2.5.1 向量的数量积 学案（含答案） 2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

2.5.1 向量的数量积
【学习目标】
1.了解平面向量夹角的概念.(数学抽象)
2.掌握平面向量的数量积公式.(逻辑推理)
3.理解投影向量、投影数量的几何意义.(直观想象)
【自主预习】
　　小明在雪地里，用雪橇拉着妹妹玩耍，在他的拉力F的作用下，雪橇产生了一段位移s.
阅读教材，结合上述情境回答下列问题.
1.如何计算这个力所做的功
2.力做功的大小与哪些量有关
3.向量数量积的运算结果是什么
4.向量a在向量b上的投影数量一定是正数吗
5.向量夹角的范围是什么
1.已知△ABC为等边三角形，则与的夹角为(　　).　　　　　　　　
A.120° B.60°
C.30° D.-60°
2.等边三角形ABC的边长为1，=a，=b，则a·b=(　　).
A. - B.
C.- D.
3.已知|a|=2，b在a方向上的投影向量为-2a，则a·b=(　　).
A.4 B.8
C.-8 D.-4
4.已知a，b的夹角为，|a|=1，|b|=2，则a在b方向上的投影数量为　　　　　.
【合作探究】
　向量数量积的定义
小明用纸片制作了一个边长为2的正三角形ABC，如图所示.
问题1：图中与的夹角是多少
问题2：仿照力做功的公式，如何计算·
问题3：向量的数量积的运算结果与线性运算的运算结果有什么不同
　　平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a和b，作=a，=b，向量a与b的夹角∠AOB记为或θ(0°≤θ≤180°).|a||b|·cos θ称为a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b=|a||b|cos=|a||b|cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积等于 .
特别提醒：(1)“·”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“×”.
(2)数量积的结果为数量，不再是向量.
(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角θ决定：当θ是零角或锐角时，数量积为正；当θ是钝角或平角时，数量积为负；当θ是直角时，数量积等于零.
已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)·；(2)·.
【方法总结】用定义法求平面向量的数量积，若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b=|a||b|cos θ求解.运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要先通过平移使得两向量符合以上条件.
设正三角形ABC的边长为，=c，=a，=b，求a·b+b·c+c·a.
　投影向量
如图，线段AB在直线l上的投影如下.
问题1：图中的线段A1B1叫作什么
问题2：设直线AB与直线l的夹角为θ，那么|A1B1|与|AB|，θ之间有怎样的关系
1.投影
已知两个非零向量a和b，作=a，=b，过点A向直线OB作垂线，垂足为A'，得向量γ='，γ称为a在b上的投影向量，|a|cos称为投影向量γ的数量，也称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为a·.
2.平面向量数量积的几何意义
a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cos θ的乘积；或b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cos θ的乘积.
(1)已知|a|=，b为单位向量，a与b的夹角为135°，则a在b上的投影向量的模为(　　).
A.- B.-1 C.1 D.
(2)已知|a|=6，e为单位向量，a与e的夹角为，则向量a在向量e上的投影向量为　　　　.
【方法总结】关于平面向量数量积的几何意义的两点注意事项
(1)向量a在b所在直线上的投影是一个向量，向量a在b所在直线上的投影向量的模是一个实数；
(2)向量a在向量b上的投影向量的模是|a|·|cos|，向量b在向量a上的投影向量的模是|b|·|cos|，二者不能混为一谈.
如图，已知向量a与b，其中|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角θ=150°.
(1)求a·b；
(2)画图说明b在a上的投影向量；
(3)求向量b在a上的投影数量.
【随堂检测】
1.已知单位向量a，b的夹角为60°，则a·b=(　　).
A. B.
C.1 D.-
2.若|a|=4，|b|=2，a和b的夹角为30°，则a在b方向上的投影数量为(　　).
A.2 B. C.2 D.4
3.已知平面上三点A，B，C满足||=3，||=4，||=5，求·+·+·的值.
参考答案
课时1　向量的数量积
自主预习·悟新知
预学忆思
1.W=|F||s|cos θ.
2.与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关.
3.向量数量积的运算结果是实数.
4.不一定，可正、可负、可为0.
5.[0，π].
自学检测
1.A　【解析】因为△ABC为等边三角形，所以与的夹角为 60°，与的夹角和与的夹角互补，为 120°.
2.A　【解析】∵a·b=1×1×cos=-，故选A.
3.C　【解析】由|a|=2得|-2a|=4，根据b在a方向上的投影向量为-2a，可知b在a方向上的投影数量为-4，故根据数量积的几何意义，a·b等于|a|与b在a方向上的投影数量的乘积，故a·b=2 ×(-4)=-8，故选C.
4.　【解析】由题意可得a在b方向上的投影数量为|a|cos=1 ×=.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：与的夹角是∠ABC的补角，而∠ABC=60°，故与的夹角为120°.
问题2：根据力做功的公式，得·=||·||·cos∠BAC=2×2×cos 60°=2.
问题3：数量积的运算结果是实数，线性运算的运算结果是向量.
新知生成
0
新知运用
例1　【解析】(1)∵与的夹角为60°，
∴·=||||cos 60°=1×1×=.
(2)∵与的夹角为60°，
∴·=||||cos 60°=1×1×=.
巩固训练　【解析】∵|a|=|b|=|c|=，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，
∴a·b+b·c+c·a=××cos 120°×3=-3.
探究2　情境设置
问题1：线段A1B1叫作线段AB在直线l上的投影线段.
问题2：|A1B1|=|AB|cos θ.
新知运用
例2　(1)C　(2)-3e　【解析】(1)因为|a|=，b为单位向量，a与b的夹角为135°，
所以a在b上的投影向量的模为|a||cos|=×|cos 135°|=×-=1.故选C.
(2)因为|a|=6，=，
所以向量a在向量e上的投影向量为|a|cos·e=6×-·e=-3e.
巩固训练　【解析】(1)a·b=|a||b|cos θ=3×4×cos 150°=12×=-6.
(2)如图所示，作=a，=b，过点B作直线OA的垂线，垂足为B1，即b在a上的投影向量.
(3)因为|b|cos θ=4×-=-2，所以向量b在a上的投影数量为-2.
随堂检测·精评价
1.A　【解析】a·b=1×1×cos 60°=.
2.C　【解析】a在b方向上的投影数量为|a|cos 30°=2.故选C.
3.【解析】由条件知∠ABC=90°，
所以原式=0+4×5cos(180°-C)+5×3cos(180°-A)
=-20cos C-15cos A
=-20×-15×
=-16-9
=-25.