2.6.3 利用余弦定理和正弦定理解三角形 学案（含答案） 2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

2.6.3 利用余弦定理和正弦定理解三角形
【学习目标】
1.能够解决平面几何中的解三角形问题.(直观想象)
2.初步解决正、余弦定理与向量等知识的综合问题.(逻辑推理)
3.能够解决与三角形有关的最值(取值范围)问题.(数学运算)
【课前检测】
1.在△ABC中，已知∠ABC=，AB=，BC=3，则sin∠BAC=(　　).
A. B. C. D.
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=，b=3，c=2，则·=(　　).
A.10 B.12 C.10 D.12
3.在△ABC中，若b=2，A=120°，其面积S=，则△ABC外接圆的半径为(　　).
A. B.2 C.2 D.4
4.在△ABC中，a=2b-c，sin B=2sin C，则cos A的值为　　　　.
【题型探究】
　平面几何中的解三角形问题
如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC=，AB⊥AD，AB=1，AC=.
(1)求△ABC的面积；
(2)若∠ADC=，求CD的长.
【方法总结】求解与平面图形有关的解三角形问题的关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系.
已知在△ABC中，D是边BC上一点，AD=，∠ADC=，∠ACD=.
(1)求AC的长；
(2)若AB=，求△ABC的面积.
　平面向量与正弦定理、余弦定理的综合
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD为∠BAC的平分线，且满足4-3=，AD=.
(1)若BD=，c=，求∠BAC的大小；
(2)若4c+a=8，求△ABC的面积.
【方法总结】正、余弦定理将三角形中的边和角的关系进行了量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题.(1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解.(2)解三角形与其他知识的交汇问题，可以运用三角形的基础知识，正、余弦定理，三角形面积公式与三角恒等变换，通过等价转化或构造方程及函数求解.
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m=(sin A，sin B)，n=(cos A，cos B)，p=2，2sin A，m∥n，|p|=，求角A，B，C的值.
　解三角形中的最值(取值范围)问题
已知函数f(x)=sin2x++.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)=，b+c=3，求a的最小值.
【方法总结】在解答与解三角形有关的最值(取值范围)问题时，要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题.在解题过程中，要搞清已知变量的取值范围，利用已知的取值范围进行求解，已知边的取值范围求角的取值范围时，可以利用余弦定理进行转化.
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btan A，且B为钝角.
(1)证明：B-A=.
(2)求sin A-2sin2A的取值范围.
【强化训练】
1.在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且b2=ac，a+c=3，cos B=，则·=(　　).
A. B.- C.3 D.-3
2.已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos A=，a=7，c=6，则b=(　　).
A.10 B.9 C.8 D.5
3.在△ABC中，已知A=105°，B=30°，BC=，BD为角B的平分线，则BD的长度为(　　).
A. B. C.1 D.2
4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=，b=1，C=120°.
(1)求B的大小；
(2)求△ABC的面积S.
参考答案
课时3　利用余弦定理和正弦定理解三角形
课前检测·查基础
1.C　【解析】由余弦定理得AC==，由正弦定理得=，所以sin∠CAB==.
2.B　【解析】由余弦定理得cos A===，所以·=||||cos A=12.
3.B　【解析】∵S=bcsin A，∴=×2csin 120°，∴c=2，
∴a=
= =2，
设△ABC外接圆的半径为R，∴2R===4，
∴R=2.
4.　【解析】由sin B=2sin C以及正弦定理，得b=2c.
又因为a=2b-c=3c，所以a=c.
由余弦定理的推论，得cos A===.
题型探究·悟思路
探究1
例1　【解析】(1)在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC，
即5=1+BC2+BC，解得BC=，
所以△ABC的面积S=AB·BC·sin∠ABC=×1××=.
(2)设∠CAD=θ，则θ=-∠BAC，所以sin θ=cos∠BAC.
又因为cos∠BAC===，
所以sin θ=.
在△ACD中，由正弦定理得=，即=，
所以CD===4.
针对训练　【解析】(1)∵∠ADC=，∠ACD=，AD=，
∴在△ADC中，=，
即=，
∴AC=.
(2)在△ABC中，AB=AC=，∠ACD=，
∴△ABC为等腰直角三角形，
故△ABC的面积为AB·AC=××=.
探究2
例2　【解析】由4-3=，可得=4，
在△ABD中，由正弦定理得=，
在△ACD中，由正弦定理得=，
又AD平分∠BAC，∴AC=3AB，即b=3c(也可由角平分线定理直接得到)，
令BD=m，则CD=3m.
(1)由m=，c=，得b=3c=4，a=4m=，
由余弦定理可得cos∠BAC==，
∵∠BAC为三角形内角，∴∠BAC=60°.
(2)在△ABD中，由余弦定理可得cos B=，
在△ABC中，由余弦定理可得cos B=，
化简得c2=m2+1.
由4c+a=8，可得c=2-m，
∴c2=m2-4m+4，∴m=，
∴a=3，b=，c=，
∴cos B===-，
sin B=，
∴S△ABC=acsin B=×3××=.
针对训练　【解析】∵m∥n，∴sin Acos B=sin Bcos A.
由正弦定理和余弦定理得a·=b·，
∴a=b，∴A=B，
而p2=|p|2=4cos A+4sin2A=5，
∴4cos A+4(1-cos2A)=5，
∴4cos2A-4cos A+1=0，∴(2cos A-1)2=0，
∴cos A=.又0∴A=B=C=.
探究3
例3　【解析】 由题意得f(A)=sin2A++=，
∴sin2A+=.
∵A∈(0，π)，∴2A+∈，，
∴2A+=，解得A=.
在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos=(b+c)2-3bc.
∵b+c=3，∴(b+c)2-3bc=9-3b(3-b)=3b-2+≥，当b=时取等号，即a2≥，∴a的最小值为.
针对训练　【解析】(1)由a=btan A及正弦定理，得==，
所以sin B=cos A，即sin B=sin+A.
因为B为钝角，所以A为锐角，所以+A∈，π，则B=+A，即B-A=.
(2)由(1)知，C=π-(A+B)=π-2A+=-2A>0，所以A∈0，.
于是-2sin2A+sin A=-2sin A-2+.
因为0因此-1<-2sin A-2+≤.
由此可知sin A-2sin2A的取值范围是-1，.
强化训练·精评价
1.B　【解析】由b2=ac，a+c=3，cos B=，
得==，
解得ac=2，
则·=ac·cos(π-B)
=2×-=-.
2.D　【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，即49=b2+36-2×b×6×，
整理得5b2-12b-65=0，解得b=5或b=-(舍去).
3.C　【解析】如图，
在△BCD中，∠CBD=15°，∠C=45°，∠CDB=120°，
∵=，
∴BD===1.
4.【解析】(1)由正弦定理=，得sin B===，
因为b(2)因为A+B+C=180°，
所以A=180°-120°-30°=30°，
所以S△ABC=bcsin A=×1××=.