1.8 三角函数的简单应用 学案（含答案）2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

1.8 三角函数的简单应用
【学习目标】
1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.(数学建模)
2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.(直观想象)
【自主预习】
1.函数y=Asin(ωx+φ)+B是不是周期函数
2.现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述
3.在建模过程中，怎样判断是用正弦函数模型还是用余弦函数模型
4.生活中有哪些事物的变化规律符合三角函数的特征
1.函数y=3sinx-的初相为　　　　.
2.某人的血压满足函数式f(t)=24sin 160πt+110，其中f(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数为　　　　.
3.电流I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的关系式是I=5sin100πt+，则当t=时，电流为　　　A.
4.如图，这是某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要　　　　s往返一次.
【合作探究】
　三角函数在物理中的应用
　　一个弹簧振子做简谐运动，在完成一次振动过程中，将时间t(单位：s)与位移y(单位：mm)之间对应数据绘成简图，如图所示.
若用函数y=Asin(ωt+φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)来刻画位移y随时间t变化的规律.
问题1：你能写出该函数的解析式吗
问题2：函数y=Asin(ωx+φ)中的参数A，ω，φ对其图象有怎样的影响
函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)中各参数的物理意义如下：
(1)A是简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；
(2)简谐运动的周期T=，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；
(3)简谐运动的频率由公式f==给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；
(4)ωx+φ称为相位；
(5)x=0时的相位φ称为初相.
一个简谐运动的图象如图所示，则下列判断正确的是(　　).
A.该质点的振动周期为0.7 s
B.该质点的振幅为-5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大
D.该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零
【方法总结】处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有弹簧振子、光波、摆钟、机械波等，其共同的特点是具有周期性.
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.
一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是s=6sin2πt+.
(1)画出它的图象.
(2)回答以下问题：
①当小球开始摆动(即t=0)时，离开平衡位置的距离是多少
②当小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少
③小球来回摆动一次需要多少时间
　三角函数模型在实际问题中的应用
　　如图，某地夏天8-14时用电量变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+bA>0，ω>0，0<φ<.
问题1：8-14时的最大用电量为多少万千瓦时 最小用电量为多少万千瓦时
问题2：这段曲线的函数解析式是什么
解三角函数应用问题的基本步骤
摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色(如图1).某摩天轮的最高点距离地面90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱(如图2).开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.已知摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.
(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足H(t)=Asin(ωt+φ)+B(其中A>0，ω>0，|φ|≤π)，求摩天轮转动一周的解析式H(t).
(2)若游客甲乘坐摩天轮转动一周，求经过多长时间，游客甲距离地面的高度恰好为30米
通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y=Asin(ωx+φ)+b的图象.某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃.
(1)求出该地区该时段的温度函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0，24))的表达式.
(2)2月27日上午9时该地区某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗
　数据拟合建立三角函数模型
　　已知某海滨浴场海浪的高度y(单位：米)是时间t(单位：时)(0≤t≤24)的函数，下表是某日各时的浪高数据：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
问题1：画出散点图，根据以上数据的变化，用哪个函数来近似描述y与t的函数关系比较合适
问题2：根据以上数据，怎样求解函数解析式
问题3：依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动
拟合函数模型的主要类型
拟合模型是通过对有关变量的观测数据进行观察、分析和选择恰当的数学表达式而得到的，它的实质是数据拟合的精度和数学表达式简化程度间的折中，拟合模型的主要类型如下：
(1)经验模型：主要探讨变量间的内在规律，允许出现一定的误差，模型将侧重于选择规律简单的数学表达式，在简单的数学表达式中选择拟合效果好的.(2)插值模型：此模型以拟合效果为主，要求精确地拟合观测数据，即在观测点之间插入适当的数值.
在某5A级景区内一家专门为游客提供住宿的客栈中，工作人员发现，有些月份为游客准备的食物剩余不少，浪费很严重.为了控制经营成本，减少浪费，计划适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数呈周期性变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400；③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增，在8月份达到最多.
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系.
(2)请问客栈在哪几个月份要准备400份以上的食物
一物体相对于某一固定位置的位移y(单位：cm)和时间t(单位：s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为　　　　.
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y -4.0 -2.8 0 2.8 4.0 2.8 0 -2.8 -4.0
　简谐运动中的三角函数模型
如图所示，弹簧挂着的小球做上下运动，时间t(单位：s)与小球相对平衡位置(即静止时的位置)的高度h(单位：cm)之间的函数关系式是h=2sin2t+，t∈[0，+∞).
(1)以t为横坐标，h为纵坐标，画出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图.
(2)小球开始振动的位置在哪里
(3)小球什么时候到达最高点、最低点的位置 最高点、最低点距平衡位置的距离分别是多少
【方法总结】注意简谐运动中自变量的取值范围为[0，+∞).
正确理解并识记简谐运动周期、频率、振幅的概念以及实际意义是解题的关键.
在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动.已知它们在时间t(单位：s)时离开平衡位置的位移s1(单位：cm)和s2(单位：cm)分别由下列两式确定：s1=5sin2t+，s2=5cos2t-.当时间t=时，s1与s2的大小关系是(　　).
A.s1>s2 B.s1C.s1=s2 D.不能确定
【随堂检测】
1.一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图如图所示，经过周期后，乙的位置将移至(　　).
A.x轴上 B.最低点 C.最高点 D.不确定
2.如图，某港口一天6—18 h的水深变化曲线近似满足函数y=3sinx+φ+k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　).
A.5 B.6 C.8 D.10
3.一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式为s=3cost+，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l=　　　　cm.
4.已知某地一天4~16时的温度变化曲线近似满足函数y=10sinx-+20，x∈[4，16].
(1)求该地这一段时间内的最大温差；
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间
参考答案
1.8 三角函数的简单应用
自主预习·悟新知
预学忆思
1.是周期函数.
2.三角函数模型.
3.根据变量和对应值的变化特征来判断.
4.弹簧的伸缩运动，摩天轮的旋转，钟摆运动等.
自学检测
1.-
2.80　【解析】由题意可得周期为T==，故频率f==80，即此人每分钟心跳的次数为80.
3.　【解析】将t=代入关系式，得I=5sin+=5cos=.
4.0.8　【解析】观察题图可知，此简谐运动的周期T=0.8，所以这个简谐运动需要0.8 s往返一次.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：由图可知ω==，A=20.
当t=0时，y=20sin φ=-20，又|φ|<π，所以φ=-，
故y=20sint-.
问题2：A影响函数的最值，ω影响函数图象的周期，φ决定函数图象的具体位置.
新知运用
例1　D　【解析】由图象及简谐运动的有关知识知T=0.8 s，A=5 cm，当t=0.1 s及t=0.5 s时，v=0，故排除选项A，B，C.
巩固训练　【解析】(1)周期T==1(s).列表：
t 0 1
2πt+ π 2π
6sin2πt+ 3 6 0 -6 0 3
描点画图：
(2)①当小球开始摆动(t=0)时，离开平衡位置的距离为3 cm.
②当小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是6 cm.
③小球来回摆动一次需要1 s.
探究2　情境设置
问题1：由图象得最大用电量为50万千瓦时，最小用电量为30万千瓦时.
问题2：观察图象可知，从8-14时的图象是y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象，
∴A=×(50-30)=10，b=×(50+30)=40，T=2×(14-8)=12，
∴ω==，
∴y=10sinx+φ+40.
将x=8，y=30代入上式，又0<φ<，解得φ=，
∴所求解析式为y=10sinx++40，x∈[8，14].
新知运用
例2　【解析】(1)∵H(t)=Asin(ωt+φ)+B(其中A>0，ω>0，|φ|≤π)，
∴解得
又T==30，解得ω=，
∴H(t)=40sint+φ+50.
∵H(0)=10，∴sin φ=-1，
又∵|φ|≤π，∴φ=-，
∴H(t)=40sint-+50=-40cos t+50.
故摩天轮转动一周的解析式H(t)=-40cos t+50，t∈[0，30].
(2)令H(t)=30，则-cos t=-，即cos t=，
∵t∈[0，30]，∴t∈[0，2π]，
∴t=或t=，解得t=5或t=25.
故游客甲坐上摩天轮5分钟时和25分钟时，距离地面的高度恰好为30米.
巩固训练　【解析】(1)由题意知解得易知=14-2，所以T=24，所以ω=，易知8sin×2+φ+6=-2，即sin×2+φ=-1，故×2+φ=-+2kπ，k∈Z，又|φ|<π，得φ=-，所以y=8sinx-+6(x∈[0，24)).
(2)当x=9时，y=8sin×9-+6=8sin+6<8sin+6=10，
所以届时学校后勤应该开空调.
探究3　情境设置
问题1：以时间为横坐标，高度为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示.根据散点图，可考虑用函数y=Acos ωt+b刻画y与t的函数关系.
问题2：由表中数据，知最小正周期T=12，∴ω===.
由t=0，y=1.5，得A+b=1.5，
由t=3，y=1.0，得b=1，
∴A=0.5，b=1，∴y=cost+1.
问题3：由题知，当y>1时才可对冲浪者开放，
∴cost+1>1，∴cost>0，∴2kπ-∵0≤t≤24，∴k可取0，1，2，得0≤t<3或9∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时可供冲浪者运动，即上午9：00至15：00对冲浪者开放.
新知运用
例3　【解析】(1)设该函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0，|φ|<π)，其中x=1，2，…，12.
根据①可知这个函数的周期是12；
由②可知f(2)最小，f(8)最大，且f(8)-f(2)=400，故该函数的振幅为200；
由③可知f(x)在[2，8]上单调递增，且f(2)=100，f(8)=500.
根据上述分析可得=12，故ω=，
A=200，B=500-200=300.
当x=2时，f(x)最小，当x=8时，f(x)最大，
故sin2×+φ=-1，且sin8×+φ=1.
又|φ|<π，故φ=-.
所以入住客栈的游客人数与月份之间的函数关系式为f(x)=200sinx-+300(x=1，2，…，12).
(2)由条件，可知200sinx-+300≥400，化简得sinx-≥，
即2kπ+≤x-≤2kπ+，k∈Z，
解得12k+6≤x≤12k+10，k∈Z.
因为x∈N*，且1≤x≤12，所以x=6，7，8，9，10.
即客栈在6，7，8，9，10月份要准备400份以上的食物.
巩固训练　y=-4cost　【解析】设y=Asin(ωt+φ)ω>0，|φ|≤，则从表中可以得到A=4，T=0.8，ω===.
又由4sin φ=-4.0，可得sin φ=-1，可取φ=-，故y=4sint-，即y=-4cost.
探究4
例4　【解析】(1)画出函数h=2sin2t+(t≥0)的简图(长度为一个周期).
①列表：
2t+ 0 π 2π
t -
2sin2t+ 0 2 0 -2 0
②描点.
③连线，用平滑曲线依次连接各点，又t≥0，所以向右平移区间-，0上的图象，使其落在区间，π上，即得函数h=2sin2t+的简图，如图所示.
(2)当t=0时，h=2sin2t+=，即小球开始振动时在距平衡位置 cm的上方位置.
(3)当t=+kπ(k∈N)时，h=2；t=+kπ(k∈N)时，h=-2.即当t=+kπ(k∈N)时，小球到达最高点位置，当t=+kπ(k∈N)时，小球到达最低点位置.最高点、最低点各自到平衡位置的距离均为2 cm.
巩固训练　C　【解析】当t=时，s1=-5，s2=-5，∴s1=s2.故选C.
随堂检测·精评价
1.C　【解析】相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期，故乙移至最高点.
2.C　【解析】根据图象得函数的最小值为2，所以-3+k=2，得k=5，所以水深的最大值为3+k=8.
3.　【解析】由已知得=1，所以=2π，即=4π2，解得l=.
4.【解析】(1)当x=14时函数取得最大值，此时最高温度为30 ℃；当x=6时函数取得最小值，此时最低温度为10 ℃.所以最大温差为30 ℃-10 ℃=20 ℃.
(2)令10sinx-+20=15，得sinx-=-，而x∈[4，16]，所以x=.
令10sinx-+20=25，得sinx-=，
而x∈[4，16]，所以x=.
故该细菌能存活的最长时间为-=小时.