3.1.1 测量底部能到达的建筑物的高度 学案 2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

3.1.1 测量底部能到达的建筑物的高度
【学习目标】
1.结合测量工具，能用正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角形相似等知识解决生活中的一些测量高度的问题.(数学运算)
2.通过探究、动手操作，从实际问题中提取模型，经历发展和创造的过程，进一步拓展数学活动空间，发展运用数学的意识.(直观想象、数学建模)
【合作探究】
课题 测量建筑物的高度
本课题成员与分工(全班共分成了六组)，这是其中一组
成员姓名 分工 主要工作与贡献
学生甲、乙 测量
学生丙 计数
学生丁 计算
测量工具 测角器、皮尺和计算器
所需时间 1小时
测量的数学模型 AB是建筑物的高，CB是建筑物的影子，建筑物顶端A和影子C处的连线与建筑物影子的夹角∠ACB=α. 利用直角三角形的边角关系求高度，即建筑物的高h=atan α
测量数据和计算结果
测量 数据 项目 建筑物AB在地面的影长CB 角α 建筑物高度(保留两位小数)
第一次 18.1 58.2° 29.19
第二次 18.5 58.01° 29.62
平均 18.3 58.105° 29.41
与本次测量相关的待研究的问题： 测量建筑物高度的方法，除了上述方法外，其他组还用了下列方法进行测量，除此之外还有其他方法吗 (1)当备有长为l的木棍，且太阳斜照建筑物在地上形成的影子可测量时. 方法：如图，先竖置木棍于建筑物的阴影内，使其上端M的影子与建筑物顶端A的影子重合于C点，再量出木棍的影长CN，建筑物的影长CB，则由△CMN∽△CAB，得=，故建筑物的高h=. (2)仅有皮尺，且太阳斜照建筑物在地上形成的影子可测量时. 方法：如图，量出人的身高l，人的影长DN及建筑物的影长CB，则△MDN∽△ACB，得=.故建筑物的高h=.
(3)备有竹竿、皮尺，测量者可直接测量某物体与建筑物的距离并可看到建筑物顶端. 方法：如图，使测量者MN，竹竿CD和建筑物AB在同一平面内，并将竹竿前后调整到人眼M看到竹竿顶端C与建筑物顶端A重合的位置.量出测量者身高l，竹竿长m，人与竿的距离s，人与建筑物的距离a，则=.故建筑物的高h=+l. (4)备有木尺、皮尺，建筑物前是开阔地、可视物、可量物. 方法：测量者手握木尺的中间部位，木尺竖直向下，此手臂向前平伸，使人、尺、建筑物在同一平面内.人前进或后退调整位置，使眼睛E看到木尺上端点C与建筑物顶端A重合，同时眼睛E看到木尺下端点D(头不能动)与建筑物底端点B重合，量出臂长s，人与建筑物的距离a，木尺长d，则由△ECD∽△EAB，得=.故建筑物的高h=. 若备有一面镜子、皮尺，建筑物前是开阔地，该如何测量 提示：置镜面朝上的镜子于测量者与建筑物之间的一条直线上，人前后移动，调整到人看镜内物正好显出建筑物顶端A的位置. 如图，量出人的身高CD=l，人与镜子的距离DE=s，镜子与建筑物的距离EB=a. 由光学原理，Rt△CDE∽Rt△ABE，得=.故建筑物的高h=
总结 这次实践活动，我们成功地运用了三角知识解决实际问题.通过实践，我们发现任何事情并不是想象中那么简单.在实践之前，不仅要制定理论上的方案，还要把很多实际因素考虑进去，周围的地形、天气、仪器、可行度、经费等都是定方案时要考虑的重要因素.这次活动，是我们首次将理论运用于实践，凡事不容易，身躬力行才能体会其中的滋味
课题 测量旗杆的高度
本课题成员与分工(全班共分成六组)，这是其中一组
成员姓名 分工 主要工作与贡献
测量
计数
计算
测量工具
所需时间
测量的数学模型
测量数据和计算结果
测量数据 项目
第一次
第二次
平均
与本次测量相关的待研究的问题：
总结