1.6.3 探究A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 学案（含答案）2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

1.6.3 探究A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响
【学习目标】
1.理解y=Asin(ωx+φ)中ω，φ，A对图象的影响.(数学抽象)
2.掌握y=sin x与y=Asin(ωx+φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.(直观想象)
【自主预习】
1.用“五点法”作y=2sin x的图象时，五个关键点的坐标分别是什么
2.如何由y=sin x的图象得到y=2sin x的图象
3.如何由y=2sin x的图象得到y=2sinx的图象
4.如何由y=2sinx的图象得到y=2sinx+1的图象
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y=sin x的图象向右平移个单位长度，得到函数y=sinx+的图象. (　　)
(2)将函数y=sin x图象上各点的纵坐标变为原来的5倍，横坐标不变，即可得到函数y=5sin x的图象. (　　)
(3)把函数y=cos x图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，即可得到函数y=cos 3x的图象.(　　)
2.将函数y=sin x的图象上各点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，则所得图象对应的函数为　　　　.
3.将函数y=sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，可得到　　　　的图象.
4.说明y=-2sin2x-+1的图象是由y=sin x的图象经过怎样的变换得到的.
【合作探究】
　A(A>0)对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响
　　图①是暑假期间小明帮妈妈推销纸巾，图②是小明喊话的声波，图③是放大的一部分声波.
问题1：图③中三条曲线的振幅相同吗
问题2：对于同一个x，函数y=2sin x，y=sin x和y=sin x的函数值有何关系
问题3：把函数y=2sin 3x的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得到哪个函数的图象
A(A>0)对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响
y=Asin(ωx+φ)(A>0)的图象是将y=sin(ωx+φ)的图象上的每个点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为和，图象在y轴上的截距为，给出下列四个结论：①f(x)的最小正周期为π；②f(x)的振幅为2；③f=-1；④fx+为奇函数.其中正确结论的个数是(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
【方法总结】　　由图象或部分图象确定解析式，在观察图象的基础上可按以下规律来确定A，一般由图象上的最大值m、最小值n来确定，A=.
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)，x∈R其中A>0，ω>0，-<φ<，其部分图象如图所示，将f(x)的图象纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为(　　).
A.g(x)=sin(x+1) B.g(x)=sin(x+1)
C.g(x)=sinx+1 D.g(x)=sinx+1
　“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象
问题1：作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象，有几种方法
问题2：五点作图法的关键是什么
用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤：
第一步：列表.
ωx+φ 0 π 2π
x - - - - -
y 0 A 0 -A 0
　　第二步：在同一坐标系中描出各点.
第三步：用光滑的曲线顺次连接这些点，形成图象.
已知函数y=sin2x+，x∈R.
(1)用“五点法”作出它在一个周期内的简图；
(2)该函数的图象可由y=sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到
【方法总结】用“五点法”作图时，列表一般有下面两种方法：①先分别令ωx+φ取0，，π，，2π，再求出对应的x，这体现了整体换元的思想；②取ωx0+φ=0，得x0=-，再把x0作为五点中第一个点的横坐标，依次递加一个周期的，就可以得到其余四个点的横坐标.
用“五点法”作函数y=3sinx-的简图，并指出这个函数的振幅、周期、
频率和初相.
　函数y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0的性质
　　港口水深是港口重要特征之一，表明其自然条件和船舶可能利用的基本界限.如图，这是某港口一天内6时到18时的水深变化曲线，近似满足函数y=3sinx-+k.
问题1：由图如何求k的值
问题2：函数y=3sinx-+k的值域是多少
1.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)和y=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0)的性质
名称 y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0) y=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0)
定义域 R R
值域 [-A，A] [-A，A]
周期性 T= T=
对称性 对称中心，0 (k∈Z) 对称中心+，0 (k∈Z)
对称轴 x=+(k∈Z) x=(k∈Z)
奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时是 函数； 当φ=kπ+(k∈Z)时是 函数 当φ=kπ(k∈Z)时是偶函数； 当φ=kπ+(k∈Z)时是奇函数
单调性 通过整体代换可求出其单调区间 通过整体代换可求出其单调区间
2.研究函数y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0(y=Acos(ωx+φ)，A>0，ω>0)的性质的一般步骤：
第一步：确定周期T=.
第二步：在y=sin x(y=cos x)五个关键点(0，0)，，1，(π，0)，，-1，(2π，0)的基础上确定该函数的五个关键点.
第三步：用光滑曲线顺次连接五个关键点，即可画出函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0)在一个周期上的图象，再利用其周期性把图象延拓到R，就可以得到它在R上的图象.
第四步：借助图象讨论性质.
用“五点法”画函数f(x)=Acos(ωx+φ)+1ω>0，|φ|<在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表所示：
ωx+φ 0 π 2π
x
f(x) 4 1 -2 4
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)若将函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求当x∈[0，2π]时，函数y=g(x)的单调递增区间；
(3)若将函数y=f(x)图象上的所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得到y=k(x)的图象，若y=k(x)图象的一个对称中心为，1，求θ的最小值.
已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M，0对称，且在区间0，上是单调函数，求φ和ω的值.
　三角函数的综合应用
某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表所示：
ωx+φ 0 π 2π
x
Asin(ωx+φ) 0 2 0 0
(1)请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并求出函数f(x)的解析式；
(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，求g的值.
【方法总结】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由“五点法”作图求出φ.
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式；
(2)将y=f(x)图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y=g(x)的图象，求函数y=g(x)在R上的单调递增区间.
【随堂检测】
1.函数y=2sin2x++1的最大值是(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)其中ω>0，|φ|<的最小正周期是π，且f(0)=，则(　　).
A.ω=，φ= B.ω=，φ=
C.ω=2，φ= D.ω=2，φ=
3.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，则f=(　　).
A.1　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D.
4.已知函数f(x)=2sin2x-，x∈R.
(1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标；
(2)求函数f(x)在区间0，上的最大值和最小值.
参考答案
1.6.3 探究A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响
自主预习·悟新知
预学忆思
1.(0，0)，，2，(π，0)，，-2，(2π，0).
2.y=sin x的图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，即可得到y=2sin x的图象.
3.y=2sin x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，即可得到y=2sinx的图象.
4.将y=2sinx的图象向左平移2个单位长度，即可得到y=2sinx+1的图象.
自学检测
1.(1)×　(2)√　(3)×
2.y=sin x　【解析】根据变化规则可得，变化后的图象对应的函数为y=sin x.
3.y=sin 4x　【解析】函数y=sin x的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，即可得到y=sin 4x的图象.
4.【解析】(法一：先伸缩后平移)y=sin x的图象y=-2sin x的图象y=-2sin 2x的图象y=-2sin2x-的图象y=-2sin2x-+1的图象.
(法二：先平移后伸缩)y=sin x的图象y=-2sin x的图象y=-2sinx-的图象y=-2sin2x-的图象y=-2sin2x-+1的图象.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：不相同.
问题2：对于同一个x，y=2sin x的函数值是y=sin x的函数值的2倍，而y=sin x的函数值是y=sin x的函数值的.
问题3：y=6sinx.
新知运用
例1　C　【解析】由图象得，函数f(x)的最小正周期T=2×-=π，①正确；
∵ω==2，∴f(x)=Asin(2x+φ)，
又f=Asin2×+φ=Asin+φ=A，
∴sin+φ=1，结合0<φ<π，得φ=，
即f(x)=Asin2x+，又f(0)=Asin=，
∴A=2，即f(x)=2sin2x+，
∴函数f(x)的最大值为2，即振幅为2，②正确；
f=2sin2×+=2cos=1，③错误；
∵f(x)=2sin2x+，∴fx+=2sin2x++=2sin(2x+π)=-2sin 2x，为奇函数，④正确.
故选C.
巩固训练　B　【解析】根据图象可知A=1，T=4×(1+1)=8=，解得ω=，所以f(x)=sinx+φ.由+φ=+2kπ(k∈Z)且-<φ<，解得φ=，所以将函数f(x)=sinx+图象的横坐标变为原来的2倍，得到函数y=sinx+的图象，再向右平移1个单位长度，得到函数g(x)=sin(x-1)+=sin(x+1)的图象.
探究2　情境设置
问题1：有两种方法：①通过平移和伸缩变换作y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象；②通过“五点法”作图，画出y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象.
问题2：列表.
新知运用
例2　【解析】(1)列表：
2x+ 0 π 2π
x -
y=sin2x+ 0 0 - 0
描点、连线，图象如图所示.
(2)将函数y=sin x的图象向左平移个单位长度，得到函数y=sinx+的图象，再保持纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的，得到函数y=sin2x+的图象，再保持横坐标不变，把纵坐标缩短为原来的，得到函数y=sin2x+的图象.
巩固训练　【解析】(1)列表：
x
x- 0 π 2π
y 0 3 0 -3 0
(2)描点：在平面直角坐标系中描出点，0，，3，，0，，-3，，0.
(3)连线：将所得五点用光滑的曲线顺次连起来，如图所示.
(4)这样就得到了函数y=3sinx-在一个周期内的图象，再将这部分图象向左或向右平移4kπ(k∈Z)个单位长度，得到函数y=3sinx-(x∈R)的图象.
此函数的振幅为3，周期为4π，频率为，初相为-.
探究3　情境设置
问题1：由图象知该函数的最小值为2，故-3+k=2，所以k=5.
问题2：由问题1得函数y=3sinx-+5，因为-3≤3sinx-≤3，所以2≤3sinx-+5≤8，所以该函数的值域是[2，8].
新知生成
1.奇　偶
新知运用
例3　【解析】(1)由表格中的数据可得解得
∴函数f(x)的解析式为f(x)=3cos2x++1，数据补全如下表所示：
ωx+φ 0 π 2π
x -
f(x) 4 1 -2 1 4
(2)将函数f(x)=3cos2x++1的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得到函数g(x)=3cosx++1的图象，
由2kπ-π≤x+≤2kπ(k∈Z)，得2kπ-≤x≤2kπ-(k∈Z)，
∴函数y=g(x)在R上的单调递增区间为2kπ-，2kπ-(k∈Z).
当x∈[0，2π]时，函数y=g(x)的单调递增区间为，.
(3)由已知，得k(x)=f(x-θ)=3cos2(x-θ)++1=3cos2x-2θ++1，
∵函数y=k(x)图象的一个对称中心为，1，
∴k=3cos-2θ++1=-3cos 2θ+1=1，
即cos 2θ=0，
∴2θ=+kπ(k∈Z)，即θ=+(k∈Z)，
∵θ>0，∴当k=0时，θ取到最小值，最小值为.
巩固训练　【解析】由f(x)是偶函数，得f(-x)=f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称，
∴f(x)在x=0时取得最值，即sin φ=±1，
依题知0≤φ≤π，解得φ=.
由f(x)的图象关于点M对称可知，sinω+=0，
即ω+=kπ，k∈Z，解得ω=-，k∈Z.
又f(x)在0，上是单调函数，∴T≥π，即≥π，
∴ω≤2.
又ω>0，∴当k=1时，ω=；当k=2时，ω=2.
∴φ=，ω=2或ω=.
探究4
例4　【解析】(1)根据表中已知数据，可得
解得
又Asin=2，所以A=2，所以f(x)=2sin2x-.
数据补全如下表所示：
ωx+φ 0 π 2π
x
Asin(ωx+φ) 0 2 0 -2 0
(2)由(1)知f(x)=2sin2x-，
把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y=2sinx-的图象，
再把得到的图象向左平移个单位长度，得到y=2sinx+-=2sin x的图象，即g(x)=2sin x，所以g=2sin=2sin-=-1.
巩固训练　【解析】(1)由图象可知，A=2，
周期T=--=π，
∴=π，ω>0，则ω=2，
从而f(x)=2sin(2x+φ)，代入点，2的坐标，
得sin+φ=1，则+φ=+2kπ，k∈Z，
即φ=-+2kπ，k∈Z，
又|φ|<，则φ=-，
∴f(x)=2sin2x-.
(2)由(1)知f(x)=2sin2x-，
因此g(x)=2sin2x+-=2sin2x-，
令2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z，可得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，
∴函数的单调递增区间为kπ-，kπ+，k∈Z.
随堂检测·精评价
1.C　【解析】当2x+=2kπ+(k∈Z)，即x=kπ+(k∈Z)时，该函数的最大值为3.
2.D　【解析】因为函数f(x)的最小正周期是π，所以T==π，所以ω=2.
因为f(0)=2sin φ=，所以sin φ=，又因为|φ|<，所以φ=.
3.A　【解析】由题图可知f(0)=2sin φ=-，即sin φ=-，又|φ|<，所以φ=-，
又f(π)=2sinπω-=-=f(0)，所以f(x)的图象关于直线x=对称.
因为T>π，且ω>0，所以>π，解得0<ω<2，所以-<ω-<，
所以ω-=，解得ω=，所以f(x)=2sinx-，
所以f=2sin×-=2sin2π+=2sin =1.
4.【解析】(1)由2x-=kπ+(k∈Z)，得x=+(k∈Z)，所以函数f(x)的对称轴方程为x=+，k∈Z.由2x-=kπ(k∈Z)，得x=+(k∈Z)，所以函数f(x)的对称中心为+，0，k∈Z.
(2)因为0≤x≤，所以-≤2x-≤，所以当2x-=-，即x=0时，f(x)取得最小值，最小值为-1；当2x-=，即x=时，f(x)取得最大值，最大值为2.