1.3 弧度制 同步学案（含答案） 2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

1.3 弧度制
【学习目标】
1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.(数学抽象)
2.理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式.(数学运算)
3.熟悉特殊角的弧度数.(数学运算)
【自主预习】
1.前面学过角度可以用角度制来衡量，那么还有其他的度量单位来表示角度吗
2.在大小不同的圆中，长度为1的弧所对的圆心角相等吗
3.角度制下的扇形的弧长公式和扇形面积公式是什么
4.你认为式子|α|=中，比值与所取的圆的半径大小是否有关
5.用弧度制表示60°.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位. (　　)
(2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关. (　　)
(3)1°的角是周角的，1 rad的角是周角的. (　　)
(4)1 rad的角比1°的角要大. (　　)
2.对应的角度为(　　).
A.75° B.125°
C.135° D.155°
3.与角-终边相同的角是(　　).
A. B.
C. D.
4.已知扇形的半径r=30，圆心角α=，则该扇形的弧长等于　　　　，面积等于　　　　，周长等于　　　　.
【合作探究】
　角度与弧度的换算
　　单位制这个概念我们并不陌生，比如说测量长度的单位制，古代常以人体的一部分作为长度单位.如记载说：“十尺为丈，人长八尺，故曰丈夫.”可见，古时量物，寸与指、尺与手、寻与身有一一对应的关系.而现在国际上通用的是国际单位制中的“米制”，应用起来要方便得多.初中几何里，角度制就是度量角的一种单位制.
问题1：在初中几何里，我们学习过角的度量，1°的角是怎样定义的呢
问题2：
射线OA绕端点O旋转到OB形成角α，在旋转过程中，射线OA上的一点P(不同于点O)的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α.设α=n°，OP=r，点P所形成的的长为l，求弧长l与半径r的比值.
问题3：上述问题2中，射线OA上的一点Q(不同于点O)，OQ=r1，在旋转过程中，点Q所形成的的长为l1，求弧长l1与半径r1的比值，其与问题2中的比值有何关系
1.角的单位制
(1)角度制：规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制.
(2)弧度制：在单位圆中，把长度等于 的弧所对的 叫作1弧度的角.以弧度作为单位来度量角的方法，叫作 ，它的单位符号是rad，读作 ，通常略去不写.
(3)角的弧度数的求法：正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 .如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值|α|= .
(4)半径为 的圆叫作单位圆.
2.角度与弧度的换算
角度化弧度 弧度化角度
360°= 2π rad=360°
180°= π rad=
1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad=°≈57°18'
特别提醒：(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以不写；(2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；(3)角度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度.
3.一些特殊角与弧度数的对应关系
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 π 2π
设α1=510°，α2=-750°，β1=，β2=-.
(1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；
(2)将β1，β2用角度表示出来，并在-360°~360°范围内找出与它们终边相同的所有的角.
【方法总结】　　角度与弧度的互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad=180°是关键，由它可以得到：
度数×=弧度数，弧度数×=度数.
将下列角度与弧度进行互化，并指出是第几象限角.
(1)；(2)-；(3)10°；(4)-855°.
已知α=15°，β=，γ=1，θ=105°，φ=，试比较α，β，γ，θ，φ的大小.
　用弧度制表示终边相同的角和区域角
　　引入弧度之后，在平面直角坐标系中，与角α终边相同的角，连同角α在内，都可以写成β=α+2kπ(k∈Z)的形式，看到如图所示的图案，小明试图写出OA，OB终边表示的角以及图中终边落在阴影部分的角的集合.
问题1：小明在做题时得到终边在OA上的角的集合为{α|α=2kπ+135°，k∈Z}或αα=k·360°+，k∈Z，你觉得这种表示是否正确 为什么
问题2：上述图形中，小明在做题时得到的终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合能否写为α2kπ+≤α≤2kπ+，k∈Z 为什么
1.用弧度制表示终边相同的角2kπ+α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用.
2.对于区域角的书写，一定要看其区域是否跨越x轴的正方向.若区域跨越x轴的正方向，则前面的角用负角表示，后面的角用正角表示.
(1)把-1 125°化成α+2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　　).
A.--6π B.-6π
C.--8π D.-8π
(2)写出终边在图中阴影部分的角的集合(包括边界).
【方法总结】　　根据已知图形写出区域角的集合的步骤：
(1)仔细观察图形；
(2)写出区域边界作为终边时角的表示；
(3)用不等式表示区域范围内的角.
已知α=-800°.
(1)把α改写成β+2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈-，.
用弧度表示的终边落在y轴右侧的角的集合为　　　　.
　扇形的弧长、面积公式的应用
　　如图所示，设公路弯道处弧AB的长为l.(图中长度单位：m)
问题1：图中的60°是多少弧度
问题2：弧AB的长l是多少
问题3：求扇形AOB的面积S.
弧度制下的弧长与扇形面积公式
度量制 公式
弧长公式 扇形面积公式
角度制 l= S=
弧度制 l= S= =|α|r2
(1)已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积.
(2)已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大 最大值是多少
【方法总结】　　扇形的弧长和面积的求解策略
(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S=lR=αR2(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π).
(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.
已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积.
　弧度在古代数学测量中的应用
问题1：用公式|α|=求圆心角时，应注意什么问题
问题2：在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，则需注意什么问题
《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出了计算弧田(由圆弧和其所对弦所围成)面积所用的经验公式：弧田面积=(弦×矢+矢2)，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.已知一块弦长为6 m的弧田按经验公式计算所得面积为3+m2，则该弧田的实际面积为　　　　m2.
【方法总结】　　看清角的度量制，恰当选用公式解决问题，解题过程渗透了数学运算、逻辑推理的素养.
《九章算术》大约成书于公元一世纪，是我国著名的数学著作，对我国古代数学的发展起着巨大的推动作用.如在第一章《方田三七》中介绍了环田的计算方法，即圆环的面积计算：将圆环剪开拉直成为一个等腰梯形，如图，这个等腰梯形的面积就是圆环的面积.据此思想我们可以计算扇环面积.中国折扇扇面艺术也是由来已久，传承着唐宋以来历代书画家的诗情画意.今有一扇环折扇，扇面外弧长为40 cm，内弧长为20 cm，该扇面面积为450 cm2，则扇面扇骨(内外环半径之差)长为(　　)cm.
A.10 B.15
C.20 D.25
【随堂检测】
1.(多选题)下列说法正确的是(　　).
A.半圆所对的圆心角是π
B.周角的大小等于2π
C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
2.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为(　　).
A. B.- C. D.-
3.-135°化为弧度为　　　　，化为角度为　　　　.
4.周长为9，圆心角为1 rad的扇形面积为　　　　.
参考答案
1.3 弧度制
自主预习·悟新知
预学忆思
1.有，弧度制.
2.不相等.因为长度为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，因为半径不同，所以圆心角也不同.
3.扇形弧长公式为l= ，扇形面积公式为S=(其中r是扇形所在圆的半径，n为扇形的圆心角).
4.与半径大小无关，一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的.
5..
自学检测
1. (1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2.C　【解析】因为1 rad=°，所以 rad=×°=135°，故选C.
3.C　【解析】与角-终边相同的角为2kπ-，k∈Z，当k=1时，此角等于.故选C.
4.5π　75π　60+5π　【解析】弧长l=rα=30×=5π，面积S=lr=×5π×30=75π，周长为2r+l=60+5π.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：1°的角可以理解为将圆周角分成360等份，每一等份圆心角就是1°.它是一个定值，与所取圆的半径大小无关.
问题2：因为l=，所以=.
问题3：因为l1=，所以=n.故=n=.
新知生成
1.(2)1　圆心角　弧度制　弧度　(3)正数　负数　0　　(4)1
2.2π rad　π rad　180°
新知运用
例1　【解析】(1)∵1°= rad，∴α1=510°=510×=，
α2=-750°=-750×=-.
∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第四象限.
(2)β1==×°=144°.
设θ1=k·360°+144°(k∈Z)，
∵-360°≤θ1<360°，
∴-360°≤k·360°+144°<360°，
∴k=-1或k=0.
∴在-360°~360°范围内与β1终边相同的角是-216°.
β2=-=-×°=-330°.
设θ2=k·360°-330°(k∈Z)，
∵-360°≤θ2<360°，
∴-360°≤k·360°-330°<360°，
∴k=0或k=1.
∴在-360°~360°范围内与β2终边相同的角是30°.
巩固训练1　【解析】(1)=×180°=54°，是第一象限角；
(2)-=-×180°=-240°，是第二象限角；
(3)10°=10×=，是第一象限角；
(4)-855°=-855×=-，是第三象限角.
巩固训练2　【解析】α=15°=15×=，θ=105°=105×=.
显然<<1<.故α<β<γ<θ=φ.
探究2　情境设置
问题1：不正确，因为角度制与弧度制不能混用.
问题2：不能，正确写法为α2kπ-≤α≤2kπ+，k∈Z.
新知运用
例2　(1)D　【解析】(1)-1 125°=-1 125×=-=-8π，故选D.
(2)S=α+2kπ≤α≤+2kπ，k∈Z∪α+2kπ≤α≤+2kπ，k∈Z=α+2kπ≤α≤+2kπ，k∈Z∪α+(2k+1)π≤α≤+(2k+1)π，k∈Z=α+nπ≤α≤+nπ，n∈Z.
巩固训练1　【解析】(1)∵-800°=-3×360°+280°，280°=，
∴α=-800°=+(-3)×2π.
∵α与角终边相同，∴α是第四象限角.
(2)∵与α终边相同的角可写为2kπ+，k∈Z的形式，而γ与α的终边相同，∴γ=2kπ+，k∈Z.
又γ∈-，，∴-<2kπ+<，k∈Z，
解得k=-1，∴γ=-2π+=-.
巩固训练2　θ-+2kπ<θ<+2kπ，k∈Z　【解析】y轴对应的角可用-，表示，所以y轴右侧角的集合为.
探究3　情境设置
问题1：60°=60×=.
问题2：l=|α|·R=×45=15π(m).
问题3：S==×452=××452=(m2).
新知生成
|α|·r　lr
新知运用
例3　【解析】(1)设扇形的弧长为l，因为圆心角72°=72×= rad，
所以扇形的弧长l=|α|·r=×20=8π，
故扇形的面积S=l·r=×8π×20=80π.
(2)设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，
则l+2r=4，所以l=4-2r所以S=l·r=×(4-2r)×r=-r2+2r=-(r-1)2+1，
所以当r=1时，S最大，且Smax=1，
θ===2(rad).
巩固训练　【解析】已知扇形的圆心角α=60°=，半径r=10 cm，
则弧长l=α·r=×10=(cm)，
于是面积S=lr=××10=(cm2).
探究4　情境设置
问题1：应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负.
问题2：若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成“弧度”后再计算，否则结果易出错.
新知运用
例4　4π-3　【解析】如
图所示，弦长AB=6，设矢CD=x，
则弧田的面积S弧田=×(6x+x2)=3+，
即6x+x2=6+3，(x+3)2=6+12=3(1+)2，
∴x=或x=-6-(不符合题意，舍去).
设OA=R，则OD=R-，
∴R2=(R-)2+32，
解得R=2，∴∠AOB=，
则该弧田的实际面积S=S扇形-S△AOB=××(2)2-×6×=4π-3.
巩固训练　B　【解析】依题意有扇骨即等腰梯形的高，扇面内外弧长即等腰梯形的两底，设扇面扇骨长为x，则×(40+20)·x=450，解得x=15.
随堂检测·精评价
1.ABC　【解析】根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确；长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是弧度，D错误.
2.B　【解析】显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了周，转过的弧度为-×2π=-.
3.-　660°　【解析】-135°=-135×=-，
=×180°=660°.
4.　【解析】设扇形的半径为r，弧长为l，由题意可知解得所以S=lr=.