2.4.2 平面向量平行的坐标表示 学案（含答案） 2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

2.4.3 平面向量平行的坐标表示
【学习目标】
1.理解用坐标表示的平面向量共线的充要条件.(数学抽象)
2.会用坐标表示的平面向量共线的充要条件解决简单问题.(数学运算)
【自主预习】
1.向量a与非零向量b为共线向量的等价条件是有且只有一个实数λ使得a=λb，那么这个共线向量定理如何用坐标来表示
2.如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗
3.a∥b =，其中a=(x1，y1)，b=(x2，y2)是否正确
4.把x1y2-x2y1=0写成x1y1-x2y2=0或x1x2-y1y2=0可以吗 怎样记忆此公式的表达形式
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，且a∥b，则=. (　　)
(2)若向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，且x1y1-x2y2=0，则a∥b. (　　)
(3)若向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)(b≠0)，且x1y2-x2y1=0，则a∥b. (　　)
(4)向量a=(1，2)与向量b=(4，8)共线. (　　)
2.已知向量a=(2，-1)，b=(x-1，2)，若a∥b，则实数x的值为(　　).
A.2 B.-2
C.3 D.-3
3.与a=(12，5)平行的单位向量为(　　).
A.，-
B.-，-
C.，或-，-
D.±，±
4.已知向量a=(1，λ)，b=(2，1)，c=(1，-2)，若向量2a+b与c共线，则λ=　　　　.
【合作探究】
　平面向量共线充要条件的坐标表示
已知下列几组向量：
(1)a=(0，3)，b=(0，6)；
(2)a=(2，3)，b=(4，6)；
(3)a=(-1，4)，b=(3，-12)；
(4)a=，1，b=-，-1.
问题1：上面几组向量中，a，b有什么关系
问题2：以上几组向量中，a，b共线吗
问题3：当a∥b时，a，b的坐标成比例吗
平面向量共线的坐标表示
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0.
(1)a，b共线的充要条件是存在实数λ(λ≠0)，使得a=λb.
(2)如果用坐标表示，那么向量a，b共线的充要条件是x1y2-x2y1=0.
简记：纵横交错积相减.
一、向量共线的判定与证明
下列各组向量中，共线的是(　　).
A.a=(-2，3)，b=(4，6)
B.a=(2，3)，b=(3，2)
C.a=(1，-2)，b=(7，14)
D.a=(-3，2)，b=(6，-4)
【方法总结】向量共线的判定方法
二、已知平面向量共线求参数
(1)已知向量a=(2，6)，b=(-1，λ)，若a∥b，则λ=　　　　.
(2)已知点P(-1，2)，线段PQ的中点M的坐标为(1，-1).若向量与向量a=(λ，1)共线，则λ=　　　　.
【方法总结】用向量平行的条件处理求值问题的思路：(1)利用共线向量定理a=λb(b≠0)列方程组求解；(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.
三、利用共线向量求点的坐标
已知点A(3，-4)，B(-1，2)，点P在直线AB上，且||=2||，求点P的坐标.
【方法总结】求点的坐标时应注意的问题
设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2).(1)若P是P1P2的中点，则点P的坐标为，；(2)求线段P1P2上或延长线上的点的坐标时，不必过分强调公式的记忆，可以转化为向量问题后列方程组求解，同时要注意分类讨论.
已知点A(1，-3)，B8，，C(9，1)，求证：A，B，C三点共线.
已知向量a=(1，2)，b=(-2，3).若λa+ub与a+b共线，则λ与u的关系为　　　　.
已知点P1(3，2)，P2(-8，3)，点P，y满足=λ，求λ及y的值.
　共线向量与三角函数的综合
已知向量a=cos θ，，b=sin θ，，且a∥b，则=　　　　.
【方法总结】共线向量与三角函数的综合，主要利用向量共线的坐标表示，求得三角函数的有关值.
已知向量m=，-，向量n=(sin x，cos x).若m∥n，则tan x=　　　　.
【随堂检测】
1.已知向量a=(1，1)，b=(x2，x+2)，若a，b共线，则实数x的值为(　　).
A.-1 B.2
C.1或-2 D.-1或2
2.已知点A(2，-1)，B(3，1)，则与平行且方向相反的向量a可以是(　　).
A.(1，-2) B.(9，3)
C.(-2，4) D.(-4，-8)
3.已知=(4，1)，=(-1，k)，若A，B，C三点共线，则实数k的值为(　　).
A.4 B.-4
C.- D.
4.如图，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC与OB的交点P的坐标.
参考答案
课时3　平面向量平行的坐标表示
自主预习·悟新知
预学忆思
1.假设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则向量a，b共线(其中b≠0) x1y2-x2y1=0.
2.能.当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向.例如，向量(1，2)与(-1，-2)反向；向量(1，0)与(3，0)同向；向量(-1，2)与(-3，6)同向；向量(-1，0)与(3，0)反向等.
3.当y1y2=0时不成立.
4.不可以.把x1y2-x2y1=0写成x1y1-x2y2=0或x1x2-y1y2=0都是不对的，这一公式可简记为“纵横交错积相减”.
自学检测
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.D　【解析】因为a∥b，所以2×2-(-1)×(x-1)=0，解得x=-3.
3.C　【解析】设与a平行的单位向量为e=(x，y)，
则∴或
4.-　【解析】因为向量a=(1，λ)，b=(2，1)，
所以2a+b=(4，2λ+1)，
所以由2a+b与c共线得-8-(2λ+1)=0，
解得λ=-.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：(1)(2)中b=2a，(3)中b=-3a，(4)中b=-a.
问题2：共线.
问题3：当a，b的坐标不为0时成比例.
新知运用
例1　D　【解析】A选项中，(-2)×6-3×4=-24≠0，∴a与b不共线；B选项中，2×2-3×3=4-9=-5≠0，∴a与b不共线；C选项中，1×14-(-2)×7=28≠0，∴a与b不共线；D选项中，(-3)×(-4)-2×6=12-12=0，∴a与b共线.
例2　(1)-3　(2)-　【解析】(1)由题意知，-6=2λ，所以λ=-3.
(2)因为点P(-1，2)，线段PQ的中点M的坐标为(1，-1)，
所以向量=2(1-(-1)，-1-2)=(4，-6)，
又因为与向量a=(λ，1)共线，所以4×1+6λ=0，解得λ=-.
例3　【解析】设点P的坐标为(x，y).
当点P在线段AB上时，可知=2，
∴(x-3，y+4)=2(-1-x，2-y)，
即解得
∴点P的坐标为，0.
当点P在线段AB的延长线上时，可知=-2，
∴(x-3，y+4)=-2(-1-x，2-y)，
即解得
∴点P的坐标为(-5，8).
综上所述，点P的坐标为，0或(-5，8).
巩固训练1　【解析】由题意得=8-1，+3=7，，=(9-1，1+3)=(8，4).
∵7×4-×8=0，∴∥，
又，有公共点A，
∴A，B，C三点共线.
巩固训练2　λ=u　【解析】∵a=(1，2)，b=(-2，3)，
∴a+b=(1，2)+(-2，3)=(-1，5)，
λa+ub=λ(1，2)+u(-2，3)=(λ-2u，2λ+3u).
又∵(λa+ub)∥(a+b)，
∴(-1)×(2λ+3u)-5(λ-2u)=0，得λ=u.
巩固训练3　【解析】因为=-3，y-2=-，y-2，=-8-，3-y=-，3-y，
所以-，y-2=λ-，3-y，
即解得
探究2
例4　3　【解析】由a∥b得2cos θ=sin θ，即tan θ=2，
∴==3.
巩固训练　-1　【解析】由题意得cos x--sin x=0，化简得cos x+sin x=0，所以tan x=-1.
随堂检测·精评价
1.D　【解析】由题意知，1·(x+2)-x2·1=0，即x2-x-2=0，解得x=-1或x=2.
2.D　【解析】由题意得=(1，2)，设a=λ=(λ，2λ)(λ<0).结合选项知符合条件的只有D项，故选D.
3.C　【解析】因为A，B，C三点共线，所以∥，所以4k+1=0，即k=-.
4.【解析】设点P(x，y)，则=(x，y).因为=(4，4)，且O，P，B三点共线，所以4x-4y=0.　①
因为=(x-4，y)，=(-2，6)，且A，P，C三点共线，
所以6×(x-4)-(-2)y=0，
即3x+y=12.　②
由①②得x=3，y=3，所以点P的坐标为(3，3).