2.2.1 向量的加法 学案（含答案） 2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

2.2.1 向量的加法
【学习目标】
1.理解并掌握向量加法的概念.(数学抽象)
2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.(数学运算)
3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性.(直观想象)
【自主预习】
1.使用向量加法的三角形法则具体做法是什么
2.(a+b)+(c+d)=(a+d)+(b+c)成立吗
3.当向量a与b共线时，a+b=b+a仍然成立吗
4.|a+b|与|a|和|b|之间的大小关系如何
5.向量加法的平行四边形法则和三角形法则有何区别与联系
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)a+0=a. (　　)
(2)|a+b|=|a|+|b|. (　　)
(3)a+b=b+a. (　　)
(4)=++. (　　)
2.化简：++=(　　).
A. B.
C. D.
3.在四边形ABCD中，=+，则(　　).
A.四边形ABCD一定是矩形
B.四边形ABCD一定是菱形
C.四边形ABCD一定是正方形
D.四边形ABCD一定是平行四边形
4.已知向量a表示“向东航行3 km”，b表示“向南航行3 km”，则a+b表示　　　　.
【合作探究】
　向量的加法及几何意义
如图，某质点从点A经过点B到点C.
问题1：上述这个质点的位移可以怎么表示
问题2：两个向量相加就是两个向量的模相加吗
1.向量加法的平行四边形法则
已知两个不共线的向量a，b，如图，在平面内任取一点A，作有向线段=a，=b，以有向线段和为邻边作 ABCD，则有向线段表示的向量即为向量a与b的和，记作a+b.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的 法则.
秘诀：起点相同，过起点的对角线为和.
2.向量加法的三角形法则
已知非零向量a和b，如图，在平面内任取一点A，作有向线段=a，以有向线段的终点为起点，作有向线段=b，则有向线段表示的向量即为向量a与b的和，记作a+b，即a+b=+=.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的三角形法则.
秘诀：首尾相连首尾连.
3.向量求和的多边形法则
(1)已知n个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和，这称为向量求和的多边形法则，即+++…++=.
(2)首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一个封闭图形，则它们的和为0.
4.对于零向量与任一向量a，规定：0+a=a+0=a.
特别提醒：(1)利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则时，要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量.
(2)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的.
(3)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.
(1)如图①，利用向量加法的三角形法则作出a+b；
(2)如图②，利用向量加法的平行四边形法则作出a+b.
【方法总结】应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题
(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量；
(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合；
(3)求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单.
如图所示，已知向量a，b，c不共线，作向量a+b+c.
　向量模的三角形法则
如图所示.
问题1：求作向量a+b.
问题2：根据向量加法的三角形法则以及“三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，结合问题1，你能发现|a+b|，|a|，|b|之间的关系吗
一般地，我们有|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当a，b方向相同时，等号成立.
若||=8，||=5，则||的取值范围是(　　).
A.[3，8] B.(3，8) C.[3，13] D.(3，13)
【方法总结】向量|a+b|，|a|，|b|之间的关系
当a和b反向或不共线时，|a+b|<|a|+|b|；当a和b同向时，|a+b|=|a|+|b|.所以|a+b|≤|a|+|b|.
若|a|=|b|=1，则|a+b|的最大值为　　　　.
　向量加法的运算律
实数的加法满足交换律，向量的加法是否也满足呢
问题：根据图中的平行四边形ABCD，验证向量加法是否满足交换律.(注：=a，=b)
向量加法的运算律
(1)交换律：a+b=b+a.
(2)结合律：a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c).
注意：由于向量的加法满足交换律与结合律，因此，多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与组合来进行.例如，(a+b)+(c+d)=(b+d)+(a+c)=(a+d)+(b+c).
化简：
(1)+；
(2)++；
(3)++++.
【方法总结】多个向量求和的原则：利用代数方法，通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.
如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
(1)++；
(2)+++.
　向量加法的应用
一架飞机从A地向北偏东35°方向飞行800 km到达B地放下物资，然后又从B地向南偏东55°方向飞行800 km到达C地执行新任务，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.
【方法总结】向量加法应用的关键及技巧
(1)三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量.
(2)应用技巧：①准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；②将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解.
如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW=150°，∠BCW=120°，求A和B处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计)
【随堂检测】
1.在正六边形ABCDEF中，++=(　　).
A. B. C. D.0
2.(多选题)已知a，b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则(　　).
A.a∥b，且a与b的方向相同
B.a，b是共线向量
C.a=-b
D.a，b无论什么关系均可
3.(多选题)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式运算结果是的为(　　).
A.++
B.++
C.++
D.++
4.某小船发动机突然发生故障停止转动，失去动力的小船在水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速大小是30 km/h，水的流向是正东方向，流速大小是30 km/h.若不考虑其他因素，小船在水中漂行的速度的方向是北偏东　　　　，大小是　　　　km/h.
参考答案
§2　从位移的合成到向量的加减法
课时1　向量的加法
自主预习·悟新知
预学忆思
1.先把两个向量首尾顺次相接，然后连接第一个向量的始点和后一个向量的终点，并指向后一个向量的终点，就得到两个向量的和向量.
2.成立.
3.成立.
4.当a与b同向共线时，a+b与a，b同向，且|a+b|=|a|+|b|.当a与b反向共线时，若|a|>|b|，则a+b与a的方向相同，且|a+b|=|a|-|b|；若|a|<|b|，则a+b与b的方向相同，且|a+b|=|b|-|a|.当a与b不共线时，|a+b|<|a|+|b|.
5.向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别：①三角形法则中强调“首尾相连”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.联系：当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的.
自学检测
1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2.C　【解析】根据平面向量的加法运算，得++=(+)+=+=.
3.D　【解析】由=+知，=，所以A，B，C，D四点构成的四边形一定是平行四边形.
4.向东南航行3 km　【解析】由向量a表示“向东航行3 km”，向量b表示“向南航行3 km”，得a+b表示“向东南航行3 km.”
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：从运算的角度看，可以认为是与的和，即=+.
问题2：不是，向量的相加满足三角形法则，而模相加是数量的加法.
新知生成
1.平行四边形
新知运用
例1　【解析】(1)如图③，设=a，因为a与b有公共点A，所以过点A作=b，连接，即得a+b.
(2)如图④，设=a，过点O作=b，则以OA，OB为邻边作 OACB，连接OC，则=+=a+b.
巩固训练　【解析】(法一：三角形法则)如图①，在平面内作=a，=b，则=a+b，再作=c，则=a+b+c.
(法二：平行四边形法则)如图②，在平面内作=a，=b，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，则=a+b，再作=c，以OD，OC为邻边作平行四边形ODEC，则=a+b+c.
探究2　情境设置
问题1：首先作向量=a，然后作向量=b，则向量=a+b.如图所示.
问题2：||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.
新知运用
例2　C　【解析】如图，当点A，B，C不共线时，|，||，||为三角形的三边，由三边关系可得8-5<||<8+5，即3<||<13.
当点A，B，C共线且与同向时，||=8-5=3；
当，反向时，||=8+5=13.
故选C.
巩固训练　2　【解析】由|a+b|≤|a|+|b|知，|a+b|的最大值为2.
探究3　情境设置
问题：∵=+，
∴=a+b.
∵=+，∴=b+a，∴a+b=b+a.
故向量加法满足交换律.
新知运用
例3　【解析】(1)+=+=.
(2)++=++
=+=0.
(3)++++
=++++
=+++
=++
=+=0.
巩固训练　【解析】(1)++=++=++=+=.
(2)+++=+++=++=+=0.
探究4
例4　【解析】如图，设，分别表示飞机从A地向北偏东35°方向飞行800 km，从B地向南偏东55°方向飞行800 km，则飞机飞行的路程指的是||+||，两次飞行的位移的和指的是+=.
依题意，有||+||=800+800=1 600(km).
因为α=35°，β=55°，所以∠ABC=35°+55°=90°，
所以||==
=800(km)，
其中∠BAC=45°，
所以的方向为北偏东35°+45°=80°.
从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°.
巩固训练　【解析】如图所示，设，分别表示A，B处所受的力，10 N的重力用表示，则+=.
由题意可得∠ECG=180°-150°=30°，∠FCG=180°-120°=60°.
∴||=||cos 30°=10×=5，
||=||cos 60°=10×=5.
∴A处所受的力为5 N，B处所受的力为5 N.
随堂检测·精评价
1.D　【解析】如
图，连接AD，BE，设AD与BE交于点O，则=，=，
所以++=++=+=0.
故选D.
2.AB　【解析】当两个非零向量a与b不共线时，a+b的方向与a，b的方向都不相同，则|a+b|<|a|+|b|；当向量a与b同向时，a+b的方向与a，b的方向都相同，则|a+b|=|a|+|b|；当向量a与b反向且|a|<|b|时，a+b的方向与b的方向相同(与a的方向相反)，则|a+b|=|b|-|a|.故选AB.
3.ABC　【解析】选项A中，++=+=；
选项B中，++=+(+)=+=；
选项C中，++=+=；
选项D中，++=+(+)=+≠.
故选ABC.
4.60°　30　【解析】如图，风速大小是30 km/h，即||=30，
水的流速大小是30 km/h，即||=30，则小船速度的大小为||.
由题意可知，四边形OACB为菱形，且∠AOB=60°，
所以∠BOC=30°，
所以小船在水中漂行的速度的方向是北偏东60°，大小为30 km/h.