2.6.5 平面向量在几何中的应用举例 学案（含答案）2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

2.6.5 平面向量在几何中的应用举例
【学习目标】
1.会用向量法解决简单的平面几何问题，体会向量在数学问题中的作用.(数学抽象)
2.掌握用向量知识解决一些简单的平面几何问题的方法和步骤.(逻辑推理)
3.学会选择恰当的方法，将几何问题转化为向量问题.(直观想象)
【自主预习】
1.如何用向量的方法判断两条直线平行或垂直
2.如何用向量的方法求两条直线的夹角
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若B是线段AC的中点，则有+=2. (　　)
(2)若∥，则直线AB与CD平行. (　　)
(3)若∥，则A，B，C三点共线. (　　)
(4)若△ABC为直角三角形，则有·=0. (　　)
2.在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(-4，7)，则BC边的中线AD的长是(　　).
A.2 B. C.3 D.
3.在△ABC中，若(+)·(-)=0，则△ABC(　　).
A.是正三角形 B.是直角三角形
C.是等腰三角形 D.形状无法确定
4.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的两端点分别为O(0，0)，B(1，1)，则·=　　　　.
【合作探究】
　平面向量在几何中的应用
如图所示，某水渠横断面是四边形ABCD，=，且||=||.
问题1：如何判断这个四边形的形状
问题2：对于结论“若a=b，则|a|=|b|，且a，b所在直线平行或重合”，你有什么体会
问题3：把直角三角形两直角边与斜边的数量关系类比到矩形中，你能发现矩形两对角线长度与两邻边长度之间的关系吗
用向量法解决平面几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用 表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为 问题.
(2)通过 运算，研究几何元素之间的关系，解决距离、夹角等问题.
(3)把 “翻译”成几何关系.
已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E为AB的中点，点F在BC上，且BF∶FC=2∶1，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积.
【方法总结】用向量法解决平面几何问题的两种方法
(1)几何法：选取适当的一组基(基中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算.(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行、夹角等问题转化为代数运算问题.
如图，在平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC的长.
　用向量法证明几何问题
如图所示，P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点，且AB∥CD.
(1)试用向量证明：PQ∥AB.
(2)若AB=3CD，求PQ∶AB的值.
【方法总结】利用向量法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量法解决平面几何问题时，有两种思路：一种是选择一组基，利用基向量表示涉及的向量；另一种是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标.这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明.
已知四边形ABCD为正方形，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P，连接AP.用向量法证明：
(1)BE⊥CF；
(2)AP=AB.
【随堂检测】
1.已知平面内四边形ABCD和点O，若=a，=b，=c，=d，且a+c=b+d，则四边形ABCD为(　　).
A.菱形 B.梯形
C.矩形 D.平行四边形
2.已知在△ABC中，=a，=b，且a·b<0，则△ABC(　　).
A.为钝角三角形 B.为直角三角形
C.为锐角三角形 D.形状不能确定
3.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，·=2，则·的值是　　　　.
4.已知△ABC是直角三角形，CA=CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE=2EB.求证：AD⊥CE.
参考答案
课时5　平面向量在几何中的应用举例
自主预习·悟新知
预学忆思
1.两条直线的方向向量共线时，两条直线平行或重合；两条直线的方向向量垂直时，两条直线垂直.
2.求两条直线的方向向量所成的角.
自学检测
1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2.B　【解析】由题意得BC的中点为D，6，=-，5，所以||=.
3.C　【解析】(+)·(-)=-=0，即||=||，∴CA=CB，则△ABC是等腰三角形.
4.1　【解析】由已知得A(1，0)，C(0，1)，所以=(0，1)，=(-1，1)，所以·=1.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：利用向量共线和向量模的定义，证明该四边形是等腰梯形.
问题2：可以用向量方法解决平面几何问题.
问题3：矩形两对角线的平方和等于四边的平方和.
新知生成
(1)向量　向量　(2)向量　(3)运算结果
新知运用
例1　【解析】
以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(0，0)，B(6，0)，C(6，6)，D(0，6)，F(6，4)，E(3，0).
设P(x，y)，则=(x，y)，=(6，4)，=(x-3，y)，=(3，6).
由点A，P，F共线，点C，P，E共线，
得
解得
∴S四边形APCD=S正方形ABCD-S△AEP-S△CEB
=6×6-×3×3-×3×6=.
巩固训练　【解析】设=a，=b，则=a-b，=a+b.
∵||=|a-b|==
==2，
∴5-2a·b=4，∴a·b=.
又||=|a+b|===，∴AC=.
探究2
例2　【解析】(1)∵Q为BD的中点，∴+=2.
∵P为AC的中点，∴=2，
∴2=2-2=+-=++=+.
∵向量与共线，∴=λ，
∴2=(1+λ)，∴=.　①
在梯形ABCD中，||≠||，∴λ≠-1，∴∥，即PQ∥AB.
(2)∵向量与方向相反，AB=3CD，
∴=-3.
由(1)可知，λ=-，代入①式，得==，
∴PQ∶AB=.
巩固训练　【解析】
如图，建立平面直角坐标系xOy，其中A为原点，设AB=2，
则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1).
(1)∵=-=(-1，2)，=-=(-2，-1)，
∴·=(-1)×(-2)+2×(-1)=0，
∴⊥，即BE⊥CF.
(2)设P(x，y)，则=(x，y-1)，=(x-2，y)，
由(1)知=(-2，-1)，=(-1，2)，
∵∥，∴-x=-2(y-1)，即x=2y-2.　①
同理，由∥，得y=-2x+4.　②
由①②解得即P，，
∴=2+2=4=，
∴||=||，即AP=AB.
随堂检测·精评价
1.D　【解析】由条件知+=+，则-=-，即=，∴四边形ABCD为平行四边形.
2.A　【解析】由条件知∠BAC为钝角，故△ABC为钝角三角形.
3.22　【解析】由=3，得==，=+=+，=-=+-=-.因为·=2，所以+·-=2，即-·-=2.又因为=25，=64，所以·=22.
4.【解析】以C为原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略).
设AC=a，则C(0，0)，A(a，0)，B(0，a)，D0，，Ea，a，所以=-a，，=a，a，
因为·=-a·a+·a=0，所以⊥，即AD⊥CE.