2.6.1 余弦定理 同步学案（含答案） 2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

2.6.1 余弦定理
【学习目标】
1.了解向量法证明余弦定理的推导过程.(逻辑推理)
2.掌握余弦定理及其推论，并能用其解决一些简单的三角形度量问题.(数学运算)
3.能运用余弦定理判断三角形的形状.(逻辑推理)
【自主预习】
1.在a2=b2+c2-2bccos A中，若A=90°，公式会变成什么
2.在△ABC中，“A>90°” “a23.在三角形中，大边对大角，小边对小角，正确吗
4.利用余弦定理可以解决哪两类三角形问题
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在△ABC中，已知两边及夹角时，△ABC不一定唯一. (　　)
(2)在△ABC中，三边一角随便给出三个，可求其余一个. (　　)
(3)在△ABC中，若a2+b2-c2=0，则角C为直角. (　　)
(4)在△ABC中，若a2+b2-c2>0，则角C为钝角. (　　)
2.在△ABC中，已知a=9，b=2，C=150°，则c=(　　).
A. B.8 C.10 D.7
3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=，c=2，cos A=，则b=(　　).
A. B. C.2 D.3
4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2-c2+b2=ab，则cos C=　　　　.
【合作探究】
　余弦定理
问题1：在初中数学学习中，判定三角形全等的方法有哪些
问题2：给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的吗 为什么 你能用数学知识解释一下吗
问题3：已知三角形的两边a，b及它们的夹角C，如何求第三边c
问题4：余弦定理的适用范围、结构特征是什么
1.余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍，即a2= ，b2= ，c2= .
2.余弦定理的推论
cos A= ，cos B= ，
cos C= .
3.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫作三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作 .
在△ABC中，AB=2，D为AB的中点，若BC=DC=，则AC的长为　　　　.
【方法总结】对余弦定理的理解
(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立.
(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”.
(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系.
(4)主要功能：实现三角形中边角关系的互化.
在△ABC中，角A，B，C的对边边长分别为a=3，b=4，c=6，则bccos A+accos B+abcos C的值为　　　　.
　余弦定理及其推论的应用
问题：已知三角形的两边及其夹角，三角形的其他元素是否唯一确定 利用余弦定理可解决哪几类三角形问题
运用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题：一类是已知 解三角形，另一类是已知 解三角形.
(1)在△ABC中，已知b=3，c=2，A=30°，求a；
(2)在△ABC中，已知b=3，c=3，B=30°，求角A，角C和边a.
【方法总结】已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边.
在△ABC中，若AB=，AC=5，且cos C=，则BC=　　　　.
在△ABC中，a=1，b=2，cos C=，则c=　　　　，cos A=　　　　.
在△ABC中，已知a=2，b=6+2，c=4，求最小角的大小.
　利用余弦定理判断三角形的形状
在△ABC中，已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab，且sin A=sin B，试确定△ABC的形状.
【方法总结】由余弦定理的推论cos A=可以看出：若①a2=b2+c2，则cos A=0，A=90°；若②a20，A<90°；若③a2>b2+c2，则cos A<0，A>90°.故余弦定理可以视为勾股定理的推广形式，从①和③式可判断三角形是直角或钝角三角形，由②式判断不出三角形的形状，还要考虑B或C的大小.利用余弦定理判断三角形的形状是利用余弦定理或推论把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等方法得出边或角的相应关系，从而判断出三角形的形状.利用余弦定理判断三角形形状的过程也体现了逻辑推理的素养的渗透与养成.
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2=bccos A+cacos B+abcos C，则△ABC是 三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)
【随堂检测】
1.已知a，b，c是△ABC的三边长，若满足等式(a+b-c)(a+b+c)=ab，则角C的大小为(　　).
A.60° B.90° C.120° D.150°
2.在△ABC中，a=7，b=4，c=，则△ABC的最小角的大小为(　　).
A. B. C. D.
3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC(　　).
A.一定是锐角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形
D.可能是锐角三角形，也可能是直角三角形
4.已知a，b，c为△ABC的三边，B=120°，则a2+c2+ac-b2=　　　　.
参考答案
课时1　余弦定理
自主预习·悟新知
预学忆思
1.公式会变成a2=b2+c2，即勾股定理.
2.不成立，应是b2+c23.正确.
4.(1)已知三边，求各角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角.
自学检测
1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.D　【解析】由余弦定理得c
===7.
故选D.
3.D　【解析】由余弦定理得5=b2+4-2×b×2×，解得b=3或b=-(舍去).故选D.
4.　【解析】∵a2-c2+b2=ab，∴c2=a2+b2-ab.
又∵c2=a2+b2-2abcos C，
∴2cos C=1，∴cos C=.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：在初中数学学习中，判定三角形全等的方法有SSS，SAS，ASA，AAS，HL.
问题2：因为两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(SAS)，所以给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的.
问题3：因为涉及三角形的两边长和它们的夹角，所以可以考虑用向量的数量积来求，即c2=||2=(-)2=+-2·=a2+b2-2abcos C.
问题4：余弦定理对任意的三角形都成立；结构特征：“平方”“夹角”“余弦”.
新知生成
1. b2+c2-2bccos A　a2+c2-2accos B　a2+b2-2abcos C
2.　　
3.解三角形
新知运用
例1　2　【解析】在△BCD中，BC=DC=，BD=AB=1，由余弦定理的推论，得cos B===.
在△ABC中，由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=4+2-2×2××=4，解得AC=2，所以AC的长为2.
巩固训练　　【解析】原式=bc·+ac·+ab·==.
探究2　情境设置
问题：由余弦定理可知，不妨设a，b边和其夹角C已知，则c2=a2+b2-2abcos C，c唯一，cos B=，因为0新知生成
两边及其夹角　三边
新知运用
例2　【解析】(1)由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos A=32+(2)2-2×3×2×cos 30°=3，所以a=.
(2)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B，得32=a2+(3)2-2a×3×cos 30°，
即a2-9a+18=0，解得a=3或a=6.
当a=3时，A=30°，C=120°；
当a=6时，由余弦定理得cos A==0，A=90°，C=60°.
巩固训练1　4或5　【解析】由余弦定理得()2=52+BC2-2×5×BC×，
所以BC2-9BC+20=0，解得BC=4或BC=5.
巩固训练2　2　　【解析】根据余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=12+22-2×1×2×=4，解得c=2.由a=1，b=2，c=2，得cos A==.
巩固训练3　【解析】易知a根据余弦定理的推论，得cos A===.
∵A∈(0°，180°)，∴A=30°，
∴最小角的大小为30°.
探究3
例3　【解析】∵sin A=sin B，A与B均为△ABC的内角，∴A=B.
由(a+b+c)(a+b-c)=3ab，得(a+b)2-c2=3ab，
∴a2+b2-c2=ab，
∴cos C=，C=60°，∴△ABC为等边三角形.
巩固训练　直角　【解析】由余弦定理得c2=bc·+ac·+ab·，
整理得c2=a2+b2，∴△ABC是直角三角形.
随堂检测·精评价
1.C　【解析】由(a+b-c)(a+b+c)=ab，得(a+b)2-c2=ab，∴a2+b2+ab=c2=a2+b2-2abcos C，∴cos C=-，∴△ABC的内角C=120°.
2.B　【解析】由三角形的边角关系可知，角C为△ABC的最小角，则cos C===，所以C=.
3.C　【解析】由>0，得cos C<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形.
4.0　【解析】∵b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-2accos 120°=a2+c2+ac，∴a2+c2+ac-b2=0.