2.2.2 向量的减法 学案（含答案）2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

2.2.2 向量的减法
【学习目标】
1.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量减法的意义.(数学抽象)
2.掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算.(数学运算)
3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算.(逻辑推理)
【自主预习】
1.实数a的相反数为-a，向量a与-a的关系应叫作什么
2.向量的减法可否转化为向量的加法
3.向量减法的三角形法则是什么
4.若a，b是不共线向量，|a+b|与|a-b|的几何意义分别是什么
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相反向量就是方向相反的向量. (　　)
(2)向量与是相反向量. (　　)
(3)a-b=b-a. (　　)
(4)两个相等向量之差等于0. (　　)
2.化简-++的结果是(　　).
A. B. C. D.
3.(多选题)下列各向量运算的结果与相等的有(　　).
A.+ B.- C.- D.-
4.如图，已知向量a和向量b，用三角形法则作出a-b+a.
【合作探究】
　向量的减法
如图所示，已知向量a，b.
问题1：根据向量的加法，如何求作a-b
问题2：不借助向量的加法法则，你能直接作出a-b吗
问题3：在什么条件下，|a-b|=|a|+|b|
1.(1)定义：求两个向量差的运算叫作向量的减法.
(2)向量的减法可以转化为向量的加法进行：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，即a-b=a+(-b).
2.几何意义：如图所示，已知向量a，b，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a-b，即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这就是向量减法的几何意义.
一、向量减法的作图
如图所示，已知向量a，b，c，求作向量a+b-c.
【方法总结】求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a-b，可以先作-b，然后作a+(-b)即可.
(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.
二、向量减法的运算
(1)如图所示，
①用a，b表示；
②用b，c表示.
(2)化简：(-)-(-).
【方法总结】向量减法运算的常用方法
如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且=，则化简+--的结果为(　　).
A.0
B.
C.
D.
化简：(-)+(-)=　　　　.
如图所示，已知向量a，b，c，d，求作向量a-b，c-d.
　向量加减法的综合运用
已知O为四边形ABCD所在平面外的一点，且向量，，，满足+=+，则四边形ABCD的形状为　　　　.
【方法总结】用向量法判断四边形形状的方法
(1)利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可.
(2)根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键.
在四边形ABCD中，=，若|-|=|-|，则四边形ABCD是(　　).
A.菱形 B.矩形
C.正方形 D.不确定
【随堂检测】
1.在平行四边形ABCD中，-=(　　).
A. B.
C. D.
2.在边长为1的正△ABC中，|-|的值为(　　).
A.1 B.2
C. D.
3.已知在四边形ABCD中，-=-，则四边形ABCD一定是(　　).
A.平行四边形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
4.化简下列各式：
(1)-+-；
(2)(-)+(-).
参考答案
课时2　向量的减法
自主预习·悟新知
预学忆思
1.相反向量.
2.可以.向量的减法可以转化为向量的加法，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.
3.如
果把两个向量a，b的起点放在一起，那么这两个向量的差a-b是以向量b的终点为起点，向量a的终点为终点的向量.
这种求差向量的方法叫向量减法的三角形法则，简记为“共起点，连终点，指被减”.
4.如
图所示，设=a，=b.根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则，有=a+b，=a-b.因为四边形OACB是平行四边形，所以|a+b|，|a-b|分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长.
自学检测
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.B　【解析】原式=(+)+(+)=+0=.
3.AD　【解析】由题意知，AD正确.
4.【解析】如图所示，作向量=a，=b，则向量=a-b，
作向量=a，则=a-b+a.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：先作出-b，再按三角形法则或平行四边形法则作出a+(-b).
问题2：
能.如图，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a-b，即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
问题3：当a，b至少有一者为0或a，b均为非零向量且反向时，结论成立.
新知运用
例1　【解析】(法一：几何意义法)如图①所示，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a+b，再作=c，则=a+b-c.
(法二：定义法)如图②所示，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a+b，再作=-c，连接OC，则=a+b-c.
例2　【解析】(1)由题图可知=a，=b，=c.
①=-=--=-a-b.
②=-=-(+)=-b-c.
(2)(-)-(-)=(+)-(+)=-=0.
巩固训练1　A　【解析】+--=(-)+(-)=+=-=0.
巩固训练2　　【解析】原式=++-=+-=.
巩固训练3　【解析】如
图所示，在平面内任取一点O，作=a，=b，=c，=d，
则a-b=，c-d=.
探究2
例3　平行四边形　【解析】∵+=+，
∴-=-，∴=，
∴||=||，且DA∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形.
巩固训练　B　【解析】∵=，∴四边形ABCD为平行四边形.
∵|-|=|-|，∴||=||，
∴四边形ABCD为矩形.故选B.
随堂检测·精评价
1.A　【解析】-==.
2.D　【解析】
如图，作菱形ABCD，
则|-|=|-|=||=.
3.A　【解析】由-=-，可得=，
所以四边形ABCD一定是平行四边形.
4.【解析】(1)-+-=+-=-=.
(2)(-)+(-)=+++=+(++)=+0=.