1.2 任意角 同步学案（含答案） 2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

1.2 任意角
【学习目标】
1.了解任意角的概念，能区分正角、负角和零角.(数学抽象)
2.理解并掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角.(数学运算)
3.会表示终边相同的角所组成的集合.(数学运算)
【自主预习】
1.初中有学过哪些特殊的角
2.角度还可以再扩大吗
3.当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗
4.你能说出角的要素吗
5.正角、负角、零角是根据什么区分的
6.如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是零角吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)小于90°的角都是锐角. (　　)
(2)终边与始边重合的角为零角. (　　)
(3)第二象限角是钝角. (　　)
(4)225°是第三象限角. (　　)
2.下列说法正确的是(　　).
A.最大的角是180°
B.最大的角是360°
C.角不可以是负的
D.角可以是任意大小
3.与 610°角终边相同的角表示为(　　).
A.k·360°+230°，k∈Z
B.k·360°+250°，k∈Z
C.k·360°+70°，k∈Z
D.k·180°+270°，k∈Z
4.与-1 560°角终边相同的角的集合中，最小的正角是　　　，最大的负角是　　　　.
【合作探究】
　任意角的概念
问题1：你的手表比标准时间慢了5分钟，你是怎样将它校准的
问题2：假如你的手表比标准时间快了1小时15分钟，你如何将它校准 当时间校准以后，分针转了多少度
问题3：同学们能否再举出几个生活中“大于360°的角以及按不同方向旋转而成的角”的例子
1.任意角的定义、图示、记法
有关概念 描述
定义 角可以看成平面内 绕着 从一个位置旋转到另一个位置所形成的
图示 其中O为 ，OA为 ，OB为
记法 角α或∠α，或简记为α
2.角的分类
名称 定义
正角 按 方向旋转形成的角
负角 按 方向旋转形成的角
零角 一条射线 作任何旋转形成的角
平行于x轴且方向与x轴正方向相同的射线OA绕端点O逆时针旋转90°到射线OB的位置，接着再顺时针旋转30°到OC的位置，则∠AOC的度数为　　　　.
【方法总结】弄清角的始边与终边及旋转方向和大小.
若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为(　　).
A.120° B.-120° C.-60° D.60°
以x轴的非负半轴为始边，在平面直角坐标系中画出下列各角：(1)-180°；(2)1 070°.
　象限角与轴线角
　　在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为始边，回答下列问题.
问题1：210°角的终边落在第几象限 -45°角的终边落在第几象限 -150°角的终边落在第几象限
问题2：0°，90°角的终边落在什么位置
1.象限角：在平面直角坐标系中讨论角，使角的顶点与 重合，角的始边与 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.
2.轴线角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在坐标轴上，就把这个角叫作轴线角.
已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角.
(1)-75°；
(2)855°；
(3)-510°.
【方法总结】象限角的判断方法：(1)根据图形判断，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角；(2)根据终边相同的角的概念把角转化到0°~360°范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角.
若α是第四象限角，则180°-α是(　　).
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
　终边相同的角的表示
　　我们日常使用的作为时间周期的“星期”，最早起源于古巴比伦.现在世界各国通用的一星期7天的制度最早由君士坦丁大帝制定，他在公元321年3月7日正式宣布7天为一星期，这个制度一直沿用至今.假如今天是星期三.
问题1：7k(k∈Z)天后的那一天是星期几
问题2：7k(k∈Z)天前的那一天是星期几
问题3：2 025天后的那一天是星期几
一般地，给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和.
特别提醒：对终边相同的角的理解.
(1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏.
(2)k·360°与α中间用“+”连接，k·360°-α可理解成k·360°+(-α).
(3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等.终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.终边不同，则表示的角一定不同.
已知α=-315°.
(1)把α写成k·360°+β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且-1 080°<θ<-360°.
写出终边在直线y=-x上的角的集合.
【方法总结】1.终边落在直线上的角的集合的步骤
(1)写出在0°~360°范围内相应的角.
(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合.
(3)根据条件能合并一定合并，使结果简洁.
2.终边相同的角常用的三个结论
(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍.
(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.
(3)终边在相互垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍.
若角2α与240°角的终边相同，则α=(　　).
A.120°+k·360°，k∈Z
B.120°+k·180°，k∈Z
C.240°+k·360°，k∈Z
D.240°+k·180°，k∈Z
在平面直角坐标系中写出下列角的集合：
(1)终边在x轴的非负半轴上；
(2)终边在y=x(x≥0)上.
　区域角的表示
问题1：在锐角范围内，终边落在30°角和60°角的终边(不包括终边)之间的角的集合怎样表示
问题2：终边落在30°角和60°角的终边(不包括终边)之间的角的集合怎样表示
如图所示，分别写出符合下列条件的角的集合：
(1)终边落在射线OM上；
(2)终边落在直线OM上；
(3)终边落在阴影区域内(含边界).
【方法总结】　　先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界，再由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β，写出最简区间，然后将起始、终止边界对应角α，β加上360°的整数倍，即得区域角集合.借助平面图形建立数与形的联系，构建数学问题的直观模型，渗透了直观想象素养.
已知α是锐角，那么2α是(　　).
A.第一象限角 B.第二象限角
C.小于180°的正角 D.第一或第二象限角
如图所示，写出顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合.
【随堂检测】
1.-215°是(　　).
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
2.已知集合A={θ|θ为锐角}，B={θ|θ为小于90°的角}，C={θ|θ为第一象限角}，D={θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式成立的是(　　).
A.A=B B.B=C C.A=C D.A=D
3.30°角的始边与x轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2周，所得角的度数是　　　　.
4.如图所示，(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
参考答案
1.2 任意角
自主预习·悟新知
预学忆思
1.30°角、45°角、60°角、直角、平角等.
2.可以.可以无限大，也可以无限小.
3.不是的.虽然始边和终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小(旋转圈数)并没有确定，所以角也就不能确定.
4.角的要素是顶点、始边、终边.
5.根据组成角的射线的旋转方向.
6.不一定，零角的终边与始边重合，但终边与始边重合的角不一定是零角，如360°角，-360°角等，角的大小不是根据始边、终边的位置确定的，而是根据射线旋转的方向和旋转量的大小(旋转圈数)确定的.
自学检测
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.D　【解析】角可以是任意大小，故角没有最值，角可以是负的.故选D.
3.B　【解析】610°与250°相差一个360°，故B正确.
4.240°　-120°　【解析】与-1 560°角终边相同的角的集合为{α|α=k·360°+240°，k∈Z}，当k=0时，取得最小的正角，为240°，当k=-1时，取得最大的负角，为-120°.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：将分针顺时针方向旋转30°.
问题2：将分针逆时针方向旋转450°，即可校准.
问题3：(1)女子10米台跳水比赛中，运动员在空中旋转的角度；
(2)汽车在前进和倒车中，车轮转动的角度；
(3)工人在拧紧或拧松螺丝时，扳手转动的角度.
新知生成
1.一条射线　端点　图形　顶点　始边　终边
2.逆时针　顺时针　没有
新知运用
例1　60°　【解析】不妨画出简图，如图所示，由图和已知可得∠AOC=90°+(-30°)=60°.
所以∠AOC的度数为60°.
巩固训练1　B　【解析】由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负值，即为-×360°=-120°.
巩固训练2　【解析】在平面直角坐标系中，画出各角，如图所示.
探究2　情境设置
问题1：210°角的终边落在第三象限，-45°角的终边落在第四象限，-150°角的终边落在第三象限.
问题2：0°角的终边落在x轴非负半轴，90°角的终边落在y轴非负半轴.
新知生成
1.原点　x
新知运用
例2　【解析】作出各角，其对应的终边如图所示.
(1)由图①可知-75°是第四象限角.
(2)由图②可知855°是第二象限角.
(3)由图③可知-510°是第三象限角.
巩固训练　C　【解析】因为α与-α关于x轴对称，而α是第四象限角，所以-α是第一象限角，
又-α与180°-α关于原点对称，
所以180°-α是第三象限角.故选C.
探究3　情境设置
问题1：星期三.；问题2：星期三.；问题3：星期五.
新知运用
例3　【解析】(1)因为-315°=-360°+45°，又0°<45°<360°，所以把α写成k·360°+β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，得α=-1×360°+45°.
(2)因为与-315°终边相同的角为θ=k·360°+45°(k∈Z)，所以当k=-3时，θ=-1 035°；当k=-2时，θ=-675°，满足-1 080°<θ<-360°，即得所求角θ为-1 035°和-675°.
例4　【解析】终边在射线y=-x(x≤0)上的角的集合是S1={α|α=120°+k1·360°，k1∈Z}；
终边在射线y=-x(x≥0)上的角的集合是S2={α|α=300°+k2·360°，k2∈Z}.
因此，终边在直线y=-x上的角的集合是S=S1∪S2={α|α=120°+k1·360°，k1∈Z}∪{α|α=300°+k2·360°，k2∈Z}，
即S={α|α=120°+2k1·180°，k1∈Z}∪{α|α=120°+(2k2+1)·180°，k2∈Z}={α|α=120°+n·180°，n∈Z}.
故终边在直线y=-x上的角的集合是S={α|α=120°+n·180°，n∈Z}.
巩固训练1　B　【解析】因为角2α与240°角的终边相同，所以2α=240°+k·360°，k∈Z，得α=120°+k·180°，k∈Z.故选B.
巩固训练2　【解析】(1)在0°~360°范围内，终边在x轴的非负半轴上的角有一个，为0°，故终边在x轴的非负半轴上的角的集合为{α|α=k·360°，k∈Z}.
(2)在0°~360°范围内，终边在y=x(x≥0)上的角有一个，为45°，故终边在y=x(x≥0)上的角的集合为{α|α=k·360°+45°，k∈Z}.
探究4　情境设置
问题1：{α|30°<α<60°}.
问题2：{α|k·360°+30°<α新知运用
例5　【解析】(1)终边落在射线OM上的角的集合为{α|α=45°+k·360°，k∈Z}.
(2)由(1)得终边落在射线OM上的角的集合为{α|α=45°+k·360°，k∈Z}，
终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为{α|α=225°+k·360°，k∈Z}，
所以终边落在直线OM上的角的集合为{α|α=45°+k·360°，k∈Z}∪{α|α=225°+k·360°，k∈Z}={α|α=45°+2k·180°，k∈Z}∪{α|α=45°+(2k+1)·180°，k∈Z}={α|α=45°+n·180°，n∈Z}.
(3)终边落在直线ON上的角的集合为{β|β=60°+n·180°，n∈Z}，
则终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为{α|45°+n·180°≤α≤60°+n·180°，n∈Z}.
巩固训练1　C　【解析】∵0°<α<90°，∴0°<2α<180°，∴2α是小于180°的正角.
巩固训练2　【解析】如题图(1)所示，以OB为终边的角有330°角，可看成是-30°，
∴以OA，OB为终边的角的集合分别是S1={x|x=75°+k·360°，k∈Z}，S2={x|x=-30°+k·360°，k∈Z}，
∴终边落在阴影部分的角的集合为{θ|k·360°-30°≤θ≤k·360°+75°，k∈Z}.
如题图(2)所示，以OB为终边的角有225°角，可看成是-135°，
∴终边落在阴影部分的角的集合为{θ|-135°+k·360°≤θ≤135°+k·360°，k∈Z}.
随堂检测·精评价
1.B　【解析】-215°=-360°+145°，∵145°是第二象限角，
∴-215°也是第二象限角.
2.D　【解析】集合A中，锐角θ满足0°<θ<90°；集合B中，θ<90°，可以为负角；集合C中，θ满足k·360°<θ3.-690°　【解析】由题意知，所得角为30°-2×360°=-690°.
4.【解析】(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α=k·360°+210°，k∈Z}.
终边落在射线OB上的角的集合是{α|α=k·360°+300°，k∈Z}.
(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+300°，k∈Z}.