1.4.4 诱导公式与旋转 学案（含答案） 2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

1.4.4 诱导公式与旋转
【学习目标】
1.理解±α与角α的终边的关系，会推导诱导公式.(逻辑推理)
2.掌握诱导公式，并且概括诱导公式的特点.(数学抽象)
3.能根据公式进行三角函数式的求值、化简以及证明.(数学运算)
【自主预习】
　　如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形中较小的锐角为α，直角三角形中较大的锐角为β.
1.若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，则角α与β的正弦、余弦值分别是多少
2.α和β有什么关系 α与β的函数值之间有什么关系
3.根据上述结果，sin+α与cos α，cos+α与sin α之间有什么关系
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)诱导公式中的角α只能是锐角. (　　)
(2)sin(90°+α)=-cos α. (　　)
(3)cosα-=-sin α. (　　)
2.若sin α=，则cos-α=　　　　.
3.若sin+α=，则cos α=　　　　.
4.已知sin θ=，则cos(450°+θ)=　　　　.
【合作探究】
　化简求值
　　如图，在平面直角坐标系内，设任意角α的终边与单位圆交于点P1(x1，y1).根据三角函数的定义，sin α=y1，cos α=x1.
问题1：如图，作P1关于直线y=x的对称点P2，以OP2为终边的角β与角α有什么关系 角β与角α的三角函数值之间有什么关系
问题2：如图，作P2关于y轴的对称点P3，以OP3为终边的角γ与角α有什么关系 角γ与角α的三角函数值之间有什么关系
1.诱导公式与旋转
(1)sin-α= ，cos-α= ；
(2)sin+α= ，cos+α= .
2.记忆口诀
对于角±α，k为奇数的三角函数，可通过记忆口诀“函数名改变，符号看象限”来进行变换.
“函数名改变”是指正弦函数变为余弦函数，余弦函数变为正弦函数，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.将α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α是任意角.
化简：sin2-α-cos2+α.
【方法总结】　　用诱导公式进行化简时的注意点：(1)化简后项数尽可能少；(2)函数的种类尽可能少；(3)分母尽量不含三角函数的符号；(4)能求值的一定要求值；(5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等.
化简：(1)·sinα-cos+α；
(2)sin(-α-5π)cosα--cos+αsin(α-2π).
　给值求值
　　数学课上，学习小组一组的王浩宇给大家提出了一个问题：已知cos-α=，求sin+α的值.
同组的张瑜同学是这样解答的：∵-α=，∴α=-，∴sin+α=sin=.
李琦同学的解答是这样的：∵-α++α=，
∴sin+α=sin--α=cos-α=.
谢凡评价道：“张瑜的解题过程有点问题，要是换成，张瑜的解法可能无法再用了.”
问题1：谢凡的评价是否正确 为什么
问题2：将改为后，sin+α的值是什么
问题3：sin-α+sin+α的值是多少
给值求值的策略：(1)借助于诱导公式可以将任意的角转化为0，内的角；(2)给定某一角的三角函数值，再求另外一个不同角的三角函数值时，可以用已知的角整体代替未知的角进行求解.
(1)已知sin+α=，求sin-α+2cos+α的值；
(2)已知sinα-=，求的值.
【方法总结】　　已知三角函数值求值的“二观察，一转化”
(1)“二观察”：①观察已知的角和所求的角之间的差异，寻求角之间的关系；②观察已知的三角函数名与所求的三角函数名之间的差异.
(2)“一转化”：运用诱导公式将不同的角转化为相同的角，将不同名的三角函数化为同名的三角函数.
已知sinα+=，求cosα-的值.
　诱导公式在三角形中的应用
　　已知△ABC.
问题1：sin(A+B)与sin C，cos(A+B)与cos C有什么关系
问题2：sin+与cos，cos+与sin有什么关系
(1)若△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2对应的三个内角的正弦值，则(　　).
A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
C.△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形
D.△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形
(2)在△ABC中，若cos+Asin+B·<0，则△ABC为　　　　三角形.(填锐角、钝角或直角)
【方法总结】诱导公式在三角形中的应用，要关注角的转化、函数名的变化，要关注题目中隐含条件的挖掘，如内角和为180°等.在三角形的背景中，发现和使用诱导公式解决问题，渗透了数学建模素养.
(1)(多选题)在△ABC中，下列关系正确的是(　　).
A.cos(A+B)=cos C　　B.sin(A+B)=sin C
C.sin =-sin D.cos =sin
(2)在△ABC中，sin=sin，试判断△ABC的形状.
【随堂检测】
1.cos 240°=(　　).
A. B.-
C. D.-
2.若sin+θ<0，且cos-θ>0，则θ是(　　).
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
3.已知=2，则=(　　).
A.2 B.-2 C.0 D.
4.化简：sin 95°+cos 175°=　　　　.
参考答案
1.4.4 诱导公式与旋转
自主预习·悟新知
预学忆思
1.∵小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，∴每一个直角三角形的面积是6.设直角三角形的两条直角边的边长分别为a，b(a2.β=-α，sin β==cos α，cos β==sin α.
3.sin+α=sinπ--α=sin-α=cos α；
cos+α=cosπ--α=-cos-α=-sin α.
自学检测
1.(1)×　(2)×　(3)×
2.　【解析】cos-α=sin α=.
3.　【解析】sin+α=cos α=.
4.-　【解析】cos(450°+θ)=cos(90°+θ)=-sin θ=-.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：β=2kπ+-α，k∈Z.根据对称性可得P2(y1，x1)，所以sin β=x1=cos α，cos β=y1=sin α.
问题2：γ=2kπ++α，k∈Z.根据对称性可得P3(-y1，x1)，所以sin γ=x1=cos α，cos γ=-y1=-sin α.
新知生成
1.(1)cos α　sin α　(2)cos α　-sin α
新知运用
例1　【解析】原式=cos2--α-cos2+α=cos2+α-cos2+α=0.
巩固训练　【解析】(1)原式=·sin--α(-sin α)
=·-sin-α(-sin α)
=·(-cos α)(-sin α)
=-cos2α.
(2)原式=sin(-α-π)cos--α-cosπ++αsin[-(2π-α)]
=sin[-(α+π)]cos-α-cos+αsin(2π-α)
=-sin(α+π)sin α-sin αsin α
=sin2α-sin2α
=0.
探究2　情境设置
问题1：正确，张瑜只是找到了满足条件的特殊角，对于是否有其他角，其他的结果，无从知晓，方法不得当.
问题2：∵-α++α=，
∴sin+α=sin--α=cos-α=.
问题3：sin-α+sin+α=sin+-α+sin--α=cos-α-cos-α=0.
新知运用
例2　【解析】(1)∵sin+α=，
∴sin-α+2cos+α
=sinπ-+α+2cos++α
=sin+α-2sin+α
=-sin+α=-.
(2)∵sinα-=-cos α=，∴cos α=-.
==cos α=-.
巩固训练　【解析】由sinα+=，可得cosα-=cosα+-=sinα+=.
探究3　情境设置
问题1：A+B与C互补，所以sin(A+B)=sin C，cos(A+B)=-cos C.
问题2：+与互余，所以sin+=cos，cos+=sin.
新知运用
例3　(1)D　(2)钝角　【解析】(1)由题意可知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，故△A1B1C1是锐角三角形.假设△A2B2C2也是锐角三角形，
则由得
则A2+B2+C2=-(A1+B1+C1)=，这与三角形内角和为π矛盾，故△A2B2C2不可能是锐角三角形；
假设△A2B2C2是直角三角形，则必存在一个角为，而sin=1.由题意可得，△A1B1C1中必有一个角的余弦值为1，即此角为0，矛盾，故△A2B2C2也不可能是直角三角形.
综上可知，△A2B2C2为钝角三角形.
(2)cos+Asin+B·<0，则(-sin A)·(-cos B)·<0，即sin Acos B·<0.∵在△ABC中，00，sin C>0.故<0，∴角B与角C中有一角为钝角，故△ABC为钝角三角形.
巩固训练　(1)BD　【解析】(1)在△ABC中，有A+B+C=π，故A+B=π-C，则=-，
∴sin(A+B)=sin C，cos(A+B)=-cos C，sin =cos ，cos =sin .
故选BD.
(2)∵A+B+C=π，
∴A+B-C=π-2C，A-B+C=π-2B.
又∵sin=sin，
∴sin=sin，
∴sin-C=sin-B，∴cos C=cos B.
又B，C为△ABC的内角，∴C=B，
∴△ABC为等腰三角形.
随堂检测·精评价
1.B　【解析】cos 240°=cos(90°+150°)=-sin 150°=-sin(180°-30°)=-sin 30°=-.
2.B　【解析】因为sin+θ=cos θ<0，cos-θ=sin θ>0，
所以角θ的终边落在第二象限，故选B.
3.B　【解析】原式=====-2.
4.0　【解析】sin 95°+cos 175°=sin(90°+5°)+cos(180°-5°)=cos 5°-cos 5°=0.