3.2 测量和自选建模作业的汇报交流 学案（含答案）2024-2025学年高一数学北师大版（2019）必修第二册

3.2 测量和自选建模作业的汇报交流
【学习目标】
1.收集数据，整理数据，得出结论，撰写论文，论述测量过程中的收获与心得.(数据分析)
2.感受数学建模的过程以及准确测量的现实意义.(数学抽象，数学建模)
3.通过写结题论文，提升写作能力和数学建模素养.
【合作探究】
课题题目 测量底部不可到达的建筑物的高度 完成时间 课题负责人
课题成员 高一(5)班全体同学，共分成了6个小组 2024年10月10日 学生甲
解决问题的 方法和课题 成果 第1组：备有测角器和皮尺. 方法：如图所示，设测角器的高为l(分析问题时，先忽略测角器的高)，在地面上选择一点C，测得建筑物AB的仰角∠ACB=α，再向建筑物前进a到达E点，测得建筑物AB的仰角∠AEB=β. 设BE=x，则消去x得AB=. 故建筑物的实际高度h=AB+l=+l. 第2组：备有测角器和皮尺. 方法：如图所示，设测角器的高为l(分析问题时，先忽略测角器的高)，在地面上选择一点C，测得建筑物AB的仰角∠ACB=α，再在地面上选择一点E，使CE⊥AC，且CE=a，并在E点测得∠CEA=θ. 在Rt△ACE中，AC=atan θ，所以AB=ACsin α=atan θsin α， 故建筑物的实际高度h=AB+l=atan θsin α+l. 第3组：备有测角器和皮尺. 方法：如图所示，设测角器的高为l(分析问题时，先忽略测角器的高)，在地面上选择与建筑物AB的底端不在同一直线上的两个测量点C，E，在C点测得建筑物的仰角∠ACB=α， 并测得∠ACE=β，在E点测得∠AEC=γ，量出CE=a. 在△ACE中，由正弦定理得=，解得AC=. 在Rt△ACB中，AB=ACsin α=. 故建筑物的实际高度h=+l. 第4组：备有测角器和皮尺. 方法：如图所示，设测角器的高为l(分析问题时，先忽略测角器的高)，在地面上选择与建筑物AB的底端不在同一直线上的两个测量点C，E，在C点测得建筑物AB的仰角∠ACB=α，并测得∠BCE=β，在E点测得∠BEC=γ，量出CE=a. 在△BCE中，由正弦定理得 =，解得CB=. 在Rt△ACB中，AB=BCtan α=. 故建筑物的实际高度h=+l.
解决问题的 方法和课题 成果 第5组：备有测角器和皮尺. 方法：如图所示，设测角器的高为l(分析问题时，先忽略测角器的高)，选择在同一直线上但与建筑物AB的底端不共线的三点C，E，M，使E为CM的中点，分别测得建筑物AB的仰角∠ACB=α，∠AEB=β，∠AMB=γ，又量出CM=a.在Rt△ABC中，CB=；在Rt△ABE中，BE=；在Rt△ABM中，MB=.BE是△BMC的中线，由中线长公式得BC2+BM2=2(BE2+CE2)，即+=2+2， 令=x，=y，=z，整理得AB2=. 故建筑物的实际高度h=+l. 第6组：备有测角器和皮尺，测量者与建筑物分别在河两岸，并且测量者在河对岸可清晰地看到建筑物在河水中的倒影. 方法：如图所示，在测角器上选择一点C测得建筑物AB1部分的仰角∠ACB1=α，其中B1是建筑物上与C等高的一点，并测得建筑物的倒影角∠B1CA1=β，BB1=CD. 设测角器的高CD=l，AB=BA1=h. 在Rt△AB1C中，h-l=CB1tanα，在Rt△A1B1C中，h+l=CB1tan β. 消去CB1，得建筑物的高h=·l=l
前期学习、资料 和工具的准备 前期学习、资料的准备：三角函数、正弦定理、余弦定理等解三角形的方法. 工具的准备：皮尺、测角器、计算器
假设、分析、建 模的主要过程 先假设模型，再根据测量工具选点→测量→建模→计算→检验结果
对结果的解 读和分析 测量方案及计算结果适用于一般的问题，文字表述条理性较好，计算结果能适用于一般的问题情境，测量方案具有可操作性，测量方法有许多需要改进的地方
收获和感受 通过对底部不可到达的建筑物的测量的探索学习，同学们对正弦定理、余弦定理的应用有了更全面的了解，并能由特殊情况得出一般规律，我们可以测量底部不可到达的建筑物的高度，或者解决方向(角度)等实际生活中的具体问题，同时了解了如何测量角度、距离，提升了动手操作能力、数学建模以及数学运算素养
课题题目 测量底部能到达的建筑物的高度 完成时间 课题负责人
课题成员
解决问题的方法 和课题成果
前期学习、资料 和工具的准备
假设、分析、 建模的主要过程
对结果的解 读和分析
收获和感受