1.7.2 正切函数的图象与性质 学案（含答案）2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

1.7.2 正切函数的图象与性质
【学习目标】
1.掌握正切函数的周期性和奇偶性.(数学抽象)
2.掌握正切函数的性质.(数学运算)
【自主预习】
1.正切函数与正弦、余弦函数的关系是什么
2.正切函数的定义域是什么
3.正切函数在定义域上是单调函数吗
4.正切曲线是中心对称图形吗 若是，其对称中心是什么 其是轴对称图形吗
5.正切函数y=tan x的图象与直线x=kπ+，k∈Z有公共点吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R. (　　)
(2)正切函数在R上是单调递增的. (　　)
(3)正切曲线是中心对称图形，有无数个对称中心. (　　)
(4)正切函数的最小正周期为π. (　　)
2.函数y=tanx+的定义域为　　　　　　　.
3.函数y=tan x，x∈-，的最大值为　　　　.
4.函数y=tanx-的单调递增区间是　　　　.
【合作探究】
　正切函数的图象
　　下图为正切函数y=tan x，x∈-，-∪-，∪，的图象，根据图象回答下面的问题：
问题1：作正切函数y=tan x，x∈-，的图象的关键是什么
问题2：直线y=a与图象的两交点A1，A2之间的距离是多少
问题3：y=tan x，x∈-，的值域是什么
1.正切函数y=tan x的图象与性质
函数 y=tan x
图象
定义域
值域
周期 最小正周期为
奇偶性
2.(1)正切函数的图象是由被相互平行的直线x=kπ+，k∈Z隔开的无穷多支曲线组成的.
(2)正切函数y=tan x，x∈-，的简图可由“三点两线法”确定.
(1)函数y=|tan x|·cos x的部分图象是图中的(　　).
　　　A　　　 　　　　　　B
　　　C　　 　　　　　　　D
(2)作出函数y=tan x+|tan x|的图象.
【方法总结】　　形如y=f(|x|)的图象作法步骤：
①作出函数y=f(x)在y轴右侧部分的图象；
②函数y=f(|x|)为偶函数，故将y轴右侧的图象对称到y轴左侧，保留y轴右侧部分，即可得到函数y=f(|x|)的图象.
已知函数f(x)=.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)用定义判断函数f(x)的奇偶性；
(3)作出函数f(x)在[-π，π]上的图象.
　正切函数图象的应用
　　根据正切函数在一个周期内的图象，思考下面的问题.
问题1：根据图象如何解不等式tan x≥a
问题2：正切函数的图象以直线x=-和x=为边界线，说明了正切函数的什么性质
利用正切函数图象解题的两个注意点
(1)作出的正切函数的图象要尽可能地精确；
(2)解题时一般先利用一个周期内的图象，再转化到整个定义域内.
函数y=的定义域为　　　　，值域为　　　　.
【方法总结】　　求与正切函数有关的函数的定义域时，除了要满足求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y=tan x有意义，即x≠kπ+，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解.
求函数y=ln(tan x)的定义域.
　正切函数的性质及其应用
　　对于正切函数的图象，数学老师请同学们类比正弦函数和余弦函数的性质，描述正切函数的单调性、奇偶性、周期性，其结果如下.
王浩宇说：“函数y=tan x在定义域R内单调递增.”
李琦说：“函数y=tan x的图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.”
张瑜说：“y=Atan(2x+φ)(A>0，ω>0)的最小正周期是2π.”
问题：上面同学的说法哪些是错误的 请说明理由.
y=Atan(ωx+φ)(ω≠0)的性质
(1)单调性：只有一种单调区间，由-+kπ<ωx+φ<+kπ，k∈Z确定.
①当Aω>0时，所得的区间为单调递增区间；
②当Aω<0时，所得的区间为单调递减区间.
(2)周期性：T=.
(3)对称性：图象的对称中心为，0，k∈Z，不具有轴对称性.
(4)奇偶性：当φ=，k∈Z时为奇函数，否则不具有奇偶性.
(1)比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)：
①tan　　　　tan；
②tan　　　　tan-.
(2)求函数y=tanx+的单调递增区间.
【方法总结】　　(1)运用正切函数的单调性比较大小的方法
①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.
②运用单调性比较大小关系.
(2)求函数y=tan(ωx+φ)的单调区间的方法
y=tan(ωx+φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx+φ看成一个整体，解-+kπ<ωx+φ<+kπ，k∈Z即可.当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.
函数f(x)=tan-+的单调区间为　　　　.
已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，则f=　　　　.
比较tan与tan的大小.
【随堂检测】
1.函数y=2tan3x+的最小正周期是(　　).
A. B.
C. D.
2.函数f(x)=tanx+的单调递增区间为(　　).
A.kπ-，kπ+，k∈Z
B.(kπ，(k+1)π)，k∈Z
C.kπ-，kπ+，k∈Z
D.kπ-，kπ+，k∈Z
3.求函数y=tanx-的定义域、最小正周期及单调区间.
参考答案
1.7.2 正切函数的图象与性质
自主预习·悟新知
预学忆思
1.tan x=(cos x≠0).
2.xx≠kπ+，k∈Z.
3.不是.
4.正切曲线是中心对称图形，对称中心为，0(k∈Z)，不是轴对称图形.
5.没有.正切曲线是由被互相平行的直线x=kπ+(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的.
自学检测
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.　【解析】令x+≠kπ+(k∈Z)，解得x≠kπ+(k∈Z)，故函数的定义域为.
3.1　【解析】正切函数在-，上单调递增，故函数的最大值为tan=1.
4.-+kπ，+kπ，k∈Z　【解析】令kπ-合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：点-，-1，(0，0)，，1及两条渐近线x=-和x=在作图中起着关键的作用.
问题2：由图象结合正切函数的周期性可知，两交点之间的距离为π.
问题3：R.
新知生成
1.x∈Rx≠kπ+，k∈Z　R　π　奇函数
新知运用
例1　(1)C　【解析】(1)因为y=|tan x|·cos x=·cos x=
所以由正弦函数的图象与性质可得，函数y=|tan x|·cos x的部分图象是C.
(2)y=tan x+|tan x|=其图象如图所示.
巩固训练　【解析】(1)由cos x≠0，得x≠kπ+，k∈Z，
所以函数f(x)的定义域是.
(2)由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称，
因为f(-x)===-f(x)，
所以f(x)是奇函数.
(3)因为f(x)=
所以f(x)在[-π，π]上的图象如图所示.
探究2　情境设置
问题1：在同一坐标系内作出正切函数y=tan x，x∈-，和y=a的图象，如上图，记其交点为A，横坐标记为x1，则不等式tan x≥a的解集为xx1+kπ≤x<+kπ，k∈Z.
问题2：由图象可知，正切函数的图象向下、向上无限延伸，且无限接近直线x=-和x=，但永远不会相交，因此，y=tan x中，x≠+kπ，k∈Z.
新知运用
例2　xkπ+≤x【解析】由tan x≥知，kπ+≤x巩固训练　【解析】由题意得
即
故定义域为kπ，kπ+，k∈Z.
探究3　情境设置
问题：王浩宇的说法错误，因为<，但tan不小于tan.正切函数y=tan x在它的任一个连续区间kπ-，kπ+，k∈Z内单调递增；
李琦的说法错误，，0也是正切函数y=tan x的图象的一个对称中心；
张瑜的说法错误，因为y=Atan(2x+φ)的最小正周期是.
新知运用
例3　(1)①<　②<　【解析】(1)①tan=tan，且0<<<，又y=tan x在0，上单调递增，
所以tan②tan=tan，tan-=tan，因为0<<<，且y=tan x在0，上单调递增，
所以tan(2)由-+kπ所以函数y=tanx+的单调递增区间为-+2kπ，+2kπ(k∈Z).
巩固训练1　2kπ-，2kπ+，k∈Z　【解析】f(x)=tan-+=-tan-.由kπ-<-所以函数f(x)=tan-+的单调递减区间是2kπ-，2kπ+，k∈Z.
巩固训练2　　【解析】由图可知T=，故ω=2，函数图象的一个对称中心为-，0，因此tan-+φ=0，又|φ|<，所以φ=，所以f(0)=Atan=1，所以A=1，得f(x)=tan2x+，所以f=tan2×+=tan=.
巩固训练3　【解析】因为tan=tan，tan=tan，又0<<<，y=tan x在0，上单调递增，所以tan随堂检测·精评价
1.B　【解析】T==.
2.C　【解析】因为kπ-所以f(x)的单调递增区间为kπ-，kπ+，k∈Z.
3.【解析】由x-≠+kπ，k∈Z，
得x≠+2kπ，k∈Z，
所以函数y=tanx-的定义域为xx≠+2kπ，k∈Z.
因为T==2π，
所以函数y=tanx-的最小正周期为2π.
由-+kπ得-+2kπ所以函数y=tanx-的单调递增区间为-+2kπ，+2kπ，k∈Z，无单调递减区间.