2.1 从位移、速度、力到向量 学案（含答案）2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

2.1 从位移、速度、力到向量
【学习目标】
1.了解位移、速度和力等向量的实际背景，初步认识现实生活中向量与数量的区别.(数学抽象)
2.理解向量的有关概念及向量的几何表示.(数学抽象)
3.理解共线向量、相等向量、向量夹角的概念.(直观想象)
【自主预习】
1.在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别
2.对既有大小又有方向的量，如何形象、直观地表示出来
3.“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗
4.向量的模可以为0吗 可以为1吗 可以为负数吗
5.(1)平行向量是否一定方向相同 (2)不相等的向量是否一定不平行 (3)与任意向量都平行的向量是什么向量 (4)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果||>||，那么>. (　　)
(2)若a，b都是单位向量，则a=b. (　　)
(3)力、速度和质量都是向量. (　　)
(4)零向量的大小为0，没有方向. (　　)
2.下列说法中，正确的有(　　)个.
①零向量没有方向；
②向量的模一定是正数；
③与非零向量a共线的单位向量是唯一的.
A.0 B.1 C.2 D.3
3.设O为△ABC外接圆的圆心，则，，是(　　).
A.相等向量
B.平行向量
C.模相等的向量
D.起点相同的向量
4.已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m=　　　　.
【合作探究】
　向量的概念
问题1：请观察这三个物理中的量，它们有什么区别
问题2：在数学中，将以上两类物理量进行抽象得到数量和向量，请你试着给出这两个量的定义.
问题3：说一说向量与数量的区别与联系.
向量与数量
(1)向量：在数学中，我们把既有 又有 的量叫作向量.
(2)数量：把只有 没有 的量称为数量.如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等都是数量.
有下列说法：
①位移和速度都是向量；
②实数可以比较大小，向量也可以比较大小；
③因为温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量；
④向量就是有向线段.
其中，正确说法的个数是(　　).
A.1 B.2 C.3 D.4
给出下列物理量：①密度；②时间；③弹力；④动摩擦因数；⑤功；⑥加速度.下列说法正确的是(　　).
A.①②③是数量，④⑤⑥是向量
B.②④⑥是数量，①③⑤是向量
C.①④是数量，②③⑤⑥是向量
D.①②④⑤是数量，③⑥是向量
　向量的几何表示
问题1：如何表示向量呢 你是怎么想到的
问题2：线段AB与线段BA是同一条线段，向量与向量是同一个向量吗
问题3：说一说向量和有向线段的关系是什么
问题4：我们知道向量是一个二元概念，它的大小如何表示呢
1.具有 的线段叫作有向线段.通常在有向线段的终点画上箭头表示它的方向.它包含三个要素： 、 、 .
2.向量的大小又称为向量的模，记作 .长度为0的向量叫作零向量，记作0.模等于 个单位长度的向量叫作单位向量.向量也可以用黑斜体小写字母a，b，c，…或，，，…(书写)来表示.
一辆汽车从点A出发向西行驶了100千米到达点B，然后改变方向，向西偏北50°方向行驶了200千米到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D.请作出向量，，.
【方法总结】准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.
已知飞机从A地向北偏东30°方向飞行2 000 km到达B地，再从B地向南偏东30°方向飞行2 000 km到达C地，再从C地向西南方向飞行1 000 km到达D地.
(1)作出向量，，，.
(2)D地在A地的什么方向 D地距A地多远
　相等向量与共线向量
小明沿着篮球场的边缘，从A点走到B点，又从B点走到A点.
问题1：上述问题中，向量和向量相等吗 它们共线吗
问题2：向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗
问题3：若a∥b，b∥c，则一定有a∥c吗
1.相等向量：长度 且方向 的向量叫作相等向量.
向量a与b相等，记作 .
2.共线向量：方向 的两个非零向量称为共线向量或平行向量.
向量a，b平行，记作a∥b.
3.若两个向量的长度相等、方向相反，则称它们互为相反向量.向量a的相反向量记为 .零向量的相反向量仍是零向量.
4.规定零向量与任一向量共线，即对于任意的向量a，都有0∥a.
5.两向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作=a，=b，则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫作向量a与b的夹角.
(2)特例：①当θ=0时，向量a，b ；
②当θ=π时，向量a，b ；
③当θ=时，向量a，b ，记作a⊥b.
规定零向量与任一向量垂直，即对于任意的向量a，都有0⊥a.
如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.
(1)写出与共线的向量，并指出哪些向量是的相反向量；
(2)写出模与的模相等的向量；
(3)写出与相等的向量.
【方法总结】相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线.
(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.
如图所示，四边形ABCD与ABDE是平行四边形.
(1)找出与向量共线的向量；
(2)找出与向量相等的向量；
(3)若∠E=45°，求向量和的夹角.
　向量与数量有关概念的辨识
下列说法正确的是(　　).
A.若|a|>|b|，则a>b
B.若|a|=|b|，则a=b
C.若a=b，则a与b共线
D.若a≠b，则a一定不与b共线
【方法总结】向量与数量的区别在于向量有方向而数量没有方向；向量与向量模的区别在于向量的模是指向量的长度，是数量，可以比较大小，但向量不能比较大小.平行向量即共线向量，但共线的向量不一定就在同一条直线上，也未必是相等的向量.
有下面几个结论：
①若a=b，则|a|=|b|；
②若|a|=0，则a=0；
③若|a|=|b|，则a=b；
④若向量a，b满足则a=b.
其中正确结论的个数是(　　).
A.0 B.1
C.2 D.3
【随堂检测】
1.下列说法正确的是(　　).
A.零向量没有大小，没有方向
B.零向量是唯一没有方向的向量
C.零向量的长度为0
D.任意两个单位向量方向相同
2.(多选题)下列说法错误的有(　　).
A.共线的两个单位向量相等
B.相等向量的起点相同
C.若∥，则一定有直线AB∥CD
D.若向量，共线，则点A，B，C，D可能不在同一直线上
3.设O是正方形ABCD的中心，则向量，，，是(　　).
A.相等向量 B.平行向量
C.有相同起点的向量 D.模相等的向量
4.如图所示，小正方形的边长为1，则||=　　　　，||=　　　　，||=　　　　.
参考答案
§1　从位移、速度、力到向量
自主预习·悟新知
预学忆思
1.面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向.
2.利用有向线段来表示.
3.错误.理由：①向量只有长度和方向两个要素，与起点无关，只要长度和方向相同就是相同的向量；②有向线段有起点、长度和方向三个要素，起点不同，尽管长度和方向相同，也是不同的有向线段.
4.向量的模可以为0，也可以为1，但不可以为负数.
5.(1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共线)向量.
自学检测
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.A　【解析】①错误，零向量有方向，它的方向是任意的；②错误，|0|=0；③错误，与非零向量a共线的单位向量有两个，一个与a同向，一个与a反向.故选A.
3.C　【解析】根据圆的性质可知，，是模相等的向量.故选C.
4.0　【解析】因为A，B，C三点不共线，所以与不共线，又因为m∥且m∥，所以m=0.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：质量是标量，只有大小没有方向；重力、力是矢量，既有大小又有方向.
问题2：数量：只有大小没有方向的量叫作数量.
向量：既有大小又有方向的量叫作向量.
问题3：向量的两个要素：大小、方向.数量的一个要素：大小.
向量的大小是数量.
新知生成
(1)大小　方向　(2)大小　方向
新知运用
例1　A　【解析】对于①，因为位移和速度都是既有大小，又有方向的量，所以它们是向量，故①正确；对于②，数量可以比较大小，但向量是矢量，不能比较大小，故②错误；对于③，温度是数量，没有方向，故③错误；对于④，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，故④错误.
巩固训练　D　【解析】由物理知识可知，密度、时间、动摩擦因数、功只有大小，没有方向，因此是数量.而弹力、加速度既有大小又有方向，因此是向量.
探究2　情境设置
问题1：向量可以用一条带着箭头的线段表示，是从物理中位移的表示抽象出来的.
问题2：不是同一个向量，因为起点不同，方向不同.
问题3：它们都是既有大小又有方向的量，有向线段不等同向量.有向线段的基本要素是起点、方向和长度；向量的基本要素是大小和方向.我们用有向线段表示向量，用有向线段的方向表示向量的方向，用有向线段的长度表示向量的大小，向量与起点的具体位置无关.
问题4：可以用有向线段的长度表示.
新知生成
1.方向和长度　起点　方向　长度
2.||　1
新知运用
例2　【解析】作出向量如图所示.
巩固训练　【解析】(1)向量，，，如图所示.
(2)由图知，D地在A地的东南方向，距A地1 000 km.
探究3　情境设置
问题1：因为向量和向量方向不同，所以二者不相等.因为表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线.
问题2：不相同，由相等向量的定义可知，向量可以任意移动.因为任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫作共线向量.因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合.
问题3：不一定.因为当b=0时，a，c可以是任意向量.
新知生成
1.相等　相同　a=b
2.相同或相反
3.-a
5.(2)①同向　②反向　③垂直
新知运用
例3　【解析】(1)因为E，F分别是AC，AB的中点，
所以EF∥BC，EF=BC.
又因为D是BC的中点，
所以与共线的向量有，，，，，，，其中，，是的相反向量.
(2)模与的模相等的向量有，，，，.
(3)与相等的向量有，.
巩固训练　【解析】(1)依据图形可知，，与方向相同，，，，与方向相反，所以与向量共线的向量为，，，，，，.
(2)由四边形ABCD与ABDE是平行四边形，知，与长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为和.
(3)由已知可得AB∥EC，所以∠E与∠EAB互补，而和的夹角与∠EAB也互补，故向量和的夹角为45°.
探究4
例4　C　【解析】A中，向量不能比较大小，A错误；B中，a与b的方向不确定，不能得出a=b，B错误；D中，a≠b，a可与b共线，D错误.故选C.
巩固训练　B　【解析】①正确；②错误，若|a|=0，则a=0；③错误，a与b的方向不一定相同；④错误，a与b的方向有可能相反.
随堂检测·精评价
1.C　【解析】零向量的长度为0，方向是任意的，故A，B错误，C正确.任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故D错误.
2.ABC　【解析】A错误，共线的两个单位向量的方向可能相反；B错误，相等向量的起点和终点都可能不相同；C错误，直线AB与CD可能重合；D正确，AB与CD可能平行，则A，B，C，D四点不共线.
3.D　【解析】
如图，，，，既不全是相等向量，也不全是平行向量，起点也不全相同，故A，B，C错误；
而||=||=||=||，故D正确.
故选D.
4.3　　2　【解析】由题意可知，||==3，
||==，
||==2.