2.5.1 数量积的运算性质 学案（含答案） 2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

数量积的运算性质
【学习目标】
1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.(数学抽象)
2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.(数学运算)
【自主预习】
　　上一节我们学面向量的数量积，平面向量的数量积的结果是数量.向量的数量积是继向量的线性运算(加法、减法、向量的数乘)后的又一种新的运算，它的内容丰富，有广泛的应用.
阅读教材，结合上一节学习的内容回答下列问题.
1.平面向量的数量积的定义是什么
2.类比实数运算的消去律(ab=bc(b≠0) a=c)，在向量中，a·b=b·c(b≠0) a=c成立吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量a在向量b上的投影向量一定与b共线. (　　)
(2)若a·b<0，则a与b的夹角为钝角. (　　)
(3)向量的数量积运算满足(a·b)·c=a·(b·c). (　　)
(4)已知a≠0，且a·c=a·b，则b=c. (　　)
2.设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a=3e1+2e2，b=-3e1+4e2，则a·b=(　　).　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.-2 B.-1 C.1 D.2
3.(多选题)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论正确的是(　　).
A.e1在e2方向上的投影向量为cos θ·e2
B.=
C.(e1+e2)⊥(e1-e2)
D.e1·e2=1
4.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，a·b=1，则向量a与a-b的夹角为　　　　.
【合作探究】
　向量数量积的运算律
小明学习了向量数量积的运算后，根据实数的运算律，类比得出向量数量积的运算律，如表所示.
运算律 实数乘法 平面向量数量积
交换律 ab=ba a·b=b·a
结合律 (ab)c=a(bc) (a·b)·c=a·(b·c)
(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b)
分配律 (a+b)c=ac+bc (a+b)·c=a·c+b·c
问题1：表中这些结果正确吗
问题2：如何证明(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)
1.向量数量积的运算律
(1)a·b=b·a.
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
(3)(a+b)·c=a·c+b·c.
2.多项式的乘法公式
(1)(a±b)2=a2±2a·b+b2.
(2)(a+b)·(a-b)=a2-b2.
注意：①a⊥b a·b=0，既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算.
②a·a=a2=|a|2与|a|==也用来求向量的模，以实现实数运算与向量运算的相互转化.
③用cos θ=求两向量的夹角，夹角的取值与a·b的符号有关.
一、数量积的运算
(1)已知向量a与b满足|a|=10，|b|=3，且向量a与b的夹角为120°，求(2a+b)·(a-b).
(2)在△ABC中，已知AC=6，=2，·=4，求 ·.
【方法总结】向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，要先确定两个向量的模及两个向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键.
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.
二、与向量模有关的运算
已知|a|=|b|=5，向量a与b的夹角为.
求：(1)|a+b|，|a-b|；
(2)|3a+b|.
【方法总结】求向量的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方问题，与向量数量积联系，并灵活应用a2=|a|2，最后不要忘记开方；
(2)a·a=a2=|a|2或|a|=，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
三、与向量垂直、夹角有关的问题
已知非零向量a，b满足a+3b与7a-5b互相垂直，a-4b与7a-2b互相垂直，求a与b的夹角.
【方法总结】(1)求向量a与b的夹角的思路：①求向量夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos θ=，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值；②在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值.
(2)与垂直有关的问题常应用性质a⊥b a·b=0解答.
如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·=4，·=-1，则·的值是　　　　.
已知向量a，b满足|a|=4，|b|=3，(a-b)·(a+2b)=0.
(1)求a·b的值；
(2)求|a-2b|的值.
已知向量与的夹角为120°，且||=2，||=3.若=λ+，且⊥，则实数λ的值为(　　).
A. B.13 C.6 D.
　向量数量积的性质
已知两个非零向量a，b，θ为a与b的夹角，e为与b方向相同的单位向量.
问题1：根据数量积公式，计算a·e，a·a.
问题2：若a·b=0，则a与b有什么关系
问题3：非零向量的数量积是否可以为正数、负数和零 其数量积的符号由什么来决定
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e=e·a=|a|cos θ；
(2)a⊥b =0；
(3)当a与b同向时，a·b= ，
当a与b反向时，a·b= ，
特别地，a·a=a2=|a|2或|a|= ；
(4)|a·b| |a||b|，当且仅当a∥b时，等号成立.
已知a，b，c是三个非零向量，则下列命题中，真命题的个数是(　　).
①|a·b|=|a||b| a∥b；
②a，b反向 a·b=-|a||b|；
③a⊥b |a+b|=|a-b|；
④|a|=|b| |a·c|=|b·c|.
A.1 B.2 C.3 D.4
【方法总结】数量积的定义和性质是解题的依据，要熟练掌握.
已知下列说法：①若a2+b2=0，则a=b=0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a+b=0，则|a·c|=|b·c|；③|a||b|0，则a与b的夹角为锐角.其中说法正确的是　　　　.
　向量数量积的综合应用
如图，在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=60°，=2，=2.
(1)求CD的长；
(2)求·的值.
【方法总结】根据平面向量基本定理可知，平面内的任意一个向量均可以用两个不共线的向量表示，所以在求解两个向量的数量积时，可以先将所求数量积的向量用已知向量表示，接下来转化为基的数量积运算.
在△ABC中，AB=6，AC=3，D为BC的中点，=2，=.
(1)若∠A=，求·的值；
(2)若·=0，求·的值.
【随堂检测】
1.已知a，b均为单位向量，(2a+b)·(a-2b)=-，则a与b的夹角为(　　).
A.30° B.45° C.135° D.150°
2.已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1=e1-2e2，b2=3e1+4e2，则b1·b2=　　　　.
3.已知|a|=1，a·b=，(a+b)·(a-b)=.
(1)求|b|的值；
(2)求向量a-b与a+b夹角的余弦值.
参考答案
课时2　数量积的运算性质
自主预习·悟新知
预学忆思
1. a·b=|a||b|cos θ.
2.不成立.
自学检测
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2.B　【解析】因为|e1|=|e2|=1，e1·e2=0，
所以a·b=(3e1+2e2)·(-3e1+4e2)=-9|e1|2+8|e2|2+6e1·e2=-9×12+8×12+6×0=-1.
3.ABC　【解析】因为两个单位向量e1，e2的夹角为θ，
所以|e1|=|e2|=1，则e1在e2方向上的投影向量为|e1|cos θ·e2=cos θ·e2，故A正确；
==1，故B正确；
(e1+e2)·(e1-e2)=-=0，
故(e1+e2)⊥(e1-e2)，故C正确；
e1·e2=|e1||e2|cos θ=cos θ，故D错误.
4.　【解析】|a-b|===，
设向量a与a-b的夹角为θ，
则cos θ===，
又θ∈[0，π]，所以θ=.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：除结合律中的(a·b)·c=a·(b·c)是错误的，其他都是正确的.(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线.因此，(a·b)·c=a·(b·c)在一般情况下不成立.
问题2：当λ>0时，λa与b的夹角和a与λb的夹角相同，设夹角为θ，
则(λa)·b=|λa||b|cos θ=λ|a||b|cos θ=λ(a·b)，
a·(λb)=|a||λb|cos θ=λ|a||b|cos θ=λ(a·b).
同理，当λ<0时，(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)成立.
所以(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
新知运用
例1　【解析】(1)因为|a|=10，|b|=3，且向量a与b的夹角为120°，所以a·b=10×3×cos 120°=-15，
所以(2a+b)·(a-b)=2a2-a·b-b2
=200+15-9=206.
(2)由于=2，
则=+=+=+，
又·=4，所以+·=4，
又AC=6，所以·=4-=4-×62=-8，
即·=-12.
例2　【解析】(1)由题意知，a·b=|a||b|cos =5×5×=.
因为|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=25+25+2×=75，所以|a+b|=5.
同理，因为|a-b|2=|a|2+|b|2-2a·b=25，所以|a-b|=5.
(2)|3a+b|===5.
例3　【解析】由已知条件得
即
由②-①得23b2-46a·b=0，
∴2a·b=b2，代入①得a2=b2，∴|a|=|b|.
设a与b的夹角为θ，则cos θ===.
∵θ∈[0，π]，∴θ=.
巩固训练1　　【解析】设=a，=b，则·=(a+3b)·(-a+3b)=9|b|2-|a|2=4，·=(a+b)·(-a+b)=|b|2-|a|2=-1，解得|a|2=，|b|2=，
则·=(a+2b)·(-a+2b)=4|b|2-|a|2=.
巩固训练2　【解析】(1)由题意得(a-b)·(a+2b)=0，即a2+a·b-2b2=0，
又因为|a|=4，|b|=3，所以42+a·b-2×32=0，解得a·b=2.
(2)因为(a-2b)2=a2+4b2-4a·b，所以(a-2b)2=16+36-4×2=44.
又因为|a-2b|=，所以|a-2b|=2.
巩固训练3　D　【解析】∵与的夹角为120°，且||=2，||=3，
∴·=||·||cos 120°
=2×3×-=-3.
∵·=(+λ)·(-)
=-λ+(λ-1)·=0，
∴32-λ×22+(λ-1)×(-3)=0，
解得λ=.故选D.
探究2　情境设置
问题1：a·e=|a||e|cos θ=|a|cos θ，
a·a=|a||a|cos 0°=|a|2.
问题2：∵a·b=0，a≠0，b≠0，∴cos θ=0，即θ=90°，故a⊥b.
问题3：是，由两个非零向量的夹角决定.
当0°≤θ<90°时，非零向量的数量积为正数.
当θ=90°时，非零向量的数量积为零.
当90°<θ≤180°时，非零向量的数量积为负数.
新知生成
(2)a·b　(3)|a||b|　-|a||b|　　(4)≤
新知运用
例4　C　【解析】对于①，∵a·b=|a||b|cos θ，∴由|a·b|=|a||b|及a，b均为非零向量可得|cos θ|=1，∴θ=0或θ=π，∴a∥b，且以上各步均可逆，故命题①是真命题.对于②，若a，b反向，则a，b的夹角为π，∴a·b=|a||b|cos π=-|a||b|，且以上各步均可逆，故命题②是真命题.对于③，当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，则以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形一定为矩形，于是它的两对角线的长度相等，即有|a+b|=|a-b|；反过来，若|a+b|=|a-b|，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，∴a⊥b，故命题③是真命题.对于④，当|a|=|b|但是a与c的夹角和b与c的夹角不相等时，就有|a·c|≠|b·c|，反过来，由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|，故命题④是假命题.故选C.
巩固训练　①②　【解析】对于①，∵a2+b2=0，∴|a|2+|b|2=0，∴|a|=|b|=0，∴a=b=0，故①正确；对于②，∵a+b=0，∴a与b互为相反向量，设a与c的夹角为θ，则b与c的夹角为π-θ，a·c=|a||c|cos θ，b·c=|b||c|cos(π-θ)=-|b||c|cos θ，∴|a·c|=|b·c|，故②正确；对于③，由于|a·b|=|a||b||cos θ|≤|a||b|，故③错误；对于④，由于a·a·a=|a|2a，其结果为向量，故④错误；对于⑤，当a与b为同向的非零向量时，a·b=|a||b|>0，但夹角不是锐角，故⑤错误.
探究3
例5　【解析】(1)∵=2，∴=，∴=-=-.
∵AB=2，AC=3，∠BAC=60°，∴·=||·||·cos 60°=2×3×=3.
∴=-2=-·+=×22-×3+32=，故CD的长为.
(2)∵=2，∴=，
∴=+=+=+(-)=+，
∴·=·+=+·=×22+×3=.
巩固训练　【解析】(1)因为D是BC的中点，所以=(+).因为=2，=，所以=，=.所以·=(+)·-=--·+=--·+=-×62-×6×3×+×32=-12-+=-12.
(2)因为=-=-(+)=-，
=-=-(+)=--，
所以·=-·--=-++·=-3++·=0，解得·=.
随堂检测·精评价
1.A　【解析】∵(2a+b)·(a-2b)=2a2-4a·b+a·b-2b2=-3a·b=-，∴a·b=.
设a与b的夹角为θ，则cos θ==.
又∵θ∈[0°，180°]，∴θ=30°.
2.-6　【解析】由题设知|e1|=|e2|=1且e1·e2=，所以b1·b2=(e1-2e2)·(3e1+4e2)=3-2e1·e2-8=3-2×-8=-6.
3.【解析】(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2=.
∵|a|=1，∴1-|b|2=，∴|b|=.
(2)∵|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+2×+=2，
|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2×+=1，
∴|a+b|=，|a-b|=1.
令a+b与a-b的夹角为θ，
则cos θ===，
即向量a-b与a+b夹角的余弦值是.