1.6.2 探究φ对y=sin(x+φ)的图象的影响 学案（含答案） 2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

1.6.2 探究φ对y=sin(x+φ)的图象的影响
【学习目标】
1.理解y=sin(x+φ)中φ对图象的影响.(直观想象)
2.掌握y=sin x与y=sin(ωx+φ)图象间的变换关系.(逻辑推理)
【自主预习】
　　小孩嬉水时，常将小石子扔进平静的水中，形成阵阵涟漪.这些都给我们无限的遐想，猛然间我们会发现它竟然与我们所学的正弦函数的图象是那么的相似，它们之间是不是有某种联系 相信学过本节之后，你一定会豁然开朗.
阅读教材，结合上述情境回答下列问题.
1.函数y=sin(x+φ)的定义域、值域、周期与y=sin x相同吗
2.函数y=sin(x+φ)是怎样由y=sin x变换得到的
1.在下列区间中，函数f(x)=sinx-单调递减的是(　　).
A.0， B.，π
C.π， D.，2π
2.(多选题)将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，则φ的值可能为(　　).
A.- B.- C. D.
3.(多选题)若函数f(x)=sinωx-(ω>0)的最小正周期为π，则它的一条对称轴是直线(　　).
A.x=- B.x=0
C.x=- D.x=
4.已知函数f(x)=sinx+，x∈0，，则函数f(x)的最大值为　　　　.
【合作探究】
　φ对y=sin(x+φ)的图象的影响
　　在同一平面直角坐标系中画出y=sin x与y=sinx-的图象，如图所示.
问题1：函数y=sinx-的五个关键点是什么
问题2：y=sinx-的五个关键点与y=sin x的五个关键点之间有什么关系
问题3：如何由y=f(x)的图象变换得到y=f(x+a)的图象
　　探究φ对y=sin(x+φ)的图象的影响
(1)函数y=sin(x+φ)与y=sin x的周期相同.
(2)由x+φ=0，得x=-φ，即函数y=sin x图象上的点(0，0)平移到了点(-φ，0).
(3)函数y=sin(x+φ)的图象，可以看作将函数y=sin x图象上的所有点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度得到的.
(1)要得到函数y=sinx+的图象，只要将函数y=sin x的图象(　　).
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
(2)要得到函数y=sin2x+的图象，只要将函数y=sin 2x的图象(　　).
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
【方法总结】　　图象平移变换的策略
(1)先确定平移的方向和平移的量.
(2)当x的系数是1时，若φ>0，则向左平移φ个单位长度；若φ<0，则向右平移|φ|个单位长度.
当x的系数是ω(ω>0)时，若φ>0，则向左平移个单位长度；若φ<0，则向右平移个单位长度.
将函数y=sin 4x的图象向左平移个单位长度，得到函数y=sin(4x+φ)的图象，则φ的值为(　　).
A.- B.- C. D.
　函数y=sin(ωx+φ)的图象与性质
　　李明：要得到函数y=sin2x-的图象，只需将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度.
问题1：李明的说法正确吗 若错误，则该如何订正
问题2：函数y=sin2x-在0，上的单调递减区间是什么
函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的性质
定义域 R
值域 [-1，1]
周期性 T=
奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时，是奇函数；当φ=+kπ(k∈Z)时，是偶函数；当φ≠(k∈Z)时，是非奇非偶函数
单调性 单调递增区间可由2kπ-≤ωx+φ≤2kπ+(k∈Z)得到，单调递减区间可由2kπ+≤ωx+φ≤2kπ+(k∈Z)得到
对称性 对称轴方程：x=+(k∈Z)
对称中心：，0(k∈Z)
　　注：通常称φ为初相，ωx+φ为相位.
已知函数f(x)=sin+(x∈R).
(1)用“五点法”画出它在一个周期内的闭区间上的图象.
(2)讨论函数f(x)的性质.
【方法总结】　　(1)用“五点法”作图时，应先令ωx+φ分别为0，，π，，2π，再解出x，从而确定这五点，画出简图.(2)研究函数性质可以类比正、余弦函数的性质，注意换元法的应用.
已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0，|φ|<的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位长度后得到的图象所对应的函数为奇函数，则下列结论正确的是(　　).
A.函数f(x)的图象关于直线x=对称
B.函数f(x)的图象关于点，0对称
C.函数f(x)在区间-，-上单调递减
D.函数f(x)在，上有3个零点
　三角函数图象的应用
已知函数f(x)=sinωx-的图象关于直线x=π对称，其中ω为实数.
(1)若ω∈，1，求函数f(x)的周期；
(2)在(1)的条件下，若当x∈[0，3π]时，方程f(x)=2+m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围.
【方法总结】与方程的根、函数零点有关的问题，常借助数形结合，即借助函数的图象求解.
已知函数f(x)=sinx+.
(1)f(x)在经过变换后如何得到h(x)=|sin 2x|
(2)当x∈0，时，方程m-h(x)+=0(m>0)有3个不等实根，求实数m的取值范围.
【随堂检测】
1.将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式是(　　).
A.g(x)=sin2x+ B.g(x)=sin2x+
C.g(x)=sin2x- D.g(x)=sin2x-
2.(多选题)已知关于x的函数f(x)=sin(x+φ)，则下列命题是假命题的为(　　).
A. φ∈R，f(x)都是非奇非偶函数
B. φ∈R，f(x)都不是偶函数
C. φ∈R，f(x)是奇函数
D. φ∈R，f(x)既是奇函数又是偶函数
3.将函数y=sinx-的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象对应的函数的最小正周期是(　　).
A. B.π C.2π D.4π
4.已知函数y=sin(ωx+φ)ω>0，0<φ≤的图象如图所示，求ω，φ的值.
参考答案
1.6.2 探究φ对y=sin(x+φ)的图象的影响
自主预习·悟新知
预学忆思
1.相同.
2.函数y=sin(x+φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y=sin x的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度得到的.
自学检测
1.C　【解析】由+2kπ≤x-≤+2kπ，k∈Z，得+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z.当k=-1时，函数f(x)在-，-上单调递减；当k=0时，f(x)在，上单调递减；当k=1时，f(x)在，上单调递减.结合选项知，函数f(x)在π，上单调递减.故选C.
2.BD　【解析】设平移后得到函数图象的解析式为g(x)=sin2x++φ=sin2x+φ+，∵g(x)的图象关于原点对称，∴g(x)是奇函数，∴g(0)=sinφ+=0，∴φ+=kπ(k∈Z)，∴φ=kπ-(k∈Z).当k=0时，φ=-；当k=1时，φ=.故选BD.
3.AD　【解析】由T==π，得ω=2，所以f(x)=sin2x-，令2x-=+kπ，k∈Z，解得x=+，k∈Z.当k=0时，x=；当k=-1时，x=-.故选AD.
4.1　【解析】因为0≤x≤，所以≤x+≤，所以≤sinx+≤1，所以f(x)的最大值为1.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：，0，，1，，0，，-1，，0.
问题2：y=sinx-的五个关键点可以看作是y=sin x的五个关键点向右平移个单位长度得到的.
问题3：向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度.
新知运用
例1　(1)A　(2)C　【解析】(1)将函数y=sin x图象上所有的点向左平移个单位长度，就可得到函数y=sinx+的图象.
(2)因为y=sin2x+=sin2x+，所以将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度，就可得到函数y=sin2x+=sin2x+的图象.
巩固训练　D　【解析】将函数y=sin 4x的图象向左平移个单位长度，得到y=sin4x+=sin4x+的图象，∴φ的值为.
探究2　情境设置
问题1：不正确，由已知得y=sin2x-=sin 2x-，要得到函数y=sin2x-的图象，需将函数y=sin 2x的图象向右平移个单位长度.
问题2：由2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z.因为x∈0，，所以令k=0，得≤x≤，所以该函数的单调递减区间是，.
新知运用
例2　【解析】(1)列表：
x -
+ 0 π 2π
f(x) 0 1 0 -1 0
描点画图：
(2)由图可知，该函数的周期为4π，是非奇非偶函数，值域为[-1，1]，单调递增区间为4kπ-，4kπ+(k∈Z)，单调递减区间为4kπ+，4kπ+(k∈Z)；对称轴为直线x=2kπ+(k∈Z)；对称中心为2kπ-，0(k∈Z).
巩固训练　C　【解析】∵该函数的最小正周期是π，∴ω==2，
∵它的图象向右平移个单位长度后得到的图象所对应的函数为奇函数，
∴g(x)=sin2x-+φ为奇函数，则φ=kπ+，k∈Z，
∵|φ|<，∴φ=-，∴f(x)=sin2x-.
由2x-=kπ+，k∈Z，得x=+，k∈Z，
则f(x)的图象不关于直线x=对称，A错误；
由2x-=kπ，k∈Z，得x=+，k∈Z，
则f(x)的图象不关于，0对称，B错误；
由2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈Z，得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
则f(x)的单调递减区间为+kπ，+kπ，k∈Z，
取k=-1，得区间-，-，
由-，- -，-知，C正确；
函数f(x)的零点为x=+，k∈Z，
则函数f(x)在，上有和两个零点，D错误.
探究3
例3　【解析】(1)由直线x=π是函数y=f(x)图象的一条对称轴，可得sinωπ-=±1，所以ω=+k，k∈Z，
又ω∈，1，k∈Z，所以ω=，
由T=，得函数f(x)的周期T=.
(2)由(1)可得f(x)=sinx-，所以f(0)=sin-=-，f(3π)=sin×3π-=，
作出函数f(x)在[0，3π]的图象，如图所示.
方程有两个不同的实数根等价于函数f(x)的图象与y=2+m的图象有两个交点，则<2+m<1或-1<2+m<-，解得-3所以实数m的取值范围为-3，--2∪-，-1.
巩固训练　【解析】(1)将f(x)=sinx+的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到f1(x)=sin x的图象，然后纵坐标不变，将横坐标缩短为原来的，得到f2(x)=sin 2x的图象，再将f2(x)=sin 2x的图象沿x轴将x轴下方的图象翻折到x轴上方，x轴上方的图象不变，得到h(x)=|sin 2x|的图象.
(2)当x∈0，时，方程m-h(x)+=0有3个不等实根，即函数y=h(x)-的图象与直线y=m有3个交点，
画出两个函数图象，如图所示.
x轴上方的直线为m=，x轴下方的直线为m=-，
所以当函数y=h(x)-的图象与直线y=m有3个交点时，m∈-，，
又m>0，所以m∈0，.
随堂检测·精评价
1.C　【解析】由题意知，将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移个单位长度，可得g(x)=sin 2x-=sin2x-.
2.ABD　【解析】当φ=kπ，k∈Z时，函数f(x)=sin(x+φ)是奇函数，当φ=+kπ，k∈Z时，函数f(x)=sin(x+φ)是偶函数，所以A错误；
当φ=+kπ，k∈Z时，函数f(x)=sin(x+φ)是偶函数，所以B错误；
当φ=kπ，k∈Z时，函数f(x)=sin(x+φ)是奇函数，所以C正确；
不存在φ∈R，使函数f(x)=sin(x+φ)既是奇函数又是偶函数，所以D错误.
3.D　【解析】将函数y=sinx-的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=sinx-的图象，该函数的最小正周期T==4π.
4.【解析】由=-=，得T=π，
由T=(ω>0)，得ω=2，
所以2×+φ=π+2kπ，k∈Z，
又0<φ≤，所以φ=.