1.4.3 诱导公式与对称 学案（含答案） 2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

1.4.3 诱导公式与对称
【学习目标】
1.理解π±α，-α与角α的终边的关系，会推导诱导公式.(逻辑推理)
2.掌握诱导公式，并且概括得到诱导公式的特点.(数学抽象)
3.能根据诱导公式进行三角函数式的求值、化简以及证明.(数学运算)
【自主预习】
　　流连于河的细长、山的颜色，观山赏水，看山在水中的倒影，山的巍峨、水的柔美在那刻融合.观察一下水中山的倒影与山有什么关系，你一定会说：对称!我们可以把河道近似地看成一条直线，当作x轴，建立平面直角坐标系，山上一条直线小溪当作角α的终边，且α=.
1.角的终边关于x轴对称的角β是多少
2.sin β与sin，cos β与cos是什么关系
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)点P(x，y)关于x轴的对称点是P'(-x，y). (　　)
(2)诱导公式中的符号是由角α的象限决定的. (　　)
(3)因为sin(-x)=-sin x，所以正弦函数是奇函数. (　　)
2.若cos(π-α)=，则cos α=　　　　.
3.sin 585°=　　　　.
3.求的值.
4.(原创)若=3，则sin(-α-2π)=　　　　.
【合作探究】
　给角求值
　　如图，在直角坐标系内，设任意角α的终边与单位圆交于点P1(x1，y1).根据三角函数的定义，sin α=y1，cos α=x1.
问题1：如图1，作点P1关于原点的对称点P2，以OP2为终边的角β与角α有什么关系 角β与角α的三角函数值之间有什么关系
问题2：如图2，作点P1关于x轴的对称点P2，以OP2为终边的角β与角α有什么关系 角β与角α的三角函数值之间有什么关系
问题3：如图3，作点P1关于y轴的对称点P2，以OP2为终边的角β与角α有什么关系 角β与角α的三角函数值之间有什么关系
1.诱导公式与对称
(1)sin(-α)= ，cos(-α)= .
(2)sin(α±π)= ，cos(α±π)= .
(3)sin(π-α)= ，cos(π-α)= .
2.记忆规律
2kπ+α(k∈Z)，π+α，-α，π-α的三角函数值等于α的同名函数值，再放上将α当作锐角时原函数值的符号.
求值：sin(-60°)+cos 120°+sin 390°+cos 210°.
【方法总结】　　利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤：
cos 300°+sin 210°的值为(　　).
A.1 B. C.0 D.-1
求值：sin+sin+sin+sin+sin+sin+sin+sin.
　给值求值
　　上课时，数学老师在黑板上写出一个问题：已知cos-α=，求cos+α的值.王浩宇同学的解答如下：
∵-α=，∴α=-，∴cos+α=cos=-.
老师将改为，要求同学们再计算结果.
问题1：王浩宇的答案是否正确 他的解答过程正确吗
问题2：老师将改为后，王浩宇的方法还可行吗
问题3：角-α与+α之间有什么关系 cos+α与cos-α有什么关系
解给值求值问题时，首先要仔细观察已知式和所求式，然后将已知式子进行变形向所求式子转化或将所求式子进行变形向已知式子转化，即想方设法将已知式与所求式之间的各种差异消除，从而将问题解决，同时要注意式子的整体代入，即观察、消除差异、整体代入.
已知=3，求的值.
【方法总结】　　解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.
已知cos(508°-α)=，则cos(212°+α)=　　　　.
已知cos-α=，则cos+α=　　　　.
　化简求值
利用诱导公式化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
(2)化简时函数名称没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变.
(1)化简：cos2(π-α)+cos(π+α)cos(-α)+1=(　　).
A.1 B.2 C.0 D.2sin2α
(2)化简：.
【方法总结】　　(1)先把所给的三角函数式化简，使得角的形式为最简；(2)将所求的三角函数式转化、化简，与化简后的三角函数式比较，消去差异从而求解.
化简：的值为　　　　.
化简：.
　分类讨论三角函数式的化简
问题1：求sin(n∈Z)的值.
问题2：求sin(n∈Z)的值.
设k为整数，化简.
【方法总结】　　用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需先对k进行分类讨论，再运用诱导公式进行化简.
已知f(x)=(n∈Z)，
(1)化简f(x)的表达式；
(2)求f+f的值.
【随堂检测】
1.cos=(　　).
A. B.- C. D.-
2.已知sin(5π-α)=，则sin α=(　　).
A.- B.- C. D.
3.sin 600°+sin 240°=　　　　.
4.(改编)请使用诱导公式的相关知识解决下列问题：
(1)cos 10°+cos 170°=　　　　；
(2)cos 10°+cos 20°+cos 30°+…+cos 170°=　　　　.
参考答案
1.4.3 诱导公式与对称
自主预习·悟新知
预学忆思
1.β=-+2kπ，k∈Z.
2.取角终边上一点(，1)，则β终边上对应的对称点为(，-1)，故sin β=-=-sin，cos β==cos.
3.
===-1.
自学检测
1.(1)×　(2)×　(3)√
2.-　【解析】∵cos(π-α)=-cos α=，∴cos α=-.
3.-　【解析】sin 585°=sin(360°+180°+45°)=-sin 45°=-.
4.-　【解析】因为cos(α+π)=-cos α，cos(-α-2π)=cos(-α)=cos α，sin(π-α)=sin α，
所以==3，
解得sin α=，
所以sin(-α-2π)=sin(-α)=-sin α=-.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：β=2kπ+π+α，k∈Z.根据对称性，可得P2(-x1，-y1)，所以sin β=-y1=-sin α，cos β=-x1=-cos α.
问题2：β=2kπ-α，k∈Z.根据对称性，可得P2(x1，-y1)，所以sin β=-y1=-sin α，cos β=x1=cos α.
问题3：β=2kπ+π-α，k∈Z.根据对称性，可得P2(-x1，y1)，所以sin β=y1=sin α，cos β=-x1=-cos α.
新知生成
1.(1)-sin α　cos α　(2)-sin α　-cos α　(3)sin α　-cos α
新知运用
例1　【解析】原式=-sin 60°+cos(180°-60°)+sin(360°+30°)+cos(180°+30°)=-sin 60°-cos 60°+sin 30°-cos 30°=--+-=-.
巩固训练1　C　【解析】由题意，根据诱导公式可得cos 300°+sin 210°=cos(360°-60°)+sin(180°+30°)=cos(-60°)-sin 30°=cos 60°-sin 30°=-=0.故选C.
巩固训练2　【解析】原式=sin+sin+sinπ-+sinπ-+sinπ++sinπ++sin2π-+sin2π-=sin+sin+sin+sin-sin-sin+sin-+sin-=sin+sin+sin+sin-sin-sin-sin-sin=0.
探究2　情境设置
问题1：答案正确，但他只是找到了满足条件的特殊角，对于是否有其他角，其他的结果，无从知晓，故方法不正确.
问题2：不可行，从特殊角中找不到适合条件的角.
问题3：+α=π--α；cos+α=cosπ--α=-cos-α.
新知运用
例2　【解析】因为==3，即sin α=3cos α，所以原式===7.
巩固训练1　　【解析】由于cos(508°-α)=cos(360°+148°-α)=cos(148°-α)=，
所以cos(212°+α)=cos(360°+α-148°)=cos(α-148°)=cos(148°-α)=.
巩固训练2　-　【解析】cos+α=cosπ--α=-cos-α=-.
探究3
新知运用
例3　(1)A　【解析】(1)cos2(π-α)+cos(π+α)cos(-α)+1=cos2α-cos2α+1=1.
(2)原式=
===-cos θ.
巩固训练1　-1　【解析】===-1.
巩固训练2　【解析】原式
==
=-1.
探究4　情境设置
问题1：当n=4k，k∈Z或n=4k+2，k∈Z时，sin=0；当n=4k+1，k∈Z时，sin=1；当n=4k+3，k∈Z时，sin=-1.
问题2：当n=2k，k∈Z时，sin=0；当n=2k+1，k∈Z时，sin=1.
新知运用
例4　【解析】当k为偶数时，可设k=2m(m∈Z)，
则原式=
==-=-1；
当k为奇数时，可设k=2m+1(m∈Z)，
则原式=
=-=-1.
综上可知，原式=-1.
巩固训练　【解析】(1)当n为偶数，即n=2k(k∈Z)时，
f(x)====sin xn∈Z，x≠+mπ，m∈Z；
当n为奇数，即n=2k+1(k∈Z)时，
f(x)=
=
===sin xn∈Z，x≠+mπ，m∈Z.
综上，f(x)=sin xx≠+mπ，m∈Z.
(2)由(1)得f+f=sin +sin=sin +sinπ+=sin -sin =0.
随堂检测·精评价
1.C　【解析】cos=cos4π-=cos-=cos=.
2.C　【解析】sin(5π-α)=sin(π-α)=sin α=.
3.-　【解析】sin 600°+sin 240°
=sin(360°+240°)+sin(180°+60°)
=sin 240°-sin 60°=sin(180°+60°)-sin 60°
=-sin 60°-sin 60°=-.
4.(1)0　(2)0　【解析】(1)cos 10°+cos 170°=cos 10°+cos(180°-10°)=cos 10°-cos 10°=0.
(2)由诱导公式知，
cos α+cos(180°-α)=cos α-cos α=0，
所以cos 10°+cos 20°+cos 30°+…+cos 170°=(cos 10°+cos 170°)+(cos 20°+cos 160°)+…+(cos 80°+cos 100°)+cos 90°=0.