2.3.1 向量的数乘运算 学案（含答案） 2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

2.3.1 向量的数乘运算
【学习目标】
1.掌握向量数乘的定义并理解其几何意义.(直观想象)
2.理解向量数乘的运算律.(数学抽象)
3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.(直观想象、逻辑推理)
【自主预习】
　　夏季的雷雨天，我们往往先看到闪电，后听到雷声，这说明声速与光速的大小不同，光速是声速的88万倍.
阅读教材，结合上述情境回答下列问题：
1.若设光速为v1，声速为v2，则v1与v2有何关系
2.实数与向量相乘结果是实数还是向量
3.向量数乘运算满足结合律、分配律吗
1.下列运算正确的个数是(　　).
①(-3)·2a=-6a；②2(a+b)-(2b-a)=3a；③(a+2b)-(2b+a)=0.
A.0 B.1 C.2 D.3
2.如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若=a，=b，则=(　　).
A.(a-b)
B.-(a-b)
C.(a+b)
D.-(a+b)
3.4(a-3b)-6(-2b-a)=　　　　.
【合作探究】
　数乘运算的定义
一物体做匀速直线运动，1秒钟的位移对应的向量为a，在同一方向上前进3秒钟的位移对应的向量是3a吗 在其反方向上运动3秒钟的位移对应的向量又是多少
问题1：物体的位移是多少
问题2：向量3a，-3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系
问题3：λa的几何意义是什么
向量数乘的定义
实数λ与向量a的乘积是一个 ，记作 ，满足以下条件：
(1)当λ>0时，向量λa与向量a的方向 ；
当λ<0时，向量λa与向量a的方向 ；
当λ=0时，0a=0.
(2)|λa|= .
这种运算称为向量的数乘.
已知点C在线段AB上，且=，则等于(　　).
A. B.　 C.- D.-
【方法总结】(1)在数乘向量λa中，实数λ称为向量a的系数.
(2)实数与向量积的运算，结果仍是一个向量，它可以看成实数与实数积的定义的推广，但不能进行加减运算，如λ+a，λ-a均无意义.
(3)数乘向量主要用来解决平面几何中的平行、相似等问题.
已知λ∈R，则下列结论正确的是(　　).
A.|λa|=λ|a|
B.|λa|=|λ|a
C.|λa|=|λ||a|
D.非零向量λa方向上的单位向量是a
　数乘运算的运算律
已知向量a，有以下三个结论：
(1)3(2a)=6a；
(2)(2+3)a=2a+3a；
(3)2(a+b)=2a+2b.
问题：请通过作图判断以上结论是否成立.
1.向量数乘的运算律：设λ，μ为实数，a，b为向量，则
(1)(λ+μ)a= ；
(2)λ(μa)= ；
(3)λ(a+b)= .
特别地，有(-λ)a= = ，
λ(a-b)= .
2.线性运算：向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合)，向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)= .
一、向量的线性运算
化简6a-[4a-b-5(2a-3b)]+(a+7b).
【方法总结】向量线性运算的基本方法是类比法.向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.
二、解向量方程
已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x-2y=a，-4x+3y=b，求向量x，y.
【方法总结】向量方程类比代数方程，可利用解代数方程的方法求解.在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.
化简：
(1)(3a+2b)-a+b-2a+b；
(2)(4a-3b)+b-(6a-7b).
若3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0，则x=　　　　.
【随堂检测】
1.(a+2b)+2(a-b)=(　　).
A.2a B.3a C.-b D.0
2.在四边形ABCD中，=2，则=(　　).
A.-++
B.-++
C.++
D.++
3.若M是△ABC所在平面内的一点，满足=+，则=(　　).
A. B.4 C. D.3
4.如图所示，在四边形ABCD中，M，N分别是DC，AB的中点，已知=a，=b，=c，试用a，b，c表示，.
参考答案
§3　从速度的倍数到向量的数乘
课时1　向量的数乘运算
自主预习·悟新知
预学忆思
1.v1=880 000 v2.
2.是向量.
3.满足.
自学检测
1.C　【解析】根据向量数乘运算和加减运算规律知①②正确；因为(a+2b)-(2b+a)=a+2b-2b-a=0，是零向量，而不是0，所以③错误.所以运算正确的个数为2.
2.C　【解析】因为M是BC的中点，所以=(a+b).
3.10a　【解析】4(a-3b)-6(-2b-a)=4a-12b+12b+6a=10a.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：类比数的运算，前进3秒钟的位移是3a，反向运动3秒钟的位移是-3a.
问题2：3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相同.-3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相反.
问题3：λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当|λ|>1时，表示a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的|λ|倍.
新知生成
向量　λa　(1)相同　相反　(2)|λ||a|
新知运用
例1　D　【解析】∵=，∴=-，∴=-.故选D.
巩固训练　C　【解析】当λ<0时，|λa|=λ|a|不成立，A错误；|λa|是一个非负实数，而|λ|a是一个向量，B错误；非零向量λa方向上的单位向量是，D错误.
探究2　情境设置
问题：各式均是成立的(如图).
(1)3(2a)=6a；
(2)(2+3)a=2a+3a；
(3)2(a+b)=2a+2b.
新知生成
1.(1)λa+μa　(2)(λμ)a　(3)λa+λb　-(λa)　λ(-a)　λa-λb
2.λμ1a±λμ2b
新知运用
例2　【解析】原式=6a-(4a-b-10a+15b)+a+7b=(6-4+10+1)a+(1-15+7)b=13a-7b.
例3　【解析】已知
由①×3+②×2，得x=3a+2b，
代入①得3×(3a+2b)-2y=a，所以y=4a+3b.
故x=3a+2b，y=4a+3b.
巩固训练1　【解析】(1)原式=2a+b-a-b=a+b-a-b=0.
(2)原式=4a-3b+b-a+b=4-a+-3++b=a-b=a-b.
巩固训练2　4b-3a　【解析】由已知得3x+3a+2x-4a-4x+4a-4b=0，所以x+3a-4b=0，所以x=4b-3a.
随堂检测·精评价
1.B　【解析】原式=a+2b+2a-2b=3a.
2.B　【解析】因为=2，所以=，
所以=+=-++=-++(-)=-++.
3.C　【解析】∵=+=(+)+(+)=++，
∴+=0，∴=.
故选C.
4.【解析】=++=-++=-a+b+c，
=++=--+=-c-b+a=a-b-c.