1.6.1 探究ω对y=sin ωx的图象的影响 学案（含答案）2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

1.6.1 探究ω对y=sin ωx的图象的影响
【学习目标】
1.结合具体实例，了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义.(数学抽象)
2.理解y=sin ωx中ω对图象的影响.(逻辑推理)
3.掌握y=sin x与y=sin ωx图象间的变换关系.(直观想象)
【自主预习】
　　你知道冲浪运动吗 那汹涌的波涛时而把人们推向高耸的巅峰，时而又将人们卷入无底的深渊，让人们尽情地享受冲浪的乐趣.猛然间我们会发现它竟然与我们所学的正弦、余弦函数的图象是那么的相似，它们之间是不是有某种联系 相信学过本节之后，你一定会豁然开朗.
阅读教材，结合上述情境回答下列问题.
1.如何求函数y=sin ωx的周期
2.函数y=sin ωx是怎样由y=sin x变换得到的
1.若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间0，上单调递增，在区间，上单调递减，则ω=(　　).
A.1 B. C.2 D.3
2.若将函数f(x)=2sin 2x 图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，则得到的新函数图象的解析式为(　　).
A.y=2sin 8x B.y=2sin x
C.y=8sin 2x D.y=2sinx
3.函数y=的定义域是　　　　.
4.写出一个周期为2且值域为[0，2]的函数的解析式：f(x)=　　　　.
【合作探究】
　ω对y=sin ωx的图象的影响
　　明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图描绘了筒车的工作原理.如图，将筒车抽象为一个几何图形，设经过t s后，盛水筒M从点P0运动到点P.设点P距离水面的高度为H.
问题1：H由哪些量决定
问题2：将点P距离水面的高度H表示为时间t(s)的函数.
问题3：若改变r，h，φ，ω的值，则可得函数y=sin x，y=sin 2x和y=sinx，它们的周期分别是什么 当三个函数的函数值相同时，它们x的取值有什么关系
问题4：你能在同一坐标系中画出函数y=sin x，y=sin 2x和y=sinx的图象吗
探究ω(ω>0)对y=sin ωx的图象的影响：
一般地，对于ω>0，有sin ωx=sin(ωx+2π)=sin ωx+.根据周期函数的定义，T= 是函数y=sin ωx的最小正周期.函数y=sin ωx的图象是将函数y=sin x图象上所有点的横坐标 到原来的(当ω>1时)或 (当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标 )得到的.通常称周期的倒数=为频率.
已知函数y=sin 2x，该函数的图象可由y=sin x，x∈R的图象经过怎样的变换得到
【变式设问】把已知函数改为y=sinx，其他不变，如何变换
【方法总结】由y=sin x的图象，通过变换得到y=sin ωx的图象时，注意ω的取值范围：当ω>1时，缩短到原来的；当0<ω<1时，伸长到原来的倍.
为了得到函数y=sin x的图象，只需把函数y=sin 4x的图象上所有点的(　　).
A.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
　函数y=sin ωx的图象与性质
　　小明用五点作图法画出函数y=sin 2x与y=sin x在一个周期内的图象如图所示，根据该图回答下列问题.
问题1：函数y=sin 2x在[0，π]上的单调递增区间是什么
问题2：如何求函数y=sin 2x的单调递减区间
函数y=sin ωx(ω>0)的性质
定义域 R
值域 [-1，1]
周期 T=
奇偶性 奇函数
对称轴方程 由ωx=kπ+(k∈Z)求得
对称中心 由ωx=kπ(k∈Z)求得
单调性 单调递增区间由2kπ-≤ωx≤2kπ+(k∈Z)求得；单调递减区间由2kπ+≤ωx≤2kπ+(k∈Z)求得
已知函数f(x)=sinx，x∈R.
(1)利用“五点法”画出函数f(x)的简图；
(2)研究函数f(x)=sinx的性质.
【方法总结】(1)用“五点法”作图时，应先令ωx分别为0，，π，，2π，再解出x，从而确定这五点，画出简图.(2)研究函数y=sin ωx的性质可以类比正弦函数的性质，注意换元法的应用.
作出函数f(x)=sin 4x在长度为一个周期的闭区间上的简图，并研究其性质.
　求ω的值或取值范围
若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间，上单调递减，则ω的取值范围是(　　).
A.0≤ω≤ B.0≤ω≤
C.≤ω≤3 D.≤ω≤3
【方法总结】　　求ω的值或取值范围，一般根据周期、函数的单调性建立不等式组，再根据k的取值求解.
若函数f(x)=sin ωx(0<ω<1)在区间0，上的最大值是，则ω=　　　　.
【随堂检测】
1.函数y=sinx的最小正周期是(　　).
A.1 B.2
C.4 D.8
2.把函数f(x)=sin 2x图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象的解析式为(　　).
A.y=sin x B.y=sin x
C.y=sin 2x D.y=sin 4x
3.函数f(x)=sin 4x的频率为　　　　.
4.函数f(x)=cos+2x的单调递增区间是　　　　.
参考答案
1.6.1 探究ω对y=sin ωx的图象的影响
自主预习·悟新知
预学忆思
1.T=.
2.把y=sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的.
自学检测
1.B　【解析】由题意可知函数在x=时取得最大值，则=2kπ+，k∈Z，所以ω=6k+.当k=0时，ω=满足选项.故选B.
2.D　【解析】横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，则函数解析式变为y=2sin×2x=2sin x.
3.kπ，+kπ(k∈Z)　【解析】由题意知，2sin 2x≥0，即sin 2x≥0，由正弦函数y=sin x≥0得x∈[2kπ，π+2kπ](k∈Z)，所以2kπ≤2x≤π+2kπ(k∈Z)，解得kπ≤x≤+kπ(k∈Z)，所以函数y=的定义域为kπ，+kπ(k∈Z).
4.sin πx+1(答案不唯一)　【解析】g(x)=sin πx的周期为2，值域为[-1，1]，∴f(x)=sin πx+1满足题意(答案不唯一).
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：H 由以下量决定：筒车转轮的中心O到水面的距离h，筒车的半径r，筒车转动的角速度ω，盛水筒的初始位置P0以及所经过的时间t.
问题2：
如图，以O为原点，与水平面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系.设当t=0时，盛水筒M位于点P0，以Ox为始边，OP0为终边的角为φ，经过t s后运动到点P(x，y).
于是，以Ox为始边，OP为终边的角为ωt+φ，所以y=rsin(ωt+φ)，
故点P距离水面的高度H=rsin(ωt+φ)+h.
问题3：周期分别为2π，π，4π.
当三个函数的函数值相同时，y=sin 2x中x的取值是y=sin x中x取值的，y=sinx中x的取值是y=sin x中x取值的2倍.
问题4：能，如图.
新知生成
　缩短　伸长　不变
新知运用
例1　【解析】把函数y=sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可以得到函数y=sin 2x的图象.
变式设问　提示　把函数y=sin x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可以得到函数y=sinx的图象.
巩固训练　A　【解析】根据ω对函数图象的影响，只需把函数y=sin 4x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，就得到函数y=sin x的图象.
探究2　情境设置
问题1：0，，，π.
问题2：因为y=sin x在[0，2π]上的单调递减区间为，，所以+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z)，
解得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z)，
所以函数y=sin 2x的单调递减区间是+kπ，+kπ(k∈Z).
新知运用
例2　【解析】(1)列表取值，描出五个关键点并用光滑曲线顺次连接，得到一个周期的简图.
x 0 π 2π 3π 4π
x 0 π 2π
f(x) 0 1 0 -1 0
(2)函数f(x)=sinx的值域是[-1，1]，f(x)是周期为4π的周期函数，是奇函数.
由x=kπ，k∈Z，得图象的对称中心为(2kπ，0)，k∈Z；
由x=kπ+，k∈Z，得图象的对称轴方程为x=2kπ+π，k∈Z；
由-+2kπ≤x≤2kπ+，k∈Z，得单调递增区间为[-π+4kπ，4kπ+π]，k∈Z；
由+2kπ≤x≤2kπ+，k∈Z，得单调递减区间为[π+4kπ，4kπ+3π]，k∈Z.
巩固训练　【解析】利用五点作图法画出简图，如图所示.
函数f(x)的周期T==；f(x)是奇函数；f(x)的单调递增区间是-，+(k∈Z)，单调递减区间是+，+(k∈Z)；f(x)的值域是[-1，1]；f(x)图象的对称轴是直线x=+，k∈Z；f(x)图象的对称中心是，0，k∈Z.
探究3
例3　D　【解析】令+2kπ≤ωx≤+2kπ(k∈Z)，则+≤x≤+(k∈Z).
∵函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间，上单调递减，
∴+≤且+≥，k∈Z，
解得+6k≤ω≤3+4k，k∈Z，
又≥-=，∴T≥，
∴≥，∴ω≤6，∴≤ω≤3，故选D.
巩固训练　　【解析】∵函数f(x)的周期T=，
∴f(x)=sin ωx在0，上是增函数，
∵0<ω<1，∴0，是0，的子集，
∴f(x)在0，上单调递增，
∴f=，即sinω=，
∴ω=，∴ω=.
随堂检测·精评价
1.C　【解析】T==4，故选C.
2.D　【解析】由已知得y=sin(2×2x)=sin 4x，故选D.
3.　【解析】因为T==，所以该函数的频率为=.
4.kπ+，kπ+(k∈Z)　【解析】由f(x)=-sin 2x，2kπ+≤2x≤2kπ+(k∈Z)，得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z).