2.4.1 平面向量基本定理 学案（含答案）2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

2.4.1 平面向量基本定理
【学习目标】
1.理解基的含义，并能判断两个向量是否构成一组基.(逻辑推理)
2.理解平面向量基本定理及其意义.(数学抽象)
3.会用基表示平面向量.(逻辑推理)
【自主预习】
音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们不同的享受、不一样的感觉.事实上，音乐有基本音符Do Re Mi Fa So La Si，所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此.
阅读教材，回答下列问题.
1.在平面向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢 你发现它是什么
2.我们知道两个力可以合成一个力，反之一个力可以分解为两个力.向量a是否也可以分解为两个向量呢
3.0能与另外一个向量a构成一组基吗
1.在△ABC中，=2，E为AD的中点，以，为一组基，则=(　　).
A.- B.-
C.- D.2-
2.如图，在正方形ABCD中，设=a，=b，=c，则以a，b为基时，可表示为　　　　，以a，c为基时，可表示为　　　　.
3.已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值为　　　　.
4.给定一组基{i，j}，且a=4i+j，b=3j，c=12i-3j，如果c=xa+yb，求x，y.
【合作探究】
　平面向量基本定理
如图(1)，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是在这一平面内与e1，e2都不共线的向量.如图(2)，在平面内任取一点O，作=e1，=e2，=a.
问题1：上图中将a按e1，e2的方向分解，你有什么发现
问题2：若向量a与e1或e2共线，a还能用a=λ1e1+λ2e2表示吗
问题3：当a是零向量时，a还能用a=λ1e1+λ2e2表示吗
问题4：设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，在a=λ1e1+λ2e2中，λ1，λ2是否唯一
1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意一个向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使得a=λ1e1+λ2e2.
2.基：若e1，e2不共线，把e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组 .平面内任一向量都可以用同一组基唯一表示.
3.若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基.在正交基下向量的线性表示称为正交分解.
若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基.
一、对基的理解
如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基的是(　　).
A.e1与e1+e2 B.e1-2e2与e1+2e2
C.e1+e2与e1-e2 D.e1+3e2与2e1+6e2
【方法总结】对基的理解：两个向量能否作为一组基，关键是看这两个向量是否共线.若共线，则不能作基；反之，则可作基.
二、用基表示向量
如图所示，在△ABC中，M是AB的中点，且=，BN与CM相交于点E，设=a，=b，试用基{a，b}表示向量.
【方法总结】将两个不共线的向量作为基表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对所求向量不断进行转化，直至能用基表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基表示向量的唯一性求解.
三、平面向量基本定理的应用
如图所示，L，M，N分别为△ABC的边BC，CA，AB上的点，且=l，=m，=n，若++=0，求证：l=m=n.
【方法总结】平面向量基本定理是向量法的理论基础，它不仅提供了向量的几何表示方法，而且使向量用坐标来表示成为可能，从而架起了向量的几何运算与代数运算之间的桥梁，这就为几何问题转化为代数论证提供了理论工具.
若向量a，b不共线，则c=2a-b，d=3a-2b，试判断c，d能否作为一组基.
如图所示，在 ABCD中，E，F分别为BC，DC边上的中点，若=a，=b，试用a，b表示向量，.
【随堂检测】
1.已知平行四边形ABCD，则下列各组向量是该平面内所有向量的基的是(　　).
A.， B.，
C.， D.，
2.在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD的中点，若=λ+μ，则λ+μ的值是(　　).
A.1 B. C.- D.-
3.如图，C，D是△AOB的边AB的三等分点，设=e1，=e2，以e1，e2为一组基，则=　　　　，=　　　　.
4.在△ABC中，F是边AB上靠近点B的四等分点，试以=e1，=e2为一组基表示.
参考答案
课时1　平面向量基本定理
自主预习·悟新知
预学忆思
1.能，它是基.
2.因为力是向量，所以向量a也可以分解为两个向量.
3. 不能.基向量是不共线的，而0与任意向量共线.
自学检测
1.A　【解析】=-+=-×=-+=-.
2.a+b　2a+c　【解析】以a，b为基时，=a+b；以a，c为基时，=+=a+c，=+=+=a+a+c=2a+c.
3.3　【解析】∵e1，e2不共线，∴由平面向量基本定理可得故x-y=3.
4.【解析】因为c=xa+yb=x(4i+j)+y(3j)=4xi+(x+3y)j，c=12i-3j，
所以解得
合作探究·提素养
探究　情境设置
问题1：如图，a==+=λ1e1+λ2e2.
问题2：能，当向量a与e1共线时，a=λ1e1+0e2；
当向量a与e2共线时，a=0e1+λ2e2.
问题3：能，a=0e1+0e2.
问题4：假设a=μ1e1+μ2e2，则λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，即(λ1-μ1)e1+(λ2-μ2)e2=0，所以λ1-μ1=0且λ2-μ2=0，即λ1=μ1且λ2=μ2，所以λ1，λ2唯一.
新知生成
2.基
新知运用
例1　D　【解析】对于A，设e1+e2=λe1，则所以λ无解；
对于B，设e1-2e2=λ(e1+2e2)，则所以λ无解；
对于C，设e1+e2=λ(e1-e2)，则所以λ无解；
对于D，设e1+3e2=λ(2e1+6e2)，则解得λ=，所以这两个向量是共线向量.
故D中向量不能作为平面内所有向量的一组基，故选D.
例2　【解析】易得==b，==a，
由N，E，B三点共线知，存在实数m，
满足=m+(1-m)=mb+(1-m)a.
由C，E，M三点共线知，存在实数n，
满足=n+(1-n)=na+(1-n)b，
所以mb+(1-m)a=na+(1-n)b.
因为{a，b}为基，所以解得
所以=a+b.
例3　【解析】令=a，=b为一组基，
根据已知有=la，=mb.
∵=+=-a-b，∴=n=-na-nb，
∴=+=(l-1)a-b，=+=a+mb，=+=-na+(1-n)b.
又++=0，
∴(l-n)a+(m-n)b=0.
根据平面向量基本定理，有l-n=m-n=0，故l=m=n.
巩固训练1　【解析】设存在实数λ，使得c=λd，
则2a-b=λ(3a-2b)，即(2-3λ)a+(2λ-1)b=0，
因为向量a，b不共线，所以2-3λ=2λ-1=0，这样的λ是不存在的，
所以c，d不共线，故c，d能作为一组基.
巩固训练2　【解析】=++
=-++
=-++=a-b.
=++
=-++=b-a.
随堂检测·精评价
1.D　【解析】因为，不共线，所以是一组基.
2.D　【解析】由D是BC边的中点，E是AD的中点，得=(+)，==(+)，所以=+=-+(+)=-，所以λ=，μ=-，故λ+μ=-.
3.e1+e2　e1+e2　【解析】=+=+=e1+(e2-e1)=e1+e2，
=+=+
=e1+e2+(e2-e1)=e1+e2.
4.【解析】∵=-=e1-e2，且F是边AB上靠近点B的四等分点，
∴==(e1-e2)，
∴=+=e2+(e1-e2)=e1+e2.