4k-4,k=1,
∴抛物线表达式为y=x2-2x-3,
令y=5,则x2-2x-3=5,
解得x1=4,x2=-2,
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=5的解为x=4或x=-2.
答案:x=4或x=-2
训练升级,请使用 “课时过程性评价 十”26.3 实践与探索
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.掌握二次函数与一元二次方程的关系,能运用一元二次方程根的判别式处理二次函数的相关问题,能用图象法求一元二次方程的近似解. 几何直观、运算能力、推理能力
2.会利用二次函数的图象求不等式的解集. 几何直观、运算能力
基础主干落实 筑牢根基 行稳致远
新知要点 对点小练
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与一元二次方程根的关系 判别式: Δ=b2 -4ac二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根Δ>0与x轴有两个不同的交点 ( ,0), ( ,0) 有两个不等的实数根x= , x= Δ=0与x轴有唯一一个交点 有两个相等的实数根x1=x2= Δ<0与x轴 交点 实数根
1.判断(对的打“√”,错的打“×”) (1)二次函数图象与x轴不一定有交点.(√) (2)二次函数图象与y轴不一定有交点.(×) 2.若抛物线y=x2+4x+c与x轴没有交点,则c的值可以是( ) A.-4 B.0 C.4 D.8 3.根据下列表格,判断出方程8x2+9x-1=0的一个近似解(结果精确到0.01)是( ) x-1.5-1.4-1.3-1.2-1.18x2+9x-13.52.080.82-0.28-1.22
A.-1.43 B.-1.33 C.-1.23 D.-1.13 4.已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为 . 5.如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分,其对称轴为直线x=1,若抛物线与x轴的一个交点为A(-1,0),则由图象可知,不等式ax2+bx+c<0的解集是 .
重点典例研析 学贵有方 进而有道
重点1二次函数与一元二次方程(抽象能力、运算能力、几何直观)
【典例1】(教材再开发·P28问题3拓展)如图,二次函数y=-x2+6x-5a的图象交x轴正半轴于A,B两点(点A在点B的左边),交y轴于点C,连结AC,BC,已知OC=5.
(1)求二次函数的表达式;
(2)求△ABC的面积.
【举一反三】
(2024·湖州期末)如图,已知抛物线的顶点D的坐标为(1,-4),
且与y轴交于点C(0,-3).
(1)求该函数的关系式;
(2)求该抛物线与x轴的交点A,B的坐标.
【技法点拨】
二次函数与一元二次方程关系的两个方面
1.“数”的方面:当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值等于0时,相应的自变量的值为一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的解.
2.“形”的方面:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的解.
重点2二次函数与不等式(运算能力、几何直观)
【典例2】(教材再开发·P29问题4拓展)如图,抛物线y=-x2+mx与直线y=x+b交于点A和点B,直线AB与y轴交于点C(0,-2).
(1)求抛物线的表达式及顶点坐标;
(2)求点A的坐标,并结合图象直接写出关于x的不等式-x2+mx≤x+b的解集;
(3)若关于x的方程-x2+mx=n在-1≤x≤2的范围内只有一个实数根或两个相等的实数根,直接写出n的取值范围.
【举一反三】
(2024·福州模拟)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与y轴交于点A(0,2),其对称轴是直线x=,则不等式ax2+bx+c≤2的解集是( )
A.x≤0 B.x≤-1或x≥2
C.0≤x≤1 D.x≤0或x≥1
【技法点拨】
与二次函数相关的不等式解集的两种情况
1.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在x轴上方的部分的点的纵坐标都是正数,所对应的x的所有值就是不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集.
2.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在x轴下方的部分的点的纵坐标都是负数,所对应的x的所有值就是不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(4分·几何直观)二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y2=kx+m(k≠0)的图象如图所示,当y1>y2时,自变量x的取值范围是( )
A.1C.x>4 D.x<1或x>4
2.(4分·抽象能力)如表是一组二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x与函数值y的对应值:
x 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
y -0.36 -0.01 0.36 0.75 1.16
那么下列选项中可能是方程ax2+bx+c=0的近似解的是( )
A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5
3.(4分·抽象能力)经过点A(m,n),B(m-4,n)的抛物线y=x2+2cx+c与x轴有两个公共点,与y轴的交点在x轴的上方,则m的取值范围是 .
4.(8分·抽象能力、运算能力)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x与函数y的部分对应值如表:
x … -1 0 1 2 3 4 …
y … 0 -3 -4 -3 0 m …
(1)二次函数图象的顶点坐标为 ,m的值为 ;
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象;
(3)点P(-4,y1)、Q(5,y2)在函数图象上,y1 y2(填“<”“>”或“=”);
(4)当y<0时,x的取值范围是 ;
(5)关于x的一元二次方程ax2+bx+c=5的解为 .