2.3.2 向量的数乘与向量共线的关系 学案（含答案）2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

2.3.2 向量的数乘与向量共线的关系
【学习目标】
1.理解共线(平行)向量基本定理，并运用其解决相关问题.(数学抽象)
2.会利用共线(平行)向量基本定理判断三点共线及线线平行.(逻辑推理)
3.了解直线的向量表示.(数学抽象)
【自主预习】
1.非零向量a与向量b共线的充要条件是什么
2.一条直线的方向向量是唯一的吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ，使b=λa. (　　)
(2)若b=λa，则a与b共线. (　　)
(3)若λa=0，则a=0. (　　)
(4)|λa|=λ|a|. (　　)
2.(多选题)已知平面向量a，b不共线，=2a+λb，=(λ-1)a+b，若A，B，C三点共线，则实数λ的可能取值有(　　).
A.1 B.-1 C.2 D.-2
3.已知=3，设=λ，则实数λ=　　　　　.
4.如图，C是点B关于点A的对称点，D是线段OB靠近点B的三等分点，设=a，=b.
(1)用向量a与b表示向量，；
(2)若=，求证：C，D，E三点共线.
【合作探究】
　共线(平行)向量基本定理
在某校的绿化带中，有一花坛是四边形ABCD，若各边的向量关系是=a+2b，=-4a-b，=-5a-3b，如何判断出四边形ABCD的形状 为了解决这一问题，我们先探究下列问题.
问题1：若b=2a，则b与a共线吗
问题2：若b与非零向量a共线，是否存在实数λ满足b=λa 若b与向量a共线呢
问题3：若存在实数t使得向量=t，则与有什么位置关系
问题4：根据上面的分析，如何解决情境中的问题
共线(平行)向量基本定理：给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得a=λb.
特别提醒：(1)定理中b≠0 不能漏掉.若a=b=0，则实数λ可以是任意实数；若b=0，a≠0，则不存在实数λ，使得a=λb.
(2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使得ta+sb=0，则a与b共线；若两个非零向量a与b不共线，且ta+sb=0，则必有t=s=0.
一、向量共线的判定
已知e1，e2不共线，则下列各式中，a与b不共线的是(　　).
A.a=-2e1，b=6e1
B.a=e1-e2，b=-2e1+2e2
C.a=2e1-e2，b=e1-e2
D.a=e1+e2，b=3e1-3e2
【方法总结】判断两向量共线：把两向量用共同的已知向量表示出来，进而互相表示，从而判断共线.
二、由向量共线确定参数的值
已知向量m，n不是共线向量，a=3m+2n，b=6m-4n，c=m+xn.
(1)判断a，b是否平行；
(2)若a∥c，求x的值.
【方法总结】利用向量共线求参数的方法：判断、证明向量共线问题的思路是根据共线(平行)向量基本定理寻求唯一的实数λ，使得a=λb(b≠0).而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量的系数相等进而求解.若两向量不共线，则向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值.
设a，b是不共线的两个向量.
(1)若=2a-b，=3a+b，=a-3b，求证：A，B，C三点共线.
(2)若8a+kb与ka+2b共线，求实数k的值.
若a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同，问当实数t为何值时，a，tb，(a+b)三个向量的终点在同一直线上
　直线的向量表示
如图，已知直线上的三点A，P，B.
问题1：A，P，B三点的位置关系是什么
问题2：能否用向量刻画直线呢
通常可以用=t表示过点A，B的直线l，其中称为直线l的方向向量.
特别提醒：已知平面内直线AB外任意一点O，则满足向量关系式=λ+(1-λ)的点P与点A，B共线.反之，若点P在直线AB上，则存在实数λ，使得=λ+(1-λ)成立.
已知AD为△ABC的中线，G是AD的中点，过点G的直线分别交边AB，AC于M，N两点.若=，=λ，则λ=(　　).
A. B.
C. D.
【方法总结】若A，B，C三点共线，O为直线外一点 存在实数x，y，使得=x+y，且x+y=1.
如图，在△ABC中，E为边AC上一点，且=3，P为BE上一点，且满足=m+n(m>0，n>0)，则+的最小值为　　　　.
　破解向量中的四心问题
设O为△ABC的外心，若++=，则M是△ABC的(　　).
A.重心 B.内心 C.垂心 D.外心
【方法总结】本题给出三角形中的向量等式，判断点M是三角形的哪一个心，解题时可充分利用向量的线性运算，并结合三角形四心的定义以及三角形的外接圆性质等知识进行推理判断.
已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ+，λ∈[0，+∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　).
A.内心 B.垂心
C.重心 D.外心
【随堂检测】
1.设=(a+5b)，=-2a+8b，=3(a-b)，则共线的三点是(　　).
A.A，B，D B.A，B，C
C.B，C，D D.A，C，D
2.下列说法正确的是(　　).
A.若b=λa，则a与b共线
B.若λa=0，则a=0
C.(-7)·6a=-42a
D.若=λ(λ≠0)，则A，B，C，D四点共线
3.设非零向量a，b不平行，若向量λa+b与a-2b平行，则实数λ的值为　　　　.
4.设两个非零向量a，b不共线.
(1)若=a+2b，=-3(a-b)，=-2a-13b，求证：A，B，D三点共线.
(2)若ka+12b与3a+kb共线，求k的值.
参考答案
课时2　向量的数乘与向量共线的关系
自主预习·悟新知
预学忆思
1.存在唯一一个实数λ，使得b=λa.
2.不是，一条直线的方向向量可以有无数个.
自学检测
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.BC　【解析】因为A，B，C三点共线，所以和共线， 所以存在实数μ，使=μ， 即2a+ λb=μ[(λ-1)a+b]， 所以即 λ2 -λ-2=0， 解得λ=-1或λ=2. 故选BC.
3.2　【解析】∵=-=-3=-2=2=λ，∴λ=2.
4.【解析】(1)∵=a，=b，∴=+=-b-a，=2=2a，
=+=+=+(+)=2a+(-a+b)=a+b.
(2)∵=，∴=-=(-b)+a+b=a+b=，∴∥.又CE与CD有共同点C，∴C，D，E三点共线.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：根据共线向量及向量数乘的意义可知，b与a共线.
问题2：若b与非零向量a共线，则存在实数λ满足b=λa；若b与向量a共线，则当a=0，b≠0 时，不存在实数λ满足b=λa.
问题3：平行或共线.
问题4：∵=a+2b，=-4a-b，=-5a-3b，
∴=++=a+2b-4a-b-5a-3b=2.
由向量共线的定义知AD∥BC，且AD≠BC，∴四边形ABCD为梯形.
新知运用
例1　D　【解析】A中，∵b=-3a，∴a与b共线；B中，b=-2a，则a与b共线；C中，b=a，则a与b共线；D中，设a=λb，则e1+e2=λ(3e1-3e2)，∴(1-3λ)e1+(1+3λ)e2=0，
∴这样的λ不存在，因此a与b不共线.故选D.
例2　【解析】(1)显然a为非零向量，若a∥b，则存在实数λ，使得b=λa，即6m-4n=λ(3m+2n)，
∴解得∴λ不存在，∴a与b不平行.
(2)∵a∥c，∴存在实数r，使得c=ra.
∴m+xn=r(3m+2n)，
∴解得x=.
巩固训练1　【解析】(1)∵=-=(3a+b)-(2a-b)=a+2b，
而=-=(a-3b)-(3a+b)=-2(a+2b)=-2，
∴与共线，又，有公共点B，∴A，B，C三点共线.
(2)∵8a+kb与ka+2b共线，
∴存在实数λ，使得8a+kb=λ(ka+2b)，
即(8-λk)a+(k-2λ)b=0，
又a与b不共线，∴
解得λ=±2，∴k=2λ=±4.
巩固训练2　【解析】由题设易知，存在唯一实数λ，使得a-tb=λa-(a+b)，化简得λ-1a=-tb.
∵a与b不共线，∴解得
故当t=时，三个向量的终点在同一直线上.
探究2　情境设置
问题1：A，P，B三点共线.
问题2：能，因为A，B两点确定一条直线l，直线l上任意一点P所对应的向量与向量平行，即=t，从而可以用表示，即能用向量刻画直线.
新知运用
例3　A　【解析】先证明：若P，Q，R三点共线，且O为直线PQ外一点，=m+n，则m+n=1.
证明：由题意可知∥，则存在x∈R使得=x，即-=x(-)，
所以=(1-x)+x，
又=m+n，所以m=1-x，n=x，所以m+n=1.
如图所示，因为G为AD的中点，所以==(+).
因为=，所以=，所以=+.
因为=λ，所以=，所以=+.
因为G，M，N三点共线，所以+=1，解得λ=，故选A.
巩固训练　5+2　【解析】由=3，得=m+n=m+3n(m>0，n>0)，
又因为B，P，E三点共线，所以m+3n=1，
所以+=+(m+3n)=5++≥5+2=5+2，当且仅当m=-2，n=时取等号.
探究3
例4　C　【解析】在△ABC中，O为外心，可得OA=OB=OC.
∵++=，∴+=-=.
设AB的中点为D，则OD⊥AB，=2，
∴CM⊥AB，可得CM在AB边的高线上.
同理可证，AM在BC边的高线上，
故M是△ABC两高线的交点，可得M是△ABC的垂心，故选C.
巩固训练　A　【解析】∵，分别表示向量，方向上的单位向量，
∴+的方向与∠BAC的平分线一致，
又∵=+λ+，
∴-==λ+，
∴向量的方向与∠BAC的平分线一致，
∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心.
随堂检测·精评价
1.A　【解析】∵=+=a+5b，=，∴A，B，D三点共线.
2.C　【解析】A中，λ≠0；B中，可能λ=0；D中，A，B，C，D可能构成四边形.故C正确.
3.-　【解析】∵向量λa+b与a-2b平行，
∴存在实数k使得λa+b=k(a-2b)，
化简得(λ-k)a+(1+2k)b=0.
∵向量a，b不平行，∴解得λ=-.
4.【解析】(1)因为=+=-3(a-b)-2a-13b=-5a-10b=-5(a+2b)=-5，
又AB∩BD=B，所以A，B，D三点共线.
(2)因为ka+12b和3a+kb共线，两个非零向量a，b不共线，
所以存在实数λ，使得ka+12b=λ(3a+kb)，
所以解得k=±6.