1.7.1 正切函数的定义及其诱导公式 学案（含答案） 2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

1.7.1 正切函数的定义及其诱导公式
【学习目标】
1.借助三角函数定义及正弦函数、余弦函数的诱导公式推导出正切函数的诱导公式.(逻辑推理)
2.掌握正切函数的诱导公式.(数学抽象)
【自主预习】
　　前面我们学习过π±α，-α，±α，2π±α等的正弦、余弦的诱导公式，并总结出“奇变偶不变，符号看象限”的记忆口诀.利用正弦、余弦的诱导公式和正切tan α的定义，回答下列问题.
1.tan(2π+α)，tan(2π-α)与tan α有什么关系
2.tan(π+α)，tan(π-α)与tan α有什么关系
3.求的值.
1.tan-=(　　).
A. B. C.- D.-
2.函数f(x)=的定义域是(　　).
A.xx≠，k∈Z
B.xx≠+，k∈Z
C.xx≠+kπ，k∈Z
D.xx≠+kπ且x≠+kπ，k∈Z
3.已知tan(π+α)=2，则=　　　　.
4.化简：.
【合作探究】
　正切函数的定义
　　在初中我们学过正切，是在直角三角形中研究正切的，同时，在一个直角三角形中，我们也能得到一个角的正、余弦值，根据它们的比值关系，我们能得到tan A=.
问题1：若将角A扩展到任意角时，此公式是否成立
问题2：结合前面任意角的正、余弦计算方法，你能根据终边上的一个点，计算所对应角的正切函数值吗
问题3：若角α的终边上有一点(3，4)，则tan α等于多少
1.根据函数的定义，比值是x的函数，称为x的正切函数，记作y=tan x，其中定义域为x∈Rx≠kπ+，k∈Z.
2.若在角α的终边上任取一点Q(x0，y0)(x0≠0)，则tan α=.
已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(3，y)，且tan α=-.
(1)求sin α+cos α的值；
(2)求的值.
【方法总结】三角函数之间关系的应用
利用tan α=进行弦切互化，正用可以做到切化弦，逆用可以做到弦化切.
已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴非负半轴重合，其终边经过点P(-8，-6).
(1)求sin α，cos α，tan α的值；
(2)求的值.
　利用诱导公式求值
　　数学课上，老师在黑板上写了这样一个问题：已知tan-α=，求的值.
张瑜同学是这样解答的：∵-α=，
∴α=-，
∴==.
李琦同学是这样解答的：∵-α++α=，
∴==tan-α=.
谢凡评价说：张瑜的解题过程有点问题，要是换成，张瑜的解法可能无法再用了.
问题1：谢凡的评价是否正确 为什么
问题2：将改为后，的值是什么
问题3：tan-α+tan+α的值是多少
正切函数的诱导公式
角x 函数y=tan x
kπ+α(k∈Z) tan α
-α -tan α
π-α -tan α
+α -
-α
　　给值求值的策略：(1)借助于诱导公式可以将任意的角转化为0~2π内的角；(2)给定某一角的三角函数值，在求另外一个不同角的三角函数值时，可以用已知的角整体代替未知的角进行求解.
(1)求值：.
(2)若tan 15°=2-，求2tan 1 095°+tan 975°+tan(-195°)的值.
【方法总结】　　解答此类问题的基本策略，一方面是准确化简已知条件，另一方面是联想所求问题的处理方法，两方面紧密结合，找到解题思路.
若角θ的终边上有一点P(1，2)，求的值.
已知tan-α=，求tan+α的值.
　利用诱导公式化简
问题1：与正切函数有关的式子求值时应注意什么问题
问题2：利用正切函数的诱导公式解决给角求值的解题流程是怎样的
三角函数式化简的常用方法
(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为锐角的三角函数.
(2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正、余弦函数.
化简：.
【变式设问】已知tan(3π-α)=，求的值.
【方法总结】　　用诱导公式进行化简时的注意点：(1)化简后项数尽可能的少；(2)函数的种类尽可能的少；(3)分母不含三角函数的符号；(4)能求值的一定要求值；(5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等方法进行化简.
化简sinα+·cosα-·tan-α的结果是(　　).
A.1 B.sin2α
C.-cos2α D.-1
　利用正切的诱导公式证明三角恒等式
求证：=1.
【方法总结】　　对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法.熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法，体现了逻辑推理素养.
求证：
=tan α.
【随堂检测】
1.tan 330°=(　　).
A.1 B. C.- D.-1
2.已知角α的终边经过点P(2，-1)，则=(　　).
A.3 B. C.- D.-3
3.已知tan α=2，则=　　　　.
4.如图，在平面直角坐标系xOy中，钝角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与半径为3的圆相交于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为点B，OB=2.
(1)求tan α的值；
(2)求的值.
参考答案
1.7.1 正切函数的定义及其诱导公式
自主预习·悟新知
预学忆思
1.tan(2π+α)===tan α，tan(2π-α)===-tan α.
2.tan(π+α)===tan α，tan(π-α)===-tan α.
3.原式===.
自学检测
1.A　【解析】tan-=tan-π=tan=.故选A.
2.A　【解析】由题可得解得x≠(k∈Z)，
∴函数f(x)=的定义域为xx≠，k∈Z.
3.3　【解析】因为tan(π+α)=tan α=2，
所以===3.
4.【解析】原式==-=-1.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：成立.
问题2：能.
问题3：tan α==.
新知运用
例1　【解析】(1)因为tan α==-，所以y=-4，则r=5，
故sin α=-，cos α=，sin α+cos α=-.
(2)原式=====-10.
巩固训练　【解析】(1)∵角α终边经过点P(-8，-6)，∴|PO|=10，
∴sin α=-，cos α=-，tan α=.
(2)原式====-.
探究2　情境设置
问题1：正确，张瑜只是找到了满足条件的特殊角，对于是否有其他角，其他的结果，无从知晓，方法不得当.
问题2：∵-α++α=，
∴==tan-α=.
问题3：tan-α+tan+α=tan-α+tan2π--α=tan-α-tan-α=0.
新知运用
例2　【解析】(1)原式=
===2+.
(2)tan 1 095°=tan(1 080°+15°)=tan 15°=2-，
tan 975°=tan(720°+255°)=tan(180°+75°)=tan 75°
===2+，
tan(-195°)=-tan 195°=-tan 15°=-(2-).
∴原式=2×(2-)+2+-(2-)=4.
巩固训练1　【解析】因为角θ的终边上有一点P(1，2)，
所以tan θ=2，所以==tan2θ=.
巩固训练2　【解析】由+α=2π--α，得tan+α=tan2π--α=-tan-α=-.
探究3　情境设置
问题1：求含有正切函数关系式的某个函数的定义域时，要注意正切函数值存在的条件.求值域时，不要忽视这个函数的定义域.
问题2：
新知运用
例3　【解析】原式=
==-cos α.
变式设问　提示　因为tan(3π-α)=tan(-α)=-tan α=，
所以原式=
==-tan α=.
巩固训练　C　【解析】因为sinα+=cos α，cosα-=cosπ+-α=-sin α，tan-α==，所以原式=cos α·(-sin α)·=-cos2α.
探究4
例4　【解析】左边=
==1=右边，
所以等式成立.
巩固训练　【解析】左边=
=
=tan α=右边，
所以等式成立.
随堂检测·精评价
1.C　【解析】tan 330°=tan(360°-30°)=-tan 30°=-.
2.D　【解析】因为角α的终边经过点P(2，-1)，所以tan α=-，
所以===-3.
3.-　【解析】原式==-=-.
4.【解析】(1)依题意可知，在Rt△AOB中，OA=3，OB=2，则AB==，tan∠AOB==，
而由图可知，∠AOB+α=π，
故tan α=tan(π-∠AOB)=-tan∠AOB=-.
(2)因为tan α=-，sinα-=sinα-+2π=sinα+=cos α，sin(π+α)=-sin α，cos(α+5π)=cos(α+π)=-cos α，
所以原式==-2+tan α=-2-.