2.5.2 向量数量积的坐标表示 学案（含答案） 2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

2.5.2 向量数量积的坐标表示
【学习目标】
1.掌握平面向量数量积的坐标表示.(逻辑推理)
2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题.(数学运算)
【自主预习】
1.若两个非零向量的夹角θ满足cos θ<0，则两个向量的夹角θ一定是钝角吗
2.若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则公式a·b=|a||b|cos与a·b=x1x2+y1y2有什么关系
3.(a·b)c=a(b·c)是否成立
4.对于实数λ，(λa)·b有意义吗 它可以转化为哪些运算
1.(原创)判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a=(m，0)，则|a|=m. (　　)
(2)已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a⊥b x1x2-y1y2=0. (　　)
(3)若a·b≠0，则a与b不垂直. (　　)
(4)已知向量a=(1，2)，b=(2，-2)，则a·b=-2. (　　)
2.设a=(1，-2)，b=(3，1)，c=(-1，1)，则(a+b)·(a-c)等于(　　).
A.11 B.5 C.-14 D.10
3.已知向量a=(x，1)，b=(1，-2)，且a⊥b，则|a+b|等于(　　).
A. B. C.2 D.10
4.已知向量=(4，0)，=(2，2)，则与的夹角的大小为　　　　.
【合作探究】
　平面向量数量积的坐标表示
已知两个向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，类比向量数乘的坐标表示，探究平面向量数量积的坐标表示.
问题1：若i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量，则a，b如何用i，j表示
问题2：能否用a，b的坐标表示a·b 怎样表示
问题3：向量垂直与向量的数量积的关系是什么 能用坐标表示向量垂直吗
　　设向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2).
数量积 a·b=x1x2+y1y2
向量垂直 a⊥b x1x2+y1y2=0
一、给出坐标求数量积
已知向量a=(-1，2)，b=(3，2).
(1)求a·(a-b)；
(2)求(a+b)·(2a-b)；
(3)若c=(2，1)，求(a·b)c，a(b·c).
【方法总结】进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两种方法：一是先将各向量用坐标表示，再直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.
二、向量垂直的坐标表示
设=(2，-1)，=(3，1)，=(m，3).
(1)当m=2时，用和表示；
(2)若⊥，求实数m的值.
【方法总结】用向量数量积的坐标表示解决垂直问题是把垂直条件代数化，方法更简捷，运算更直接，体现了向量问题代数化的思想.
已知向量a与b同向，b=(1，2)，a·b=10.
(1)求向量a的坐标；
(2)若c=(2，-1)，求(a·c)b.
已知在△ABC中，A(2，-1)，B(3，2)，C(-3，-1)，AD为BC边上的高，求点D的坐标.
　平面向量的模、夹角
问题1：若把表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别设为(x1，y1)，(x2，y2)，如何求a的坐标 |a|怎么用坐标表示
问题2：设非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，θ是向量a，b的夹角，则cos θ如何用坐标表示
问题3：已知向量a=(x，y)，则与a共线的单位向量的坐标是什么 与a垂直的单位向量的坐标是什么
1.向量模的公式
设a=(x，y)，则|a|2=x2+y2，或|a|=.
2.两点间的距离公式
如果表示向量a的有向线段的起点和终点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么a=(x2-x1，y2-y1)，|a|=||=.
3.向量的夹角公式
设两非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ==.
一、向量的模
已知平面向量a=(3，5)，b=(-2，1)，求a-2b及其模的大小.
【方法总结】求向量a=(x，y)的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2=|a|2=x2+y2，求模时，不要忘记开方.
(2)a·a=a2=|a|2或|a|==，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
二、向量的夹角
已知O是原点，点A(-2，4)，B(1，a)，若∠ABO为钝角，则a的取值范围是(　　).
A.(1，2)
B.(-∞，1)∪(2，+∞)
C.(1，3)
D.(-∞，1)∪(3，+∞)
【方法总结】解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)的夹角的求解方法：由cos θ==直接求出cos θ.
(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ=判断θ的值时，要注意当cos θ<0时，有两种情况：一是θ为钝角，二是θ为180°.当cos θ>0时，也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ为0°.
已知向量a=(2，1)，a·b=10，|a+b|=5，则|b|等于(　　).
A. B. C.5 D.25
已知a=(1，-1)，b=(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求实数λ的取值范围.
　点到直线的距离的向量表示
　　如图，P为直线AB外一点，n⊥，则点P到直线AB的距离为·.
(原创)已知点A(1，1)，直线AB的一个方向向量为n=(-1，1)，求点P(-1，-1)到直线AB的距离.
【方法总结】利用点到直线的距离的向量公式，关键是找到与该直线的方向向量垂直的向量，因为这种向量有无数个，所以可以取最有利于计算的最简向量，然后代入公式求解即可.
(原创)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(0，1)，C(3，2)，求点C
到直线AB的距离.
　建系法在向量中的应用
如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，E为BC的中点，点F在边CD上，若·=，则·的值是　　　　.
【方法总结】在解数学题时，当结论复杂，难以直接将条件联系起来时，可考虑先解决问题的一部分，或把结论分解为简单的几部分，以便各个击破，从而使问题得到解决.
在Rt△ABC中，∠C=，AB=4，AC=2，若=，则·=(　　).
A.-18 B.-6
C.18 D.6
【随堂检测】
1.已知向量a=(2，-1)，b=(-1，2)，则(2a+b)·a=(　　).
A.6 B.5
C.1 D.-6
2.若向量a=(4，3-m)，b=(1，m)的夹角为锐角，则实数m的取值范围是(　　).
A.-1，∪，4
B.(-1，4)
C.-4，∪，1
D.(-4，1)
3.已知向量a，b的夹角为，a=(0，1)，|b|=2，则|2a-b|=　　　　.
4.已知a=(4，3)，b=(-1，2).
(1)求a与b的夹角的余弦值；
(2)若(a-λb)⊥(2a+b)，求实数λ的值.
参考答案
课时3　向量数量积的坐标表示
自主预习·悟新知
预学忆思
1.不一定，当cos θ<0时，两个向量的夹角θ可能是钝角，也可能是180°.
2.a·b=|a||b|cos与a·b=x1x2+y1y2都是用来求两个向量的数量积的公式，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导.
3.(a·b)c=a(b·c)一般情况下不会成立.
4.(λa)·b有意义，(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
自学检测
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.A　【解析】由题意得a+b=(4，-1)，a-c=(2，-3)，所以(a+b)·(a-c)=4×2+(-1)×(-3)=11.故选A.
3.B　【解析】由题意得a·b=x×1+1×(-2)=x-2=0，解得x=2，
则a+b=(x+1，-1)=(3，-1)，可得|a+b|=.
4.90°　【解析】=-=(2，2)-(4，0)=(-2，2)，所以·=2×(-2)+2×2=0，所以⊥，即与的夹角为90°.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：a=x1i+y1j，b=x2i+y2j.
问题2：能，a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)
=x1x2i2+(x1y2+x2y1)i·j+y1y2j2
=x1x2+y1y2.
问题3：a⊥b a·b=0，能.
新知运用
例1　【解析】(1)(法一)∵a=(-1，2)，b=(3，2)，∴a-b=(-4，0)，∴a·(a-b)=(-1，2)·(-4，0)=(-1)×(-4)+2×0=4.
(法二)a·(a-b)=a2-a·b
=(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4.
(2)∵a+b=(-1，2)+(3，2)=(2，4)，
2a-b=2(-1，2)-(3，2)=(-2，4)-(3，2)=(-5，2)，
∴(a+b)·(2a-b)=(2，4)·(-5，2)=2×(-5)+4×2=-2.
(3)(a·b)c=[(-1，2)·(3，2)](2，1)
=(-1×3+2×2)(2，1)=(2，1).
a(b·c)=(-1，2)[(3，2)·(2，1)]
=(-1，2)(3×2+2×1)=8(-1，2)=(-8，16).
例2　【解析】(1)当m=2时，设=x+y=(2，3)，
则解得
即=-+.
(2)由题意得=-=(1，2)，=-=(m-3，2).
因为⊥，所以·=0，
即1×(m-3)+2×2=0，解得m=-1.
巩固训练1　【解析】(1)由题意可设a=λb=(λ，2λ)(λ>0).
∵a·b=10，∴λ+4λ=10，解得λ=2，∴a=(2，4).
(2)∵a·c=2×2+(-1)×4=0，
∴(a·c)b=0.
巩固训练2　【解析】设点D的坐标为(x，y)，则=(x-2，y+1)，=(-6，-3)，=(x-3，y-2).
∵点D在直线BC上，即与共线，
∴存在实数λ，使=λ，
即(x-3，y-2)=λ(-6，-3)，
∴
∴x-3=2(y-2)，即x-2y+1=0.　①
∵AD⊥BC，∴·=0，
即(x-2，y+1)·(-6，-3)=0，
∴-6(x-2)-3(y+1)=0，
化简得2x+y-3=0.　②
由①②可得∴D(1，1).
故点D的坐标为(1，1).
探究2　情境设置
问题1：a=(x2-x1，y2-y1)，
|a|=.
问题2：cos θ==.
问题3：设与a共线的单位向量为a0，则a0=±a=±，=±，，其中正号、负号分别表示与a同向、反向.
易知b=(-y，x)和a=(x，y)垂直，
所以与a垂直的单位向量b0的坐标为±，.
新知运用
例3　【解析】∵a=(3，5)，b=(-2，1)，
∴a-2b=(3，5)-2(-2，1)=(3+4，5-2)=(7，3)，
∴|a-2b|==.
例4　C　【解析】由题意得，=(-3，4-a)，=(-1，-a)，
则·=(-3，4-a)·(-1，-a)=3-4a+a2<0，解得1且与不共线，即3a+4-a≠0，解得a≠-2，
综上，a∈(1，3)，故选C.
巩固训练1　C　【解析】∵a=(2，1)，∴a2=5.
∵|a+b|=5，∴(a+b)2=50，
即a2+2a·b+b2=50，
∴5+2×10+b2=50，∴b2=25，∴|b|=5.
巩固训练2　【解析】∵a=(1，-1)，b=(λ，1)，
∴|a|=，|b|=，a·b=λ-1.
又∵a，b的夹角α为钝角，
∴即
解得λ<1且λ≠-1.
∴实数λ的取值范围是(-∞，-1)∪(-1，1).
探究3
新知运用
例5　【解析】任取m=(1，1)，因为m·n=0，所以m⊥，根据点到直线的距离的向量公式可得，点P(-1，-1)到直线AB的距离为·=(-2，-2)·，=2.
巩固训练　【解析】因为=(-1，1)，所以可取n=(1，1)，使得·n=0，即n⊥，根据点到直线的距离的向量公式可得，点C到直线AB的距离为·=(2，2)·，=2.
探究4
例6　　【解析】
以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(，0)，D(0，2)，C(，2)，E(，1).
设F(x，2)，因为·=(，0)·(x，2)=x=，解得x=1，
所以·=(，1)·(1-，2)=.
巩固训练　C　【解析】(法一)由∠C=，AB=4，AC=2，得CB=2，·=0.故·=(+)·=·+·=(-)·==18.
(法二)如图，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，
则C(0，0)，A(2，0)，B(0，2).由题意得∠CBA=，又=，所以D(-1，3)，则·=(-1，3)·(0，2)=18.
随堂检测·精评价
1.A　【解析】由题意知2a+b=(3，0)，则(2a+b)·a=(3，0)·(2，-1)=6，故选A.
2.A　【解析】因为向量a=(4，3-m)，b=(1，m)的夹角为锐角，所以a·b>0，即m2-3m-4<0，解得-1综上可知，实数m的取值范围是-1，∪，4.
3.2　【解析】易知|a|=1，a·b=|a||b|cos =1×2×=1，
∴|2a-b|====2.
4.【解析】(1)设a与b的夹角为θ.
∵a·b=4×(-1)+3×2=2，
|a|==5，|b|==，
∴cos θ===.
(2)∵a-λb=(4+λ，3-2λ)，2a+b=(7，8)，
(a-λb)⊥(2a+b)，
∴(a-λb)·(2a+b)=7(4+λ)+8(3-2λ)=0，
解得λ=.