2.4.2 平面向量及运算的坐标表示 学案（含答案）2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

2.4.2 平面向量及运算的坐标表示
【学习目标】
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.(数学抽象)
2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差的坐标运算法则.(数学运算)
3.理解向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系.(直观想象)
4.借助向量坐标的加、减线性运算，培养学生的数学运算等素养.
【自主预习】
　　飞机在起飞时，若沿仰角α的方向起飞的速度为v，则v可分解为沿水平方向的速度vcos α和沿竖直方向的速度vsin α.
阅读教材，回答下列问题.
1.平面内任一向量能否用两个互相垂直的向量表示
2.如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|=4，以{i，j}为基，则向量a如何表示
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)零向量的坐标是(0，0). (　　)
(2)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同. (　　)
(3)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标. (　　)
(4)向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化. (　　)
2.已知向量a=(1，2)，b=(3，1)，则b-a=(　　).
A.(-2，1) B.(2，-1) C.(2，0) D.(4，3)
3.已知向量=(3，-2)，=(-5，-1)，则向量的坐标是(　　).
A.-4， B.4，-
C.(-8，1) D.(8，1)
4.已知向量a=(2x-1，x2+3x-3)与相等，若A(1，3)，B(2，4)，则x=　　　　.
【合作探究】
　平面向量的坐标表示
卫星运载火箭每一时刻的速度都有确定的大小和方向，为了便于分析，需要将整个飞行过程中的速度分解为水平和竖直两个方向的速度.
问题1：如何将整个飞行过程中的速度分解为水平和竖直两个方向的速度
问题2：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(它的坐标)表示，那么如何表示坐标平面内的一个向量呢
1.平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向 的两个 向量i，j作为 .对于坐标平面内的任意向量a，由平面向量基本定理可知， 一对实数x，y，使得a=xi+yj.我们把实数对 叫作向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，记作a=(x，y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫作a在y轴上的坐标，a=(x，y)叫作向量a的坐标表示.
2.向量坐标与点的坐标之间的联系
在平面直角坐标系中，以原点O为起点作=a，设=xi+yj，则向量的坐标(x，y)就是 的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量的坐标.
特别提醒：(1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直.
(2)由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a=b x1=x2且y1=y2，其中a=(x1，y1)，b=(x2，y2).
(3)向量的坐标只与向量的起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关.
(4)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变.
如图，在平面直角坐标系xOy中，OA=4，AB=3，∠AOx=45°，∠OAB=105°，=a，=b，四边形OABC为平行四边形.
(1)求向量a，b的坐标；
(2)求点B的坐标.
【方法总结】求点、向量坐标的常用方法
(1)求点的坐标：可利用已知条件，求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标.
(2)求向量的坐标：先求出这个向量的起点、终点坐标，再用终点坐标减去起点坐标即得该向量的坐标.
如图，在平面直角坐标系xOy中，||=2||=2，∠OAB=，求.
　平面向量运算的坐标表示
设i，j分别是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a=x1i+y1j，b=x2i+y2j.
问题1：根据向量的线性运算性质，分别用基{i，j}表示向量a+b，a-b.
问题2：向量加、减法的坐标运算，可以类比数的运算进行吗
　　设向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，λ∈R，则有
加法 a+b=(x1+x2，y1+y2)
减法 a-b=(x1-x2，y1-y2)
数乘 λa=(λx1，λy1)
　　重要结论：已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1).
中点坐标公式：已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点M的坐标为(x，y)，则
一、平面向量的加、减坐标运算
(1)设向量a，b的坐标分别是(-1，2)，(3，-5)，则a+b=　　　　，b-a=　　　　.
(2)已知平面上三个点A(4，6)，B(7，5)，C(1，8)，求，，+，-.
【方法总结】向量加、减运算的坐标表示要注意的问题：(1)向量加、减运算的坐标表示主要是利用加、减法运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，要注意三角形法则及平行四边形法则的应用；(2)若是给出向量的坐标，则解题过程中要注意方程思想的应用及正确使用运算法则.
二、平面向量加、减坐标运算的应用
如图，已知 ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是(-2，1)，(-1，3)，(3，4)，求顶点D的坐标.
【方法总结】通过建立平面直角坐标系，可以将平面内的任一向量用一个有序实数对来表示；反过来，任一有序实数对都表示一个向量.因此，向量的坐标表示实质上是向量的代数表示，引入向量的坐标后，可使向量运算代数化，将数和形结合起来，从而将几何问题转化为代数问题来解决.
三、平面向量数乘的坐标运算
设向量a，b的坐标分别是(-1，2)，(3，-5)，求下列各向量的坐标：
(1)3a；(2)2a+5b.
【方法总结】向量的坐标运算主要是利用向量的加、减及数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，再进行向量的坐标运算.
在 ABCD中，=(3，7)，=(-2，3)，对称中心为O，则等于(　　).
A.-，5 B.-，-5
C.，-5 D.，5
已知平行四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D的坐标依次为(3，-1)，(1，2)，(m，1)，(3，n)，求m，n的值.
已知点A(-1，2)，B(2，8)，且=，=-.求点C，D和的坐标.
【随堂检测】
1.如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，则可以表示为(　　).
A.2i+3j B.4i+2j
C.2i-j D.-2i+j
2.已知向量a=(2，1)，b=(-3，4)，则a+b=(　　).
A.(6，-3) B.(8，-3)
C.(5，-1) D.(-1，5)
3.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，=(2，4)，=(-1，-3)，则=　　　　.
4.已知平面上三个点的坐标为A(3，7)，B(4，6)，C(1，-2)，求点D的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点.
参考答案
课时2　平面向量及运算的坐标表示
自主预习·悟新知
预学忆思
1.能，互相垂直的两个向量可以作为一组基.
2.因为向量a与i的夹角是30°，且|a|=4，所以OA=2，OB=2，于是a=2i+2j.
自学检测
1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2.B　【解析】由题意得b-a=(3，1)-(1，2)=(2，-1).
3.C　【解析】=-=(-5，-1)-(3，-2)=(-8，1).
4.1　【解析】∵=(2，4)-(1，3)=(1，1)，=a=(2x-1，x2+3x-3)，
∴解得x=1.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：将飞行速度分别向坐标轴投影，在xOy平面上分解为x轴、y轴上的向量即可.
问题2：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为一组基，对于坐标平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a=xi+yj.
新知生成
1.相同　单位　标准正交基　有且仅有　(x，y)
2.终点A
新知运用
例1　【解析】
(1)如图，作AM⊥x轴于点M，
则OM=OA·cos 45°=4×=2，AM=OA·sin 45°=4×=2，
∴A(2，2)，∴a=(2，2).
∵∠AOC=180°-105°=75°，∠AOy=45°，
∴∠COy=30°.
又∵OC=AB=3，
∴C-，，∴==-，，
即b=-，.
(2)∵=a+b
=(2，2)+-，
=2-，2+，
∴点B的坐标为2-，2+.
巩固训练　【解析】在平面直角坐标系xOy中，设B(xB，yB)，因为||=2||=2，所以A(2，0).
又∠OAB=，所以xB=2+cosπ-=，yB=0+sinπ-=，
所以点B的坐标为，，所以=.
探究2　情境设置
问题1：a+b=(x1+x2)i+(y1+y2)j，a-b=(x1-x2)i+(y1-y2)j.
问题2：向量加、减法的坐标运算可以完全类比数的运算进行.
新知运用
例2　(1)(2，-3)　(4，-7)　【解析】(1)a+b=(-1，2)+(3，-5)=(-1+3，2-5)=(2，-3)；
b-a=(3，-5)-(-1，2)=(3+1，-5-2)=(4，-7).
(2)∵A(4，6)，B(7，5)，C(1，8)，
∴=(7-4，5-6)=(3，-1)，
=(1-4，8-6)=(-3，2)，
+=(3，-1)+(-3，2)=(0，1)，
-=(3，-1)-(-3，2)=(6，-3).
例3　【解析】(法一)设顶点D的坐标为(x，y).
因为=(-1-(-2)，3-1)=(1，2)，=(3-x，4-y)，
又=，所以(1，2)=(3-x，4-y).
即解得
所以顶点D的坐标为(2，2).
(法二)如图，由向量加法的平行四边形法则可知=+=(-2-(-1)，1-3)+(3-(-1)，4-3)=(3，-1)，
而=+=(-1，3)+(3，-1)=(2，2).
所以顶点D的坐标为(2，2).
例4　【解析】(1)3a=3(-1，2)=(-3，6).
(2)2a+5b=2(-1，2)+5(3，-5)=(-2，4)+(15，-25)=(13，-21).
巩固训练1　B　【解析】=-=-(+)=-(1，10)=-，-5.
巩固训练2　【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴=，
即(3-3，n+1)=(m-1，1-2)，整理得
解得
巩固训练3　【解析】∵A(-1，2)，B(2，8)，∴=(2，8)-(-1，2)=(3，6)，==(1，2)，=-==(1，2).
则=+=(-1，2)+(1，2)=(0，4)，
=+=-=(-1，2)-(1，2)=(-2，0).
∴C，D的坐标分别为(0，4)，(-2，0).
因此=-=(-2，0)-(0，4)=(-2，-4).
随堂检测·精评价
1.C　【解析】因为A(2，3)，B(4，2)，所以=(2，-1)，所以=2i-j.
2.D　【解析】a+b=(2，1)+(-3，4)=(-1，5).
3.(3，5)　【解析】∵=(2，4)，=(1，3)，
∴=+=+=(-)+=2-=(3，5).
4.【解析】设点D的坐标为(x，y)，
①当平行四边形为ABCD时，=，
∴(4-3，6-7)=(1-x，-2-y)，
即解得∴D(0，-1)；
②当平行四边形为ABDC时，同①可得D(2，-3)；
③当平行四边形为ADBC时，同①可得D(6，15).
综上所述，点D的坐标为(0，-1)或(2，-3)或(6，15).