1.4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 学案（含答案）2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

1.4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
【学习目标】
1.掌握正弦函数、余弦函数的性质.(逻辑推理)
2.掌握正弦函数值和余弦函数值的符号.(直观想象)
3.掌握周期性的应用.(数学运用)
【自主预习】
　　江南水乡，水车在清清的河流里悠悠转动，缓缓地把河流里的水倒进水渠，流向绿油油的大地，流向美丽的大自然.在水车转动的瞬间，同学们能想到些什么呢
阅读教材，回答下列问题：
1.正弦函数、余弦函数的定义域是什么
2.正弦函数、余弦函数的值域是什么，它们的值域相同吗
3.正弦函数、余弦函数的周期是多少 最小正周期是什么
4.余弦函数在第一、二、三、四象限的符号是什么
1.sin(-315°)的值是(　　).
A.- B.-
C. D.
2.若sin θcos θ>0，则角θ的终边在(　　).
A.第一或第四象限
B.第一或第三象限
C.第一或第二象限
D.第二或第四象限
3.函数y=-4sin x的值域是　　　　.
4.(改编)求函数y=sin x，x∈[-π，π]的单调递增区间.
【合作探究】
　正弦函数、余弦函数的性质
　　学习了三角函数的定义后，杨洋把单位圆上的点P旋转一周，发现了点P的坐标的范围，点P的坐标具有周期性变化.
问题1：你能说出x，y的取值范围吗
问题2：根据三角函数的定义，能确定sin α，cos α的取值范围吗
问题3：正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少
正弦函数和余弦函数的性质：
y=sin α y=cos α
定义域
值域 [-1，1]
最值 最大值为1，最小值为-1
单调性 增区间：2kπ-，2kπ+(k∈Z). 减区间：2kπ+，2kπ+(k∈Z) 增区间：[2kπ-π，2kπ](k∈Z). 减区间：[2kπ，2kπ+π](k∈Z)
求下列函数的单调区间、最大值、最小值以及取得最大值、最小值时的自变量α的值.
(1)y=sin α，α∈-，π；
(2)y=cos α，α∈-π，.
【方法总结】　　利用单位圆研究三角函数性质的方法：第一步，在单位圆中画出角α的取值范围；第二步，作出角α的终边与单位圆的交点P(cos α，sin α)；第三步，研究点P的横坐标及纵坐标随α的变化而变化的规律；第四步，得出结论.
求下列函数的单调区间和值域，并说明取得最大值和最小值时的自变量α的值.
(1)y=-sin α，α∈，π；(2)y=cos α，α∈[-π，π].
　周期性
　　清晨，太阳从东方升起；傍晚，太阳从西方落下.24小时，太阳东升西落，这种周而复始的现象叫周期现象.周期现象在生活中随处可见，如：阴晴圆缺、四季轮回、潮起潮落……
问题1：终边相同的角的正弦、余弦函数值相等吗 为什么
问题2：由sin(α+k·2π)=sin α(k∈Z)可知，函数值随着角的变化呈周期性变化，你能说一下函数的变化周期吗
1.终边相同的角的正弦、余弦函数值的关系
(1)终边相同的角的正弦函数值相等，即k∈Z，sin(α+k·2π)=sin α(α∈R).
(2)终边相同的角的余弦函数值相等，即k∈Z，cos(α+k·2π)=cos α(α∈R).
2.周期函数
正弦函数、余弦函数均是周期函数，称2kπ(k∈Z，且k≠0)是正弦函数、余弦函数的周期，最小正周期是2π.
(1)若角α的终边经过点P(sin 780°，cos(-330°))，则sin α=(　　).
A. B. C. D.1
(2) 计算下列各式的值：
①cos+sin-；
②sin 780°cos 450°.
【方法总结】利用公式sin(x+2kπ)=sin x，cos(x+2kπ)=cos x，k∈Z，可以把任意角的正弦函数值、余弦函数值问题转化为0~2π间的角的正弦函数值、余弦函数值问题.一般步骤：
(1)把角β写成β=2kπ+α(k∈Z)形式；
(2)求出角α的正弦函数值或余弦函数值；
(3)得到角2kπ+α(k∈Z)的正弦函数值或余弦函数值.
计算log2(4sin 1 110°)的结果是(　　).
A.-1 B.0 C.1 D.2
　正弦函数值和余弦函数值的符号
　　单位圆上的点P(u，v)的纵、横坐标对应着正弦值、余弦值，v和u的符号对应着正弦值和余弦值的符号.
问题1：你能说出u，v的符号吗
问题2：根据问题1的分析，你能说出正弦值、余弦值在各个象限的符号吗
正弦函数值、余弦函数值在各象限的符号
正弦函数 余弦函数
在各象限的符号
(1)判断sin 340°cos 265°的符号；
(2)若sin 2α>0，且cos α<0，试确定角α所在的象限.
【方法总结】正、余弦函数符号的确定：
(1)终边在坐标轴上的角，可以利用单位圆，如终边在x轴非正半轴上的角与单位圆的交点为(-1，0)，故sin α=0，cos α=-1.
(2)终边在各个象限内的角，利用定义记符号，正弦取决于终边上点的纵坐标，所以第一、二象限为正；余弦取决于终边上点的横坐标，所以第一、四象限为正.
判断的符号.
若sin α>0，cos α<0，则α为第几象限角.
【随堂检测】
1.sin 1 140°的值为(　　).
A.- B. C.- D.
2.(改编)已知θ∈0，，sin θ=，则实数m的取值范围是(　　).
A.[0，1] B.[1，3]
C.[1，2] D.[0，2]
3.求y=sin α，α∈-π，的单调递增区间和单调递减区间.
参考答案
1.4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
自主预习·悟新知
预学忆思
1.正弦函数、余弦函数的定义域是R.
2.正弦函数、余弦函数的值域都是[-1，1]，相同.
3.正弦函数、余弦函数的周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π.
4.余弦函数在第一、二、三、四象限的符号分别是正、负、负、正.
自学检测
1.C　【解析】sin(-315°)=sin(-360°+45°)=sin 45°=.
2.B　【解析】因为sin θcos θ>0，所以sin θ<0，cos θ<0或sin θ>0，cos θ>0，
所以角θ的终边在第一或第三象限.
3.[-4，4]　【解析】∵sin x∈[-1，1]，∴-4sin x∈[-4，4]，即函数y=-4sin x的值域是[-4，4].
4.【解析】函数y=sin x的单调递增区间为2kπ-，2kπ+，k∈Z，因为x∈[-π，π]，取k=0，所以单调递增区间为-，.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：能，x∈[-1，1]，y∈[-1，1].
问题2：能.sin α∈[-1，1]，cos α∈[-1，1].
问题3：设任意角α的终边与单位圆交于点P(cos α，sin α)，当自变量α变化时，点P的横坐标是cos α，|cos α|≤1，纵坐标是sin α，|sin α|≤1，所以正弦函数、余弦函数的最大值为1，最小值为-1.
新知生成
全体实数
新知运用
例1　【解析】(1)
由图①可知，y=sin α 在-，上是单调递增的，在，π上是单调递减的.且当α=时，y=sin α取得最大值，最大值为1；当α=-时，y=sin α取得最小值，最小值为-.
(2)由图②可知，y=cos α在[-π，0]上是单调递增的，在0，上是单调递减的.且当α=-π时，y=cos α取得最小值，最小值为-1；当α=0时，y=cos α取得最大值，最大值为1.
巩固训练　【解析】(1)y=-sin α，α∈，π的单调递减区间为，，单调递增区间为，π.
当α=时，ymin=-1；当α=π时，ymax=0，
故函数y=-sin α，α∈，π的值域为[-1，0].
(2)y=cos α，α∈[-π，π]的单调递减区间为[0，π]，单调递增区间为[-π，0].
当α=0时，ymax=1；当α=-π或α=π时，ymin=-1，
故函数y=cos α，α∈[-π，π]的值域为[-1，1].
探究2　情境设置
问题1：相等.因为两角终边相同，所以终边与单位圆交于同一点，由正弦、余弦函数的定义知同名函数值相等.
问题2：2π，4π，6π，-2π等都是函数的周期.
新知运用
例2　(1)C　【解析】(1)因为sin 780°=sin(2×360°+60°)=sin 60°=，cos(-330°)=cos(-360°+30°)=cos 30°=，
所以P，，故sin α==.
(2)①原式=cos2π++sin-8π+=cos +sin =+=.
②原式=sin(720°+60°)cos(360°+90°)=sin 60°cos 90°=0.
巩固训练　C　【解析】因为1 110°=3×360°+30°，所以1 110°角的终边与30°角的终边重合，则sin 1 110°=sin 30°=，所以log2(4sin 1 110°)=log24×=log22=1.故选C.
探究3　情境设置
问题1：能，若P(u，v)在x轴的正半轴上，则u>0，v=0；
若P(u，v)在第一象限，则u>0，v>0；
若P(u，v)在y轴的正半轴上，则u=0，v>0；
若P(u，v)在第二象限，则u<0，v>0；
若P(u，v)在x轴的负半轴上，则u<0，v=0；
若P(u，v)在第三象限，则u<0，v<0；
若P(u，v)在y轴的负半轴上，则u=0，v<0；
若P(u，v)在第四象限，则u>0，v<0.
问题2：能，正弦：第一、二象限符号为正，第三、四象限符号为负.
余弦：第一、四象限符号为正，第二、三象限符号为负.
新知运用
例3　【解析】(1)因为340°是第四象限角，265°是第三象限角，所以sin 340°<0，cos 265°<0，所以sin 340°cos 265°>0.
(2)因为sin 2α>0，所以2kπ<2α<2kπ+π(k∈Z)，
所以kπ<α当k为偶数时，设k=2m(m∈Z)，
则2mπ<α<2mπ+(m∈Z)；
当k为奇数时，设k=2m+1(m∈Z)，
则2mπ+π<α<2mπ+(m∈Z).
所以α为第一或第三象限角.
又由cos α<0可知，α为第三象限角.
巩固训练1　【解析】∵2∈，π，3∈，π，4∈π，，6∈，2π，
∴sin 2>0，cos 3<0，sin 4<0，cos 6>0，
∴>0.
巩固训练2　【解析】∵sin α>0，∴角α的终边在第一、二象限或y轴的正半轴上.
∵cos α<0，∴角α的终边在第二、三象限或x轴的负半轴上.
故当sin α>0且cos α<0时，α为第二象限角.
随堂检测·精评价
1.B　【解析】∵1 140°=3×360°+60°，
∴sin 1 140°=sin(3×360°+60°)=sin 60°=.
2.B　【解析】由θ∈0，可知，0≤sin θ≤1，所以0≤≤1，解得1≤m≤3.故选B.
3.【解析】在单位圆中，当α由-π到时，sin α由0减小到-1，再由-1增大到.所以它的单调递增区间为-，，单调递减区间为-π，-.