6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 学案（含答案）2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修3
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| 名称 | 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 学案（含答案）2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修3 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 120.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-03-13 20:59:36 | ||
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文档简介
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
【学习目标】 1.通过实例,能归纳总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理.(数学抽象) 2.正确理解“完成一件事情”的含义,能根据具体问题的特征,选择“分类”或“分步”.(数学抽象) 3.能利用两个计数原理解决一些简单的实际问题.(数学运算)
【自主预习】
1.计数问题是我们从小就经常遇到的,通过列举一个一个的数是计数的基本方法,但当问题中涉及的数很多时,列举这一方法的效率不高,能否设计巧妙的“计数法”来提高效率呢 是什么计数法
2.使用分类加法计数原理的关键是什么 有什么要求
3.使用分步乘法计数原理的关键是什么 有什么要求
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在分类加法计数原理中,两类办法中的某两种方法可以相同. ( )
(2)在分类加法计数原理中,任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事. ( )
(3)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的. ( )
(4)在分步乘法计数原理中,如果事情是分两步完成的,那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事,只有两个步骤都完成后,这件事情才算完成. ( )
2.从甲地到乙地,一天中有5趟火车,12趟客车,3趟飞机航班,还有6趟轮船,某人某天要从甲地到乙地,则共有不同走法的种数是( ).
A.26 B.60 C.18 D.1 080
3.(原创)某公司安排员工进行教辅调研,从南昌到石家庄调研有3种走法,从石家庄到济南有2种走法,若从南昌到达济南必须经过石家庄,则从南昌到济南的不同的走法种数为( ).
A.5 B.6 C.8 D.12
4.多项式(a1+a2+a3)(b1+b2)+(a4+a5)(b3+b4)的展开式共有 项.
【合作探究】
分类加法计数原理
问题1:用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号,总共能编出多少种不同的号码
问题2:在1,2,3,4四个数字中任取两个及以上的数(不重复取)作和,则取出的这些数的不同的和有多少种
问题3:你能说说解决以上问题的步骤吗
1.分类加法计数原理
完成一件事有两类不同的方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.
2.分类加法计数原理的推广
完成一件事有n类不同的方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,……,在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.
3.分类加法计数原理的推广中“完成一件事有n类不同的方案”是指完成这件事的所有方法可以分为n类,即任何一类中的任何一种方法都可以独立完成这件事,这n类不同方案中的方法互不相同,且完成这件事的任何一种方法都在某一类方案中.
(1)算盘是中国古代的一项重要发明.现有一种算盘(如图1),共两档,自右向左分别表示个位和十位,档中横以梁,梁上一枚算珠拨下,记作数字5,梁下有五枚算珠,上拨一枚算珠记作数字1(例如图2中的算盘表示整数51).如果拨动图1算盘中的三枚算珠,可以表示多少个不同的整数
图1 图2
(2)从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取2个,其中一个作为底数,另一个作为真数,求可以得到不同对数值的数的个数.
【方法总结】分类计数原理的解题思路:(1)根据题目特点恰当选择分类标准;(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法,不能重复;(3)分类时除了不能交叉重复外,还不能有遗漏.
设椭圆+=1(a>0,b>0)的焦点在y轴上,其中a∈,b∈,求满足上述条件的椭圆的个数.
分步乘法计数原理
如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动.
问题1:小明从E处到F处的最短路径有多少条
问题2:小明到老年公寓可以选择的最短路径有多少条
1.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.
2.分步乘法计数原理的推广
完成一件事需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.
从-2,-1,0,1,2,3这6个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y=ax2+bx+c的系数a,b,c,则可以组成的抛物线的条数为多少
【变式探究1】本例中若要求二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,则可以组成多少条不同的抛物线
【变式探究2】若从本例的6个数字中选2个作为椭圆+=1的参数m,n,则可以组成椭圆的个数是多少
【方法总结】利用分步乘法计数原理解题的一般思路 (1)将完成这件事的过程分成若干步; (2)求出每一步中的方法数; (3)将每一步中的方法数相乘得最终结果.
已知有两个口袋,一个口袋里有5封信,另一个口袋里有4封信,各封信内容均不相同.
(1)从两个口袋里各取1封信,有多少种不同的取法
(2)把这两个口袋里的9封信分别投入4个邮筒,有多少种不同的投法
两个计数原理的应用
问题:如何区分“完成一件事”需要分类还是分步
两个计数原理的区别与联系
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 回答的都是有关完成一件事的不同方法种数的问题
不同点 针对的是“分类”问题,各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以完成这件事 针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法互相依存,只有每一个步骤都完成才算完成这件事
通常,我国民用汽车号牌的编号由两部分组成:第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号,第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号,如图所示.其中,序号的编码规则为:
(1)由10个阿拉伯数字和除O,I之外的24个英文字母组成;
(2)最多只能有2个英文字母.
如果某地级市发牌机关采用5位序号编码,那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌
已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组合而成,且英文字母在前.其中英文字母可以是A,B,C,D,E,F这6个字母中的1个,数字可以是1,2,…,9这9个数字中的1个,那么共有多少种不同的编号
参考答案
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
自主预习·悟新知
预学忆思
1.能,是分类计数法和分步计数法.
2.使用分类加法计数原理的关键是分类必须明确标准,要求每一种方法必须属于某一类方法,不同类的任意两种方法是不同的方法.要求是分类要做到“不重复”“不遗漏”.
3.使用分步乘法计数原理的关键是明确题目中所指的“做一件事”是什么事,单独用题中所给的某种方法是不是能完成这件事,是不是要经过几个步骤才能完成这件事.要求是各步骤之间必须连续,只有按照这几步逐步去做,才能完成这件事,不能重复也不能遗漏各步骤.
自学检测
1.(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2.A 【解析】根据分类加法计数原理,有5+12+3+6=26种不同走法.
3.B 【解析】根据分步乘法计数原理,从南昌到济南的不同的走法种数为3×2=6.故选B.
4.10 【解析】多项式的展开式共有3×2+2×2=10(项).
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:因为英文字母共有26个,阿拉伯数字共有10个,所以总共可以编出26+10=36种不同的号码.
问题2:第一类,取两个数,则1+2=3,1+3=4,1+4=5,2+3=5(舍去),2+4=6,3+4=7,共5种.
第二类,取三个数,则1+2+3=6(舍去),1+2+4=7(舍去),1+3+4=8,2+3+4=9,共2种.
第三类,取四个数,则1+2+3+4=10,共1种.
故取出这些数得到的不同的和有5+2+1=8(种).
问题3:解决以上问题的步骤如下:
(1)求完成一件事的所有方法数,这些方法可以分成n类,且类与类之间两两不相交;
(2)求每一类中的方法数;
(3)把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数.
新知运用
例1 【解析】(1)由题意知,拨动三枚算珠,有4种拨法:
①个位拨动三枚算珠,有2种结果:3,7.
②十位拨动一枚算珠,个位拨动两枚算珠,有4种结果:12,16,52,56.
③十位拨动两枚算珠,个位拨动一枚算珠,有4种结果:21,25,61,65.
④十位拨动三枚算珠,有2种结果:30,70.
综上,拨动题图1算盘中的三枚算珠,可以表示2+4+4+2=12个不同的整数.
(2)当取出的2个数中含1时,由于1只能作为真数,则以1为真数,从其余各数中任取一数为底数,对数值均为0.当取出的2个数中不含1时,则取出的两数分别作为对数的底数和真数,共能组成8×7=56个对数式,其中,log24=log39,log42=log93,log23=log49,log32=log94,重复了4次,所以得到不同对数值的数的个数为1+56-4=53.
巩固训练 【解析】因为椭圆的焦点在y轴上,所以b>a,
则当a=1时,b可取2,3,4,5,6,7,有6种取法;
当a=2时,b可取3,4,5,6,7,有5种取法;
当a=3时,b可取4,5,6,7,有4种取法;
当a=4时,b可取5,6,7,有3种取法;
当a=5时,b可取6,7,有2种取法.
由分类加法计数原理知,共有6+5+4+3+2=20个满足条件的椭圆.
探究2 情境设置
问题1:由题意可知,E→F共有6条最短路径.
问题2:由题意可知,E→F共有6种走法,F→G共有3种走法,由分步乘法计数原理知,共有6×3=18条可以选择的最短路径.
新知运用
例2 【解析】由题意知a不能为0,故系数a有5种选法,系数b也有5种选法,系数c有4种选法.
根据分步乘法计数原理,可以组成的抛物线的条数为5×5×4=100.
变式探究1 【解析】可以分三个步骤来解决这个问题:第一步,确定a,有2种选法;第二步,确定b,有5种选法;第三步,确定c,有4种选法.
根据分步乘法计数原理,可组成2×5×4=40条不同的抛物线.
变式探究2 【解析】由条件知,m>0,n>0,且m≠n,故需分两步完成:第一步,确定m,有3种方法;第二步,确定n,有2种方法.根据分步乘法计数原理,可以组成的椭圆的个数为3×2=6.
巩固训练 【解析】(1)由分步乘法计数原理,可得共有5×4=20种不同的取法.
(2)若从每封信投入的邮筒考虑,则第一封信投入的邮筒有4种可能,第二封信投入的邮筒有4种可能……第九封信投入的邮筒也有4种可能,所以共有49种不同的投法.
探究3 情境设置
问题:区分“完成一件事”需要分类还是分步,关键是看能否一步完成这件事,若能完成,则是分类,否则,是分步.
新知运用
例3 【解析】由号牌编号的组成可知,这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数.根据序号编码规则,5位序号可以分为三类:没有字母,有1个字母,有2个字母.
(1)当没有字母时,序号的每一位都是数字.确定一个序号可以分5个步骤,每一步都可以从10个数字中选1个,各有10种选法.根据分步乘法计数原理,这类号牌的张数为10×10×10×10×10=100 000.
(2)当有1个字母时,这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位,这类序号可以分为五个子类.
当第1位是字母时,分5个步骤确定一个序号中的字母和数字:第1步,从24个字母中选1个放在第1位,有24种选法;第2~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置,各有10种选法.根据分步乘法计数原理,号牌的张数为24×10×10×10×10=240 000.
同理,其余四个子类号牌也各有240 000张.
根据分类加法计数原理,这类号牌的张数为240 000+240 000+240 000+240 000+240 000=1 200 000.
(3)当有2个字母时,根据这2个字母在序号中的位置,可以将这类序号分为十个子类:第1位和第2位,第1位和第3位,第1位和第4位,第1位和第5位,第2位和第3位,第2位和第4位,第2位和第5位,第3位和第4位,第3位和第5位,第4位和第5位.
当第1位和第2位是字母时,分5个步骤确定一个序号中的字母和数字:第1,2步都是从24个字母中选1个分别放在第1位、第2位,各有24种选法;第3~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置,各有10种选法.根据分步乘法计数原理,号牌的张数为24×24×10×10×10=576 000.同理,其余九个子类号牌也各有576 000张.
于是,这类号牌的张数为576 000×10=5 760 000.
综合(1)(2)(3),根据分类加法计数原理知,这个发牌机关最多能发放的汽车号牌的张数为100 000+1 200 000+5 760 000=7 060 000.
巩固训练 【解析】根据题意,分两步完成:
第1步,从6个英文字母中选1个,有6种方法;
第2步,从9个数字中选1个,有9种方法.
根据分步乘法计数原理,不同取法的种数为6×9=54,
所以共有54种不同的编号.
随堂检测·精评价
1.C 【解析】分两类情况讨论:第1类,直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面;第2类,直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面.根据分类加法计数原理,共可以确定8+5=13个不同的平面.
2.C 【解析】每名志愿者都有2种不同的选择方法,根据分步乘法计数原理,不同的选择方法共有23=8(种).
3.12 【解析】由题意可得,
①若甲部门要2名电脑编程人员,则有3种情况,2名英语翻译人员的分配方法有2种.根据分步乘法计数原理,不同的分配方案共有3×2=6(种).
②若甲部门要1名电脑编程人员,则有3种情况,2名英语翻译人员的分配方法有2种.根据分步乘法计数原理,不同的分配方案共有3×2=6(种).
由分类加法计数原理可得,不同的分配方案共有6+6=12(种).
【随堂检测】
1.已知两条异面直线a,b,利用a上的5个点,b上的8个点,共13个点,可以确定不同的平面个数为( ).
A.40 B.16 C.13 D.10
2.有3名大学生志愿者,每人从2个不同的社区中选择1个进行服务,则不同的选择方法共有( ).
A.12种 B.9种 C.8种 D.6种
3.某公司招聘了5名员工,分给下属的甲、乙两个部门,其中2名英语翻译人员不能都分给同一部门,另外3名电脑编程人员不能都分给同一部门,则不同的分配方案种数是 .
【学习目标】 1.通过实例,能归纳总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理.(数学抽象) 2.正确理解“完成一件事情”的含义,能根据具体问题的特征,选择“分类”或“分步”.(数学抽象) 3.能利用两个计数原理解决一些简单的实际问题.(数学运算)
【自主预习】
1.计数问题是我们从小就经常遇到的,通过列举一个一个的数是计数的基本方法,但当问题中涉及的数很多时,列举这一方法的效率不高,能否设计巧妙的“计数法”来提高效率呢 是什么计数法
2.使用分类加法计数原理的关键是什么 有什么要求
3.使用分步乘法计数原理的关键是什么 有什么要求
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在分类加法计数原理中,两类办法中的某两种方法可以相同. ( )
(2)在分类加法计数原理中,任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事. ( )
(3)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的. ( )
(4)在分步乘法计数原理中,如果事情是分两步完成的,那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事,只有两个步骤都完成后,这件事情才算完成. ( )
2.从甲地到乙地,一天中有5趟火车,12趟客车,3趟飞机航班,还有6趟轮船,某人某天要从甲地到乙地,则共有不同走法的种数是( ).
A.26 B.60 C.18 D.1 080
3.(原创)某公司安排员工进行教辅调研,从南昌到石家庄调研有3种走法,从石家庄到济南有2种走法,若从南昌到达济南必须经过石家庄,则从南昌到济南的不同的走法种数为( ).
A.5 B.6 C.8 D.12
4.多项式(a1+a2+a3)(b1+b2)+(a4+a5)(b3+b4)的展开式共有 项.
【合作探究】
分类加法计数原理
问题1:用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号,总共能编出多少种不同的号码
问题2:在1,2,3,4四个数字中任取两个及以上的数(不重复取)作和,则取出的这些数的不同的和有多少种
问题3:你能说说解决以上问题的步骤吗
1.分类加法计数原理
完成一件事有两类不同的方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.
2.分类加法计数原理的推广
完成一件事有n类不同的方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,……,在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.
3.分类加法计数原理的推广中“完成一件事有n类不同的方案”是指完成这件事的所有方法可以分为n类,即任何一类中的任何一种方法都可以独立完成这件事,这n类不同方案中的方法互不相同,且完成这件事的任何一种方法都在某一类方案中.
(1)算盘是中国古代的一项重要发明.现有一种算盘(如图1),共两档,自右向左分别表示个位和十位,档中横以梁,梁上一枚算珠拨下,记作数字5,梁下有五枚算珠,上拨一枚算珠记作数字1(例如图2中的算盘表示整数51).如果拨动图1算盘中的三枚算珠,可以表示多少个不同的整数
图1 图2
(2)从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取2个,其中一个作为底数,另一个作为真数,求可以得到不同对数值的数的个数.
【方法总结】分类计数原理的解题思路:(1)根据题目特点恰当选择分类标准;(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法,不能重复;(3)分类时除了不能交叉重复外,还不能有遗漏.
设椭圆+=1(a>0,b>0)的焦点在y轴上,其中a∈,b∈,求满足上述条件的椭圆的个数.
分步乘法计数原理
如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动.
问题1:小明从E处到F处的最短路径有多少条
问题2:小明到老年公寓可以选择的最短路径有多少条
1.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.
2.分步乘法计数原理的推广
完成一件事需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.
从-2,-1,0,1,2,3这6个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y=ax2+bx+c的系数a,b,c,则可以组成的抛物线的条数为多少
【变式探究1】本例中若要求二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,则可以组成多少条不同的抛物线
【变式探究2】若从本例的6个数字中选2个作为椭圆+=1的参数m,n,则可以组成椭圆的个数是多少
【方法总结】利用分步乘法计数原理解题的一般思路 (1)将完成这件事的过程分成若干步; (2)求出每一步中的方法数; (3)将每一步中的方法数相乘得最终结果.
已知有两个口袋,一个口袋里有5封信,另一个口袋里有4封信,各封信内容均不相同.
(1)从两个口袋里各取1封信,有多少种不同的取法
(2)把这两个口袋里的9封信分别投入4个邮筒,有多少种不同的投法
两个计数原理的应用
问题:如何区分“完成一件事”需要分类还是分步
两个计数原理的区别与联系
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 回答的都是有关完成一件事的不同方法种数的问题
不同点 针对的是“分类”问题,各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以完成这件事 针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法互相依存,只有每一个步骤都完成才算完成这件事
通常,我国民用汽车号牌的编号由两部分组成:第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号,第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号,如图所示.其中,序号的编码规则为:
(1)由10个阿拉伯数字和除O,I之外的24个英文字母组成;
(2)最多只能有2个英文字母.
如果某地级市发牌机关采用5位序号编码,那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌
已知某种新产品的编号由1个英文字母和1个数字组合而成,且英文字母在前.其中英文字母可以是A,B,C,D,E,F这6个字母中的1个,数字可以是1,2,…,9这9个数字中的1个,那么共有多少种不同的编号
参考答案
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
自主预习·悟新知
预学忆思
1.能,是分类计数法和分步计数法.
2.使用分类加法计数原理的关键是分类必须明确标准,要求每一种方法必须属于某一类方法,不同类的任意两种方法是不同的方法.要求是分类要做到“不重复”“不遗漏”.
3.使用分步乘法计数原理的关键是明确题目中所指的“做一件事”是什么事,单独用题中所给的某种方法是不是能完成这件事,是不是要经过几个步骤才能完成这件事.要求是各步骤之间必须连续,只有按照这几步逐步去做,才能完成这件事,不能重复也不能遗漏各步骤.
自学检测
1.(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2.A 【解析】根据分类加法计数原理,有5+12+3+6=26种不同走法.
3.B 【解析】根据分步乘法计数原理,从南昌到济南的不同的走法种数为3×2=6.故选B.
4.10 【解析】多项式的展开式共有3×2+2×2=10(项).
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:因为英文字母共有26个,阿拉伯数字共有10个,所以总共可以编出26+10=36种不同的号码.
问题2:第一类,取两个数,则1+2=3,1+3=4,1+4=5,2+3=5(舍去),2+4=6,3+4=7,共5种.
第二类,取三个数,则1+2+3=6(舍去),1+2+4=7(舍去),1+3+4=8,2+3+4=9,共2种.
第三类,取四个数,则1+2+3+4=10,共1种.
故取出这些数得到的不同的和有5+2+1=8(种).
问题3:解决以上问题的步骤如下:
(1)求完成一件事的所有方法数,这些方法可以分成n类,且类与类之间两两不相交;
(2)求每一类中的方法数;
(3)把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数.
新知运用
例1 【解析】(1)由题意知,拨动三枚算珠,有4种拨法:
①个位拨动三枚算珠,有2种结果:3,7.
②十位拨动一枚算珠,个位拨动两枚算珠,有4种结果:12,16,52,56.
③十位拨动两枚算珠,个位拨动一枚算珠,有4种结果:21,25,61,65.
④十位拨动三枚算珠,有2种结果:30,70.
综上,拨动题图1算盘中的三枚算珠,可以表示2+4+4+2=12个不同的整数.
(2)当取出的2个数中含1时,由于1只能作为真数,则以1为真数,从其余各数中任取一数为底数,对数值均为0.当取出的2个数中不含1时,则取出的两数分别作为对数的底数和真数,共能组成8×7=56个对数式,其中,log24=log39,log42=log93,log23=log49,log32=log94,重复了4次,所以得到不同对数值的数的个数为1+56-4=53.
巩固训练 【解析】因为椭圆的焦点在y轴上,所以b>a,
则当a=1时,b可取2,3,4,5,6,7,有6种取法;
当a=2时,b可取3,4,5,6,7,有5种取法;
当a=3时,b可取4,5,6,7,有4种取法;
当a=4时,b可取5,6,7,有3种取法;
当a=5时,b可取6,7,有2种取法.
由分类加法计数原理知,共有6+5+4+3+2=20个满足条件的椭圆.
探究2 情境设置
问题1:由题意可知,E→F共有6条最短路径.
问题2:由题意可知,E→F共有6种走法,F→G共有3种走法,由分步乘法计数原理知,共有6×3=18条可以选择的最短路径.
新知运用
例2 【解析】由题意知a不能为0,故系数a有5种选法,系数b也有5种选法,系数c有4种选法.
根据分步乘法计数原理,可以组成的抛物线的条数为5×5×4=100.
变式探究1 【解析】可以分三个步骤来解决这个问题:第一步,确定a,有2种选法;第二步,确定b,有5种选法;第三步,确定c,有4种选法.
根据分步乘法计数原理,可组成2×5×4=40条不同的抛物线.
变式探究2 【解析】由条件知,m>0,n>0,且m≠n,故需分两步完成:第一步,确定m,有3种方法;第二步,确定n,有2种方法.根据分步乘法计数原理,可以组成的椭圆的个数为3×2=6.
巩固训练 【解析】(1)由分步乘法计数原理,可得共有5×4=20种不同的取法.
(2)若从每封信投入的邮筒考虑,则第一封信投入的邮筒有4种可能,第二封信投入的邮筒有4种可能……第九封信投入的邮筒也有4种可能,所以共有49种不同的投法.
探究3 情境设置
问题:区分“完成一件事”需要分类还是分步,关键是看能否一步完成这件事,若能完成,则是分类,否则,是分步.
新知运用
例3 【解析】由号牌编号的组成可知,这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数.根据序号编码规则,5位序号可以分为三类:没有字母,有1个字母,有2个字母.
(1)当没有字母时,序号的每一位都是数字.确定一个序号可以分5个步骤,每一步都可以从10个数字中选1个,各有10种选法.根据分步乘法计数原理,这类号牌的张数为10×10×10×10×10=100 000.
(2)当有1个字母时,这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位,这类序号可以分为五个子类.
当第1位是字母时,分5个步骤确定一个序号中的字母和数字:第1步,从24个字母中选1个放在第1位,有24种选法;第2~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置,各有10种选法.根据分步乘法计数原理,号牌的张数为24×10×10×10×10=240 000.
同理,其余四个子类号牌也各有240 000张.
根据分类加法计数原理,这类号牌的张数为240 000+240 000+240 000+240 000+240 000=1 200 000.
(3)当有2个字母时,根据这2个字母在序号中的位置,可以将这类序号分为十个子类:第1位和第2位,第1位和第3位,第1位和第4位,第1位和第5位,第2位和第3位,第2位和第4位,第2位和第5位,第3位和第4位,第3位和第5位,第4位和第5位.
当第1位和第2位是字母时,分5个步骤确定一个序号中的字母和数字:第1,2步都是从24个字母中选1个分别放在第1位、第2位,各有24种选法;第3~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置,各有10种选法.根据分步乘法计数原理,号牌的张数为24×24×10×10×10=576 000.同理,其余九个子类号牌也各有576 000张.
于是,这类号牌的张数为576 000×10=5 760 000.
综合(1)(2)(3),根据分类加法计数原理知,这个发牌机关最多能发放的汽车号牌的张数为100 000+1 200 000+5 760 000=7 060 000.
巩固训练 【解析】根据题意,分两步完成:
第1步,从6个英文字母中选1个,有6种方法;
第2步,从9个数字中选1个,有9种方法.
根据分步乘法计数原理,不同取法的种数为6×9=54,
所以共有54种不同的编号.
随堂检测·精评价
1.C 【解析】分两类情况讨论:第1类,直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面;第2类,直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面.根据分类加法计数原理,共可以确定8+5=13个不同的平面.
2.C 【解析】每名志愿者都有2种不同的选择方法,根据分步乘法计数原理,不同的选择方法共有23=8(种).
3.12 【解析】由题意可得,
①若甲部门要2名电脑编程人员,则有3种情况,2名英语翻译人员的分配方法有2种.根据分步乘法计数原理,不同的分配方案共有3×2=6(种).
②若甲部门要1名电脑编程人员,则有3种情况,2名英语翻译人员的分配方法有2种.根据分步乘法计数原理,不同的分配方案共有3×2=6(种).
由分类加法计数原理可得,不同的分配方案共有6+6=12(种).
【随堂检测】
1.已知两条异面直线a,b,利用a上的5个点,b上的8个点,共13个点,可以确定不同的平面个数为( ).
A.40 B.16 C.13 D.10
2.有3名大学生志愿者,每人从2个不同的社区中选择1个进行服务,则不同的选择方法共有( ).
A.12种 B.9种 C.8种 D.6种
3.某公司招聘了5名员工,分给下属的甲、乙两个部门,其中2名英语翻译人员不能都分给同一部门,另外3名电脑编程人员不能都分给同一部门,则不同的分配方案种数是 .