1.1 周期变化 学案（含答案） 2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

11 周期变化
【学习目标】
1.了解周期变化在现实中广泛存在.(直观想象)
2.感受周期变化对实际工作的意义.(数学抽象)
3.理解周期变化的概念.(数学抽象)
4.能熟练地判断简单的实际问题的周期.(逻辑推理)
【自主预习】
　　钟表上的时针每经过12小时转动一周，分针每经过1小时转动一周，秒针每经过1分钟转动一周.假设现在是上午8：00.
1.24小时后的时间是多少 48小时呢
2.时针转动几周，时间是明天上午8：00
3.每天的上午8：00，相隔多长时间 这样的现象，具有怎样的特征
1.(改编)下列现象是周期现象的是(　　).
A.台风 B.潮汐
C.海啸 D.地震
2.(多选题)下列函数图象具有周期性的是(　　).
A　　　　　　 　　　B
C　　　　　　 　　　D
3.已知函数y=f(x)的周期为1，且当04.如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动.设顶点P(x，y)满足y=f(x)，且f(0)=，则使f(x)=成立的x的最小正值为　　　　.
【合作探究】
　生活中的周期变化
　　当潮汐发生时，水的深度会产生周期性变化.为了研究水深的变化规律，我们可以构造一个函数.例如，确定一个位置，考察该处水深H和时间t的关系，那么H就是t的函数.某港口在某一天某个位置的水深与时间的对应关系如下表所示，通过表中数据，我们来研究H(t)这个函数.
时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m
1：00 5.0 9：00 2.5 17：00 6.2
2：00 6.2 10：00 2.7 18：00 5.3
3：00 7.5 11：00 3.5 19：00 4.1
4：00 7.3 12：00 4.4 20：00 3.1
5：00 6.2 13：00 5.0 21：00 2.5
6：00 5.3 14：00 6.2 22：00 2.7
7：00 4.1 15：00 7.5 23：00 3.5
8：00 3.1 16：00 7.3 24：00 4.4
　　根据上表提供的数据在坐标纸上可以作出水深H与时间t关系的散点图如下：
问题1：上述变化是周期变化吗
问题2：你能否举出生活中的几个周期变化
问题3：判断周期变化能不能只判定该变化是否重复出现
　　周期变化
(1)以相同间隔 的变化叫作周期变化.
(2)要判断一种变化是否为周期变化，关键是看每隔一段时间，这种变化是否会 出现.若出现，则为周期变化；否则，不是周期变化.
(1)下列变化中不是周期变化的是(　　).
A.“春去春又回”
B.钟表的分针每小时转一圈
C.天干地支表示年、月、日的时间顺序
D.某交通路口每次绿灯通过的车辆数
(2)地球围绕着太阳转(如图)，地球到太阳的距离y随时间的变化是周期性的吗
【方法总结】准确理解周期变化的定义是判断是否为周期变化的关键.
如图，这是某人的部分心电图，根据这个心电图，请你判断其心脏跳动是否正常.
　周期变化在函数中的应用
　　将函数f(x)=x2，x∈[-1，1]的图象分别向左、向右平移2，4，6，…个单位长度，观察图象.
问题1：f(-6)，f(-4)，f(-2)，f(0)，f(2)，f(4)，f(6)的值是否相等 f(-7)，f(-5)，f(-3)，f(-1)，f(1)，f(3)，f(5)的值是否相等 由此可以得到f(x+2)与f(x)有什么关系
问题2：利用你所得出的结论，求f，f-，f的值.
　　对于函数y=f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x+T∈D且满足f(x+T)=f(x)，那么函数y=f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期.
如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y=f(x)的最小正周期.
已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x+2)·f(x)=k(k为常数)，当x∈[0，2]时，f(x)=x2+1，则f(5)=(　　).
A.1 B.2 C.3 D.5
【方法总结】常见周期函数的形式：周期函数除常见的定义式f(x+T)=f(x)外，还有如下四种形式：(1)f(x+a)=-f(x)；(2)f(x+a)=；(3)f(x-a)=-；(4)f(x-a)=f(x+a).以上四种形式的函数都是以|2a|(a≠0)为周期的周期函数.
定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+3)=f(x).若f(2)>1，f(7)=a，则实数a的取值范围为(　　).
A.(-∞，-3) B.(3，+∞)
C.(-∞，-1) D.(1，+∞)
　应用周期变化解决实际问题
已知一个匀速运动的水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，水车5分钟转一圈.
(1)1小时水车转几圈
(2)1小时内最多盛水多少升
【方法总结】　　根据函数的周期变化，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.利用周期函数的定义，由函数局部的性质得到函数的整体性质，可以求值、解不等式等，体现了数学抽象的素养.
分针转一圈是1小时，假如现在正好是13点整，那么10圈后是几点 20圈后
呢 (一天24小时制)
【随堂检测】
1.下列变化不是周期变化的是(　　).
A.钟摆摆心偏离铅垂线角度的变化
B.游乐场中摩天轮的运行
C.抛一枚骰子，向上的数字是奇数
D.太阳的东升西落
2.函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，当0A.2 B.1
C.-1 D.0
3.钟表分针的运动是一个周期变化，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在(　　).
A.8点处 B.10点处
C.11点处 D.12点处
4.有这样一个故事：一次毕达哥拉斯处罚学生，要他来回数戴安娜神庙的七根柱子(分别标记为A，B，C，D，E，F，G)，一直到指出第2 025个数的柱子的标号是哪一个，才能够停止.你能帮助这名学生尽快结束处罚吗
A B C D E F G
1 2 3 4 5 6 7
12 11 10 9 8
13 14 15 16 17 18 19
24 23 22 21 20
25 …
参考答案
1.1 周期变化
自主预习·悟新知
预学忆思
1.明天上午8：00；后天上午8：00.
2.2周.
3.24小时的整数倍.周而复始，重复出现.
自学检测
1.B　【解析】潮汐是海水在天体(主要是月球和太阳)引潮力作用下所产生的周期性运动；而台风、海啸和地震是随机现象.故选B.
2.ABD　【解析】抓住周期变化的重复性特点，可知A，B，D对应的函数为周期函数.
对于C，图象不重复出现，故不符合题意.故选ABD.
3.　【解析】由题意知，函数f(x) 的周期为1，所以f=f+1=f==.
4.2+　【解析】设正方形PABC沿x轴正方向滚动.沿x轴的正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续.点P的部分运动轨迹如图所示.
根据图象知，满足f(x)=的x的最小正值是2+.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：从列表和散点图可以看出，每经过相同的时间间隔t(12 h)，水深就重复出现相同的数值，因此，水深是周期性变化的.
问题2：钟摆的摆动、地球公转、交通路口的红绿灯变化、城市里霓虹灯的闪烁变幻等.
问题3：不可以，因为周期变化必须是间隔相同的时间重复出现.
新知生成
(1)重复出现　(2)重复
新知运用
例1　(1)D　【解析】(1)由周期变化的概念易知，某交通路口每次绿灯通过的车辆数不是周期变化.故选D.
(2)根据物理学知识，我们知道在任何一个确定的时刻，地球与太阳的距离y是唯一确定的，每经过一年地球围绕着太阳旋转一周.无论从哪个时刻t算起，经过一年时间，地球又会回到原来的位置，所以，地球与太阳的距离是周期变化的.
巩固训练　【解析】观察图象可知，此人的心电图是周期性变化的，因此心脏跳动正常.
探究2　情境设置
问题1：f(-6)=f(-4)=f(-2)=f(0)=f(2)=f(4)=f(6)=0.
f(-7)=f(-5)=f(-3)=f(-1)=f(1)=f(3)=f(5)=1.
由以上结论可得f(x+2)=f(x).
问题2：f=f=…=f-=，f-=f=，f=f-=.
新知运用
例2　B　【解析】因为f(0)=1，f(2)=5，所以f(0+2)·f(0)=5=k，
所以f(x+2)·f(x)=5，所以f(x+4)·f(x+2)=5，故f(x+4)=f(x)，
所以函数的周期为4，故f(5)=f(1)=12+1=2，故选B.
巩固训练　D　【解析】因为f(x+3)=f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，所以f(7)=f(7-9)=f(-2).
又因为函数f(x)是偶函数，
所以f(-2)=f(2)，所以f(7)=f(2)>1，
所以a>1，即a∈(1，+∞).故选D.
探究3
例3　【解析】(1)因为1小时=60分钟=12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时水车转12圈.
(2)因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10=160(升)，所以水车1小时内最多盛水160×12=1 920(升).
巩固训练　【解析】10圈后是13+10=23点，20圈后是13+20-24=9点，为第二天上午9点整.
随堂检测·精评价
1.C　【解析】A，B，D所述都是周期变化，而C中“向上的数字是奇数”不是周期变化.
2.C　【解析】∵函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，
∴f(-9)=f(-9+2×4)=f(-1)=-f(1)=-1.故选C.
3.B　【解析】由题意知，60分钟后分针仍指在2点处，100分钟后指在2+=10点处.
4.【解析】能.
易知从A开始数，周期为12，而2 025=12×168+9，
所以标号为E的柱子就是数到第2 025个数的那根柱子.