2.6.2 正弦定理 同步学案（含答案） 2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

2.6.2 正弦定理
【学习目标】
1.了解正弦定理的推导过程.(逻辑推理)
2.掌握正弦定理并能解决一些简单的三角形问题.(数学运算)
【自主预习】
1.如图，在Rt△ABC中，，，存在什么关系
2.在一般的△ABC中，==还成立吗
3.在正弦定理中，三角形的各边与其所对角的正弦的比都相等，那么这个比值等于多少 与该三角形外接圆的直径有什么关系
4.已知三角形的两边及其夹角，为什么不必考虑解的个数
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦定理对任意的三角形都成立. (　　)
(2)在△ABC中，等式bsin C=csin B总能成立. (　　)
(3)在△ABC中，已知a，b，A，则能求出唯一的角B. (　　)
(4)任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素. (　　)
2.在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则sin B=(　　).
A. B. C. D.
3.在△ABC中，A=30°，a=3，b=2，则这个三角形有(　　).
A.一解 B.两解
C.无解 D.无法确定
4.已知△ABC的外接圆半径为2，A=60°，则BC边的长为　　　　.
【合作探究】
　正弦定理
如图，在Rt△ABC中，A=30°，斜边c=2.
问题1：试求△ABC其他的边和角，计算，，的值，从中你能发现什么结论吗
问题2：对于其他的直角三角形，此结论是否成立呢 是否能够猜测，此结论对于其他的锐角和钝角三角形都成立呢
1.正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即= = = .
2.正弦定理的变形
设三角形的三边长为a，b，c，外接圆的半径为R，正弦定理有如下变形：
(1)a=2Rsin A，b= ，c= ；
(2)sin A=，sin B= ，sin C= ；
(3)a∶b∶c=sin A∶ ∶ ；
(4)===.
(1)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=2asin B，则角A等于(　　).
A.30° B.45° C.60° D.75°
(2)在△ABC中，A∶B∶C=4∶1∶1，则a∶b∶c=(　　).
A.4∶1∶1 B.2∶1∶1
C.∶1∶1 D.∶1∶1
【方法总结】对正弦定理的理解
(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立.
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式.
(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系.
(4)主要功能：实现三角形中边角关系的转化.
在△ABC中，若=，则B的值为　　　　.
在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b=a，B=60°，则A=　　　　.
　利用正弦定理解三角形
木工张师傅的一个三角形形状的模型坏了，只剩下如图所示的部分，A=47°，B=53°，AB长为1 m，张师傅想修好这个零件，但他不知道AC和BC的长度是多少，你能帮张师傅这个忙吗
问题：完成情境中的问题求解.
利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：
(1)已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角.
在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，求A，b，c.
【方法总结】在解三角形时，常用到以下结论：
(1)a+b>c，b+c>a，a+c>b，即任意两边之和大于第三边.
(2)在△ABC中，①sin A=sin B A=B a=b，②cos A=cos B A=B a=b，③cos A>cos B A(3)在△ABC中，A>B a>b sin A>sin B，即大角对大边，大边对大角.
(4)三角形内角和定理及相关结论：A+B+C=π，A+B=π-C，=-，sin(A+B)=sin C，cos(A+B)=-cos C，sin =cos ，cos =sin .
(5)在锐角△ABC中，A+B> A>-B sin A>cos B cos A(6)若sin 2A=sin 2B，则A=B或A+B=.
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，则A=　　　　.
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=，b=，B=120°，则a=　　　　.
　三角形解的个数的判断
在△ABC中，a=9，b=10，A=60°.
问题：你能判断三角形解的个数吗
已知三角形的两角和任意一边，求其他两边和第三个角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定.以已知a，b和A解三角形为例说明：
图形 关系式 解的个数
A 为 锐 角 ①a=bsin A； ②a≥b
bsin A无解
(1)已知在△ABC中，b=4，c=2，C=30°，那么解此三角形可得(　　).
A.一解 B.两解
C.无解 D.解的个数不确定
(2)在△ABC中，已知a=5，c=10，A=30°，则B=　　　　.
【方法总结】1.已知三角形的两角与其中一边，可用正弦定理求出三角形的其他元素，此类题有唯一解.
2.已知三角形的两边和其中一边所对的角，三角形形状一般不确定.用正弦定理求解时需判断是否有解，有一个解，还是两个解，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题.
已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答.
(1)a=10，b=20，A=80°；
(2)a=2，b=6，A=30°.
　利用正弦定理判断三角形的形状
在△ABC中，若sin A=2sin Bcos C，且sin2A=sin2B+sin2C，试判断△ABC的形状.
【方法总结】判断三角形的形状，可以从三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断.判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.利用正弦定理判断三角形形状的过程，也体现了逻辑推理素养的渗透与养成.
在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a2+b2)(sin Acos B-cos Asin B)=(a2-b2)·sin C，试判断三角形的形状.
【随堂检测】
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列各式正确的是(　　).
A.= B.=
C.asin B=bsin A D.=
2.在△ABC中，A=60°，a=4，b=4，则B等于(　　).
A.45°或135° B.135°
C.45° D.以上答案都不对
3.在△ABC中，a=bsin A，则△ABC一定是(　　).
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=2，B=45°.若利用正弦定理解△ABC仅有唯一解，则a的取值范围是　　　　　　　.
参考答案
课时2　正弦定理
自主预习·悟新知
预学忆思
1.===c.
2.在一般的△ABC中，==仍然成立.
3.等于2R(R为该三角形外接圆的半径)，与该三角形外接圆的直径相等.
4.如果两个三角形有两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等.即三角形的两边及其夹角确定时，三角形的六个元素即可完全确定，故不必考虑解的个数的问题.
自学检测
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2.A　【解析】由于=，故=，解得sin B=.故选A.
3.A　【解析】∵b4.2　【解析】因为=2R(R为△ABC的外接圆半径)，所以BC=2Rsin A=4sin 60°=2.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：B=60°，C=90°，a=1，b=；=2，=2，=2，三者的值相等.
问题2：
对于其他的直角三角形结论成立.如图，在Rt△ABC中，sin A=，sin B=，∴=c，=c.
∵sin C=1，∴==.
可以猜测，此结论对于其他的锐角或钝角三角形都成立.
新知生成
1.　　2R(R为外接圆半径)
2.(1)2Rsin B　2Rsin C　(2)　　(3)sin B　sin C
新知运用
例1　(1)A　(2)D　【解析】(1)∵b=2asin B，∴利用正弦定理的变式得sin B=2sin Asin B.
∵sin B≠0，A为锐角，∴sin A=，A=30°.
(2)∵A+B+C=180°，A∶B∶C=4∶1∶1，∴A=120°，B=30°，C=30°.由正弦定理的变形公式得a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=sin 120°∶sin 30°∶sin 30°=∶∶=∶1∶1.
巩固训练1　45°　【解析】根据正弦定理知=，结合已知条件可得sin B=cos B，又0°巩固训练2　30°　【解析】∵b=a，∴sin B=sin A.
又∵B=60°，∴=sin A，
∴sin A=，∴A=30°或A=150°，
又∵b=a>a，∴A=30°.
探究2　情境设置
问题：C=180°-A-B=80°，利用正弦定理==，可得BC==，AC==，利用计算器计算相关三角函数值可求出BC，AC的长度.
新知运用
例2　【解析】A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°.
由=，得b===4，
由=，得c====4+4.
故A=45°，b=4，c=4+4.
巩固训练1　75°　【解析】由题意得=，所以sin B===.因为b巩固训练2　　【解析】在△ABC中，由正弦定理，得=，所以sin C==，所以C=30°或C=150°(舍去)，所以A=30°，所以a=c=.
探究3　情境设置
问题：因为sin B=sin A=×=，而<<1，所以60°新知生成
一解　两解　a新知运用
例3　 (1)C　 (2)105°或15°　【解析】(1)∵c=2，bsin C=2，∴c(2)根据正弦定理=，得sin C===.∴C=45°或C=135°.当C=45°时，B=105°；当C=135°时，B=15°.
巩固训练　【解析】(1)∵bsin A=20sin 80°>20sin 60°=10，∴a(2)∵bsin A=6sin 30°=3，a>bsin A，∴bsin A∴本题有两解.
由正弦定理得sin B===.又∵0°当B=60°时，C=90°，c===4；
当B=120°时，C=30°，c===2.
探究4
例4　【解析】根据正弦定理，得==，
∵sin2A=sin2B+sin2C，∴a2=b2+c2，∴A是直角，B+C=90°，
∴2sin Bcos C=2sin Bcos(90°-B)=2sin2B=sin A=1，
∴sin B=.
∵0°∴△ABC是等腰直角三角形.
巩固训练　【解析】由正弦定理和余弦定理得(a2+b2)a·-·b=(a2-b2)·c，
化简得(a2+b2)(a2-b2)=c2(a2-b2)，
所以(a2+b2-c2)(a2-b2)=0，即a2+b2=c2或a=b，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.
随堂检测·精评价
1.C　【解析】在△ABC中，由正弦定理得==，
∴asin B=bsin A，==，故A，B，D错误，C正确.
2.C　【解析】∵sin B===，∴B=45°或B=135°.但当B=135°时，不符合题意，∴B=45°.
3.B　【解析】由正弦定理和a=bsin A，得sin A=sin Bsin A，易得sin A≠0，所以sin B=1，所以B=.
4.(0，2]∪{2}　【解析】由正弦定理得==2，所以a=2sin A，
因为B=45°，所以A+C=180°-45°=135°，
因为△ABC仅有唯一解，所以A，C的值确定.
当A≤45°时，C≥90°，△ABC仅有唯一解，此时0当A=90°时，C=45°，△ABC仅有唯一解，此时a=2；
当45°综上，a的取值范围是(0，2]∪{2}.