2.5.3 利用数量积计算长度与角度 学案（含答案） 2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

2.5.3 利用数量积计算长度与角度
【学习目标】
1.进一步理解平面向量数量积的含义、几何意义.(数学抽象)
2.能运用数量积的运算性质和运算律计算长度、夹角等问题.(数学运算)
【课前检测】
1.已知向量a=(1，)，b=(3，m).若向量a，b的夹角为，则实数m=(　　).
A.2 B.
C.0 D.-
2.已知a=(-1，)，|b|=2，b·(a-b)=-7，则a与b的夹角的大小是(　　).
A. B.
C. D.
3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，且AC=BC=3，点M满足=2.
(1)用，表示向量；
(2)求||.
【题型探究】
　求向量的长度
如图，四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F.求证：AF=AE.
【方法总结】求向量的长度的两种基本策略：(1)字母表示向量的运算，利用|a|2=a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题；(2)坐标表示向量的运算，若a=(x，y)，则a·a=a2=|a|2=x2+y2，于是有|a|=.
已知=(4，0)，=(2，2)，=(1-λ)+λ(λ2≠λ).
(1)求·及在上的投影数量；
(2)证明A，B，C三点共线，并求当=时，实数λ的值；
(3)求||的最小值.
　求向量夹角
在四边形ABCD中，已知A(0，0)，B(4，0)，C(3，2)，D(1，2).
(1)判断四边形ABCD的形状；
(2)若=2，求向量与夹角的余弦值.
【变式设问】将本例(2)改为“若=λ，且向量与的夹角为钝角，求λ的取值范围”.
【方法总结】用数量积求解向量夹角的一般步骤：(1)利用平面向量数量积的坐标表示求出两向量的数量积；(2)求出两向量的模；(3)由公式cos θ=，计算cos θ的值；(4)在[0，π]内，由cos θ的值确定角θ.
已知a=(1，2)，b=(-2，-4)，|c|=.
(1)求|a+2b|；
(2)若(a+b)·c=，求向量a与c的夹角.
　向量的综合应用
在平面直角坐标系xOy中，已知向量=(6，1)，=(x，y)，=(-2，-3)，且∥.
(1)若已知M(1，1)，N(y+1，2)，y∈[0，2]，求·的范围；
(2)若⊥，求四边形ABCD的面积.
【方法总结】用向量解决平面几何问题的步骤：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
已知函数f(x)为二次函数，O(0，0)，A(-2，1)，B(2，1)分别为函数f(x)图象上的三点，M为f(x)图象上的任意一点.
(1)求·的最小值；
(2)若PQ是以AB为直径的圆的一条直径，求·的取值范围.
【强化训练】
1.已知向量a=(1，n)，b=(-1，n)，若2a-b与b垂直，则|a|等于(　　).
A.1 B. C.2 D.4
2.已知a=(3，-1)，b=(1，-2)，则a与b的夹角的大小为　　　　.
3.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，O是原点，已知点A(16，12)，B(-5，15).
(1)求||，||；
(2)求∠OAB.
参考答案
课时4　利用数量积计算长度与角度
课前检测·查基础
1.B　【解析】因为a·b=(1，)·(3，m)=3+m，
又a·b=××cos，
所以3+m=××cos，所以m=.
2.D　【解析】由b·(a-b)=-7得a·b-b2=-7，即有a·b=-7+b2=-3，而a=(-1，)，则|a|==，
于是cos===-，又0≤≤π，解得=，
所以a与b的夹角的大小是.故选D.
3.【解析】(法一)(1)=+=+=+-=+.
(2)||2=+2=+·+=||2+0+||2=×32+×32=5，
∴||=.
(法二)如图，建立平面直角坐标系，
由题意知，A(3，0)，B(0，3).
设M(x，y)，由=2，得(x，y-3)=2(3-x，-y)，
∴∴
∴M(2，1).
(1)设=λ1+λ2，可求出λ1=，λ2=，
∴=+.
(2)∵=(2，1)，∴||==.
题型探究·悟思路
探究1
例1　【解析】如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，则A(-1，1)，B(0，1).
设E(x，y)，则=(x，y-1)，=(1，-1).
∵∥，∴-x-1×(y-1)=0，
∴x+y-1=0.
∵||=||，∴x2+y2-2=0.
由得或(舍去)，
∴E，.
设F(x'，1)，则由=(x'，1)和=，共线，得x'-=0，解得x'=-2-，∴F(-2-，1)，∴=(-1-，0)，=，-，
∴||==1+=||，
∴AF=AE.
针对训练　【解析】(1)由题意知·=8，
设与的夹角为θ，
则cos θ===，
所以在上的投影数量为||cos θ=4×=2.
(2)=-=(-2，2)，=-=(1-λ)-(1-λ)=(λ-1)，
因为与有公共点B，所以A，B，C三点共线.
当=时，λ-1=1，所以λ=2.
(3)||2=(1-λ)2+2λ(1-λ)·+λ2
=16λ2-16λ+16=16λ-2+12，
所以当λ=时，||取到最小值，最小值为2.
探究2
例2　【解析】(1)因为=(2，0)，=(4，0)，所以=2.
又因为||==，||==，
所以四边形ABCD是等腰梯形.
(2)设E(x，y)，所以=(x，y)，=(3-x，2-y).
因为=2，所以解得
所以=2，-，=1，.
设向量与的夹角为θ，
则cos θ===，
故向量与夹角的余弦值为.
变式设问　提示　设E(x，y)，所以=(x，y)，=(3-x，2-y)，
因为=λ，所以解得
所以=4-，-，
=3-，2-.
由(t为实数)，解得λ>12.
针对训练　【解析】(1)∵a+2b=(1，2)+2(-2，-4)=(-3，-6)，
∴|a+2b|==3.
(2)∵b=(-2，-4)=-2(1，2)=-2a，
∴a+b=-a，∴(a+b)·c=-a·c=.
设a与c的夹角为θ，则cos θ===-.
∵0≤θ≤π，∴θ=π，即a与c的夹角为.
探究3
例3　【解析】(1)由题意得=++=(x+4，y-2)，
因为∥，=(x，y)，所以(x+4)y-(y-2)x=0，
即x+2y=0.
因为·=(x+1)y=(-2y+1)y=-2y2+y=-2y-2+，y∈[0，2]，
所以·的取值范围是-6，.
(2)由题意得=+=(x+6，y+1)，=+=(x-2，y-3).
因为⊥，
所以(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0，
即x2+y2+4x-2y-15=0.
由
解得或
当时，=(8，0)，=(0，-4)，
S四边形ABCD=|AC||BD|=16；
当时，=(0，4)，=(-8，0)，
S四边形ABCD=|AC||BD|=16.
故四边形ABCD的面积为16.
针对训练　【解析】(1)根据题意，设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，代入O，A，B三点的坐标可得
解得所以f(x)=x2.
设M(x，y)，则=(-2-x，1-y)，=(2-x，1-y)，x2=4y，
所以·=x2-4+(y-1)2=(y+1)2-4.
因为y≥0，所以(y+1)2≥1.
所以·≥-3，当y=0时，等号成立.
故·的最小值为-3.
(2)设AB的中点(0，1)为D，
因为PQ为圆D的直径，所以|PQ|=|AB|=4，=-，
则=+，=+=-，
所以·=(+)·(-)=||2-||2=||2-4，
因为||2=x2+(y-1)2=(y+1)2≥1，当y=0时等号成立，
所以||2-4≥-3，所以·的取值范围为[-3，+∞).
强化训练·精评价
1.C　【解析】∵(2a-b)·b=2a·b-|b|2=2(-1+n2)-(1+n2)=n2-3=0，∴n=±，∴|a|==2.
2.　【解析】设a与b的夹角的大小为θ，
则cos θ==，
又θ∈[0，π]，所以θ=.
3.【解析】(1)由=(16，12)，
=-=(-21，3)，
得||==20，||==15.
(2)因为cos∠OAB=cos<，>=，
又·=-·
=-(16，12)·(-21，3)
=-[16×(-21)+12×3]=300，
所以cos∠OAB==，
故∠OAB=45°.