1.4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 学案（含答案） 2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

1.4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
【学习目标】
1.借助单位圆理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义.(数学抽象)
2.能用正弦函数、余弦函数的定义进行计算.(数学运算)
【自主预习】
在初中，我们知道在Rt△ABC中，当∠C为直角时，我们把锐角A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦，记作sin A；锐角A的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦，记作cos A，即sin A=，cos A=.当把锐角放在平面直角坐标系中时，角的终边与单位圆交于一点，正弦函数对应于该点的纵坐标.当所求角是任意角时，能否通过单位圆及函数定义的形式引出正弦函数的定义呢 这就是本节要研究的内容.
阅读教材，结合上述情境回答下列问题：
1.单位圆有什么特征
2.已知角α终边上一点与单位圆的交点为P(x，y)，你能写出角α的正弦、余弦的比值吗
3.设角α终边上有除原点外的一点Q(x，y)，且r=|OQ|=，此时角α的正弦函数值、余弦函数值是什么
1.已知P(1，-2)为角α的终边上一点，则sin α+cos α=(　　).
A.-1 B.
C.- D.-
2.已知Pcos，1是角α终边上一点，则sin α=(　　).
A. B. C. D.
3.已知角α的终边过点P(-3，8m)，且sin α=-，则m的值为(　　).
A.- B. C.- D.
4.(改编)若角α的终边与单位圆交于点，m，求的值.
【合作探究】
　锐角的正弦函数、余弦函数的定义
　　在如图所示的平面直角坐标系中，使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于点M，设P(x，y)，|OP|=r.
问题1：你能说出角α的正弦、余弦值是多少吗
问题2：对确定的锐角α，sin α，cos α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变呢
问题3：在问题1中，当|OP|=1时，sin α，cos α的值怎样表示
正、余弦函数的定义：如图所示，在平面直角坐标系中，作以坐标原点为圆心的单位圆，对于锐角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，点P的纵坐标v是该角的正弦函数值，记作v=sin α；点P的横坐标u是该角的余弦函数值，记作u=cos α.
已知锐角α的终边过点P，.
(1)求sin α，cos α的值；
(2)求2sin αcos α+cos2α的值；
(3)求以角α为圆心角，半径为6 cm的扇形的弧长.
【方法总结】　　求锐角的三角函数值的方法：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦值.
在直角坐标系的单位圆中，已知α=.
(1)求出角α的终边与单位圆的交点坐标；
(2)求出角α的正弦、余弦值.
　任意角的正弦函数、余弦函数
若角α是钝角，终边落在第二象限，使角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于点M，设P(x，y)，|OP|=r.
问题1：此时角α的正弦、余弦分别等于什么
问题2：在问题1中，当|OP|=1时，sin α，cos α的值与角α是锐角时表示的一样吗
正弦函数和余弦函数的定义
设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则sin α=，cos α=.其中r=.
已知角θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ=x，求sin θ.
【方法总结】求任意角的三角函数值的方法：第一步，取点，在角α的终边上任取一点P(x，y)(点P与原点O不重合)；第二步，计算r，r=|OP|=(r>0)；第三步，求值，由sin α=，cos α=求值.
已知角α的终边过点P(-3a，4a)(a≠0)，求2sin α+cos α的值.
　单位圆在三角函数中的应用
在直角坐标系的单位圆中，已知α=.
(1)画出角α；
(2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标；
(3)求出角α的正弦函数值.
【方法总结】(1)先将角α表示为α=β+2kπ(-π<β≤π，k∈Z)的形式，则角β的终边即为角α的终边，|k|为x轴的非负半轴逆(k>0)或顺(k<0)时针旋转的周数.
(2)求角α与单位圆的交点坐标，应利用角α的特殊性转化为直角三角形的边角关系求解，进而得角α的正弦、余弦值.
在直角坐标系的单位圆中，已知α=-.
(1)画出角α；
(2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标；
(3)求出角α的正弦、余弦值.
【随堂检测】
1.若角α的终边与单位圆相交于点，-，则sin α=(　　).
A. B.- C. D.-
2.已知角α的终边经过点P，，则cos α=(　　).
A. B. C. D.±
3.已知角α的终边经过点(4，m)(m≠0)，且sin α=，则m=(　　).
A.3 B.±3 C.5 D.±5
4.已知角α的终边上有一点P(24k，7k)，k≠0，求sin α，cos α的值.
参考答案
1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义
自主预习·悟新知
预学忆思
1.单位圆是半径为1的圆.
2.能，sin α=y，cos α=x.
3.sin α=，cos α=.
自学检测
1.C　【解析】因为P(1，-2)为角α的终边上一点， 所以sin α==-，cos α==，则sin α+cos α=-+=-.故选C.
2.D　【解析】依题意点P的坐标为，1，|OP|==，∴sin α==.故选D.
3.A　【解析】因为角α的终边过点P(-3，8m )， 所以sin α==-，解得m=-.
4.【解析】因为角α的终边与单位圆交于点，m，所以2+m2=1，解得m=±，
所以sin α==y=m=±，cos α=，
所以当sin α=时，==；当sin α=-时，==.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：sin α=，cos α=.
问题2：不会.因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.
问题3：sin α=y，cos α=x.
新知运用
例1　【解析】(1)∵角α的终边过点P，，
∴x=，y=，∴r=1.
∴sin α=，cos α=.
(2)由(1)可得2sin α cos α+cos2α=2××+2=.
(3)设扇形的弧长为l，半径为r，由(1)得α=，由弧长公式得l=α·r=×6=2π(cm).
巩固训练　【解析】
(1)作出角α，如图所示.
在Rt△OPA中，OP=1，OA=，PA=，
所以角α的终边与单位圆的交点坐标为，.
(2)由正弦函数、余弦函数的定义可得，sin α=，cos α=.
探究2　情境设置
问题1：sin α=，cos α=.
问题2：一样，sin α=y，cos α=x.
新知运用
例2　【解析】由题意知r=|OP|=，由三角函数定义得cos θ==.
∵cos θ=x，∴=x，解得x=0或x=±1.
又∵x≠0，∴x=±1.
当x=1时，P(1，3)，此时sin θ==；
当x=-1时，P(-1，3)，此时sin θ==.
故sin θ=.
巩固训练　【解析】由已知得r==5|a|.
①若a>0，则r=5a，角α在第二象限，sin α===，cos α===-，
∴2sin α+cos α=-=1.
②若a<0，则r=-5a，角α在第四象限，sin α===-，cos α===，
∴2sin α+cos α=-+=-1.
综上所述，2sin α+cos α=±1.
探究3
例3　【解析】(1)因为α==2π+，
所以角α的终边与的终边相同.
以原点为角的顶点，以x轴的非负半轴为角的始边，逆时针旋转，与单位圆交于点P，则角α如图所示.
(2)因为α=，所以点P在第二象限，
由(1)知∠AOP=，过点P作PM⊥x轴于点M，
则在Rt△OMP中，∠OMP=，∠MOP=，OP=1，
由直角三角形的边角关系，得OM=，MP=，
所以点P的坐标为-，.
(3)由正弦函数的定义得sin =.
巩固训练　【解析】(1)因
为α=-=-2π-，所以角α的终边与-的终边相同.如图，以原点为角的顶点，以x轴的非负半轴为角的始边，顺时针旋转，与单位圆交于点P，则角α如图所示.
(2)因为α=-，所以点P在第四象限.
由(1)知，∠AOP=，过点P作PM⊥x轴于点M，
则在Rt△MOP中，∠OMP=，∠MOP=，OP=1，
由直角三角形的边角关系，得OM=，MP=，
所以点P的坐标为，-.
(3)根据正弦、余弦函数的定义，得sin-=-，cos-=.
随堂检测·精评价
1.B　【解析】利用任意角的三角函数的定义可知，点，-到原点的距离为1，则sin α==-.故选B.
2.B　【解析】由三角函数的定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值，故cos α=.
3.B　【解析】因为角α的终边经过点(4，m)(m≠0)，且sin α=，
所以sin α==，解得m=±3.
4.【解析】①当k>0时，令x=24k，y=7k，则r==25k，
∴sin α==，cos α==.
②当k<0时，令x=24k，y=7k，则r=-25k，
∴sin α==-，cos α==-.