1.5.2 余弦函数的图象与性质 学案（含答案）2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

1.5.2 余弦函数的图象与性质
【学习目标】
1.掌握“五点法”画余弦曲线的方法和步骤.(直观想象)
2.理解、掌握余弦函数的性质，会求简单函数的定义域、值域.(数学运算)
3.能利用单调性比较三角函数值的大小.(数学运算)
【自主预习】
　　前面我们进一步学习了正弦函数的图象与性质，由正弦函数的图象与性质能得出余弦函数的图象与性质吗 下面我们一起探究.
阅读教材，结合上述情境回答下列问题.
1.用“五点法”可以作余弦函数的图象吗 五点的横坐标一样吗
2.余弦函数是奇函数吗
3.余弦函数的单调区间是什么
1.下列函数是偶函数的是(　　).
A.f(x)=cos x
B.f(x)=sin x
C.f(x)=ex
D.f(x)=lg x
2.在△ABC中，“cos A >cos B”是“A A.充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.函数f(x)=的定义域为　　　　；若x∈0，，则函数f(x)的值域为　　　　.
4.函数y=-cos x+2 024，x∈[0，2π]的单调递减区间是　　　；单调递增区间是　　　　.
【合作探究】
　余弦函数的图象
　　小明说：“根据李明作正弦函数的图象的方法，可类比画出函数y=cos x，x∈[0，2π]的图象.”
问题1：小明的说法正确吗
问题2：余弦函数的五个关键点是什么
问题3：据y=sin x和y=cos x的关系，你能利用y=sin x，x∈R的图象得到y=cos x，x∈R的图象吗
1.余弦函数的图象
余弦函数y=cos x(x∈R)的图象称作余弦曲线，如图所示.
2.余弦函数的作图方法
画余弦曲线，通常也使用“五点法”，即在函数y=cos x(x∈[0，2π])的图象上找五个关键点：(0，1)，，0，(π，-1)，，0，(2π，1)，它们分别表示了余弦曲线与x轴的交点，0，，0，余弦函数取得最大值时的点为(0，1)，(2π，1)，取得最小值时的点为(π，-1).
在精确度要求不太高时，常常先描出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们顺次连接起来，就得到余弦函数的简图(如图)，这种作余弦曲线的方法也称为“五点(画图)法”.
用“五点法”作出函数y=2+cos x，x∈[0，2π]的简图.
【方法总结】　　作形如y=acos x+b，a，b∈R，a≠0，x∈[0，2π]的图象的三个步骤
画出函数y=-cos x，x∈[0，2π]的简图.
　余弦函数的性质
　　给出函数y=cos x的部分图象，如图所示.
问题1：观察余弦函数的图象，它是不是关于y轴对称
问题2：余弦函数是中心对称函数吗 若是，对称中心是什么
问题3：余弦函数在[-π，π]上的函数值的变化有什么特点 推广到整个定义域呢
余弦函数的性质
函数 y=cos x
定义域 R
值域 [-1，1]
最大值， 最小值 当x=2kπ(k∈Z)时，ymax=1；当x=2kπ+π(k∈Z)时，ymin=-1
周期性 周期函数，T=
单调性 在[2kπ-π，2kπ](k∈Z)上是单调递增的；在[2kπ，2kπ+π](k∈Z)上是单调递减的
奇偶性 ，图象关于 对称
(1)求函数y=1-cos x的单调区间；
(2)比较cos-与cos的大小.
【方法总结】1.形如y=acos x+b(a≠0)函数的单调区间
(1)当a>0时，其单调性与y=cos x的单调性一致；
(2)当a<0时，其单调性与y=cos x的单调性相反.
2.比较cos α与cos β的大小时，可利用诱导公式化为[0，π]内的余弦函数值来进行比较.
函数y=1-2cos x的单调递增区间是　　　　.
比较大小：cos　　　　cos-.(填“>”“<”或“=”)
　余弦函数图象的应用
已知y=cos x(x∈R)，求：
(1)当y≥时x的集合；
(2)当-≤y≤时x的集合.
【方法总结】　　利用余弦曲线求解cos α≥a或cos α≤a(|a|<1)的步骤：
(1)作出余弦函数在一个周期内的图象(选取的一个周期不一定是[0，2π]，应根据不等式来确定)；(2)作直线y=a与函数图象相交；(3)在一个周期内确定α的取值范围；(4)根据余弦函数的周期性确定最终的取值范围.
利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合.
(1)sin x≥；(2)cos x≤.
【随堂检测】
1.用“五点法”作出函数y=3-cos x的图象，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是(　　).
A.(π，-1) B.(0，2)
C.，3 D.，3
2.在区间0，上，下列函数是增函数的是(　　).
A.y= B.y=-
C.y=-sin x D.y=-cos x
3.函数y=cos(-x)，x∈[0，2π]的单调递减区间是　　　　.
4.利用余弦函数的单调性，比较cos-与cos-的大小.
参考答案
1.5.2 余弦函数的图象与性质
自主预习·悟新知
预学忆思
1.可以；五点的横坐标一样.
2.不是，它是偶函数.
3.余弦函数的单调递增区间是[2kπ-π，2kπ](k∈Z)；单调递减区间是[2kπ，2kπ+π](k∈Z).
自学检测
1.A　【解析】对于A，x∈R，cos(-x)=cos x，故f(x)=cos x是偶函数，A正确；对于B，f(x)=sin x是奇函数，B错误；对于C，f(x)=ex为非奇非偶函数，C错误；对于D，f(x)=lg x，x>0为非奇非偶函数，D错误.故选A.
2.C　【解析】当cos A>cos B时，因为y=cos x在(0，π)内单调递减，所以Acos B”是“Acos B，所以“cos A>cos B”是“A3.　[0，1]　【解析】∵f(x)=，∴2cos x≥1，即cos x≥，得-+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，∴函数f(x)=的定义域为x-+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z.
若x∈0，，则≤cos x≤1 0≤2cos x-1≤1，∴函数的值域为[0，1].
4.[π，2π]　[0，π]　【解析】画出函数的图象(图略)，可得单调递减区间为[π，2π]，单调递增区间为[0，π].
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：正确.
问题2：(0，1)，，0，(π，-1)，，0，(2π，1).
问题3：能，根据cos x=sinx+，只需把y=sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度，即可得到y=cos x，x∈R的图象.
新知运用
例1　【解析】按五个关键点列表：
x 0 π 2π
cos x 1 0 -1 0 1
2+cos x 3 2 1 2 3
描点，并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示.
巩固训练　【解析】列表：
x 0 π 2π
cos x 1 0 -1 0 1
-cos x -1 0 1 0 -1
描点并将它们用光滑的曲线顺次连接起来，如图所示.
探究2　情境设置
问题1：它是关于y轴对称.
问题2：是，对称中心是kπ+，0，k∈Z.
问题3：观察图象可知，
当x∈[-π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x的值由-1增大到1；
当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x的值由1减小到-1.
推广到整个定义域可得，
当x∈[2kπ-π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y=cos x是增函数，函数值由-1增大到1；
当x∈[2kπ，2kπ+π]，k∈Z时，余弦函数y=cos x是减函数，函数值由1减小到-1.
新知生成
2π　偶函数　y轴
新知运用
例2　【解析】(1)∵y=1-cos x的单调性与y=cos x的单调性相反，
y=cos x的单调递增区间是[2kπ-π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ+π](k∈Z)，
∴y=1-cos x的单调递减区间是[2kπ-π，2kπ](k∈Z)，单调递增区间是[2kπ，2kπ+π](k∈Z).
(2)cos=cos2π+=cos，
cos-=cos.
又0<<<π，y=cos x在[0，π]上单调递减，
∴cos->cos.
巩固训练1　[2kπ，2kπ+π](k∈Z)　【解析】由于y=cos x的单调递减区间为[2kπ，2kπ+π](k∈Z)，所以函数y=1-2cos x的单调递增区间为[2kπ，2kπ+π](k∈Z).
巩固训练2　<　【解析】由于cos=cos8π+=cos，
cos-=cos =cos4π+=cos，
又y=cos x在[0，π]上单调递减，
所以由<知，cos>cos，
即cos探究3
例3　【解析】用“五点法”作出y=cos x的简图，如图.
(1)作直线y=，从图象中看出，在区间[-π，π]上与余弦曲线交于-，，，两点，在区间[-π，π]上，当y≥时，x的集合为x-≤x≤.
当x∈R时，若y≥，则x的集合为x-+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z.
(2)作直线y=和直线y=-，从图象中看出它们分别与余弦曲线交于-+2kπ，-，k∈Z，+2kπ，-，k∈Z和-+2kπ，，k∈Z，+2kπ，，k∈Z，那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求，即当-≤y≤时，x的集合为x-+2kπ≤x≤-+2kπ或+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z.
巩固训练　【解析】(1)作出正弦函数y=sin x，x∈[0，2π]的图象及直线y=，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为x+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z.
(2)作出余弦函数y=cos x，x∈[0，2π]的图象及直线y=，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为x+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z.
随堂检测·精评价
1.A　【解析】由五点作图法知五个关键点分别为(0，2)，，3，(π，4)，，3，(2π，2).
2.D　【解析】由正、余弦函数的单调性判断可知选D.
3.[0，π]　【解析】y=cos(-x)=cos x，其单调递减区间为[0，π].
4.【解析】cos-=cos=cos，cos-=cos=cos.
因为0<<<π，且函数y=cos x，x∈[0，π]是减函数，所以cos>cos，
即cos-