6.2排列与组合
课时3 组合与组合数
【学习目标】 1.理解并掌握组合与组合数的概念,掌握组合与排列之间的联系与区别.(数学抽象) 2.会推导组合数公式,并会应用公式求值.(数学运算) 3.理解组合数的两个性质,并会求值、化简和证明.(数学运算、逻辑推理)
【自主预习】
1.从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动,有多少种不同的选法 这一问题与“从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动,另外1名同学参加下午的活动”有什么区别和联系
2.你能说说排列与组合之间的区别和联系吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)从a,b,c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是. ( )
(2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得个积. ( )
(3)1,2,3与3,2,1是同一个组合.( )
(4)=5×4×3=60. ( )
2.(改编)-2+的值为( ).
A.72
B.37
C.36
D.42
3.在报名参加志愿活动的3名男教师和3名女教师中,选取3人参加义务献血,要求男、女教师都有,则不同的选取方法种数为 .(结果用数值表示)
4.若=6,则m= .
【合作探究】
组合的概念
“校园歌手大赛”是某校的特色文化活动之一,它为同学们紧张、忙碌的学习生活提供了休闲、放松的平台,同时也给同学们出了一道数学题.比较下列两个问题并发现它们之间的关系.
问题1:高二(1)班有3名同学想参加比赛,但是学校只给了每个班2个名额,且其中1名同学参加流行音乐组,另1名同学参加民歌组,共有几种不同的报名结果
问题2:高二(1)班有3名同学想参加比赛,但是学校只给了每个班2个名额,共有几种不同的报名结果
问题3:上述两个问题的区别是什么
1.一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.我们把有关求组合的个数的问题叫作组合问题.
2.排列与组合的区别
排列需要考虑元素的顺序,组合不需要考虑元素的顺序.
判断下列问题是排列问题,还是组合问题.
(1)10人相互写一封信,共写出了多少封信
(2)10人相互通一次电话,共通了多少次电话
(3)10支球队以单循环的方式进行比赛(每两队比赛一次),这次比赛需要进行多少场次
(4)从10人中选出3人担任不同学科的科代表,有多少种选法
【方法总结】判断一个问题是否是组合问题的方法技巧:区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关,若交换某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,而交换任意两个元素的位置对结果没有影响,则是组合问题,也就是说排列问题与选取元素的顺序有关,组合问题与选取元素的顺序无关.
判断下列问题是排列问题,还是组合问题.
(1)把当日动物园的4张门票分给5个人,每人至多分1张,而且票必须分完,有多少种分配方法
(2)从2,3,5,7,11这5个质数中,每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数,共能构成多少个不同的分数
(3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会,有多少种不同的选法
组合数公式
问题1:组合的概念的要点是什么
问题2:两个组合是相同组合的充要条件是什么
问题3:前面已经提到,组合和排列有关系,我们能否利用这种关系,由排列数来求组合数呢
问题4:如何理解“组合”与“组合数”
组合数与组合数公式
组合数 公式 乘积式 ==
阶乘式 =
备注 ①n∈N+,m∈N且m≤n;②规定=1
一、利用组合数公式计算
(1)计算:3-2.
(2)解关于n的不等式>.
【方法总结】(1)公式=(n∈N*,m∈N,m≤n)一般用于求值计算. (2)公式=一般用于化简、证明或m,n较大的计算.
若-<,则n的取值集合为 .
二、利用组合数公式解简单的组合问题
在一次物理竞赛中,某学校有10人通过了初试,学校要从中选出4人参加县级培训,其中甲、乙二人必须参加,有多少种不同的选法
【方法总结】解简单的组合应用题的策略 (1)解简单的组合应用题时,首先要判断它是不是组合问题,组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关,而组合问题与取出元素的顺序无关; (2)要注意两个计数原理的运用,即分类加法计数原理与分步乘法计数原理的灵活运用. 提醒:在分类和分步时,一定要注意有无重复或遗漏.
一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.
(1)从口袋内取出3个球,共有多少种取法
(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法
(3)从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法
组合数的性质
问题1:试用两种方法求:从a,b,c,d,e这5人中选出3人参加数学竞赛,2人参加英语竞赛,共有多少种选法.你有什么发现 你能得到一般结论吗
问题2:从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛,共有多少种选法 若队长必须参加,有多少种选法 若队长不能参加,有多少种选法 你有什么发现 你能推广到一般结论吗
组合数的性质
(1)=;
(2)=+.
(1)求++…+的值;
(2)证明:++2=.
【方法总结】要注意=+的正用、逆用及其变形应用.正用是将一个组合数拆成两个,逆用则是“合二为一”,变形一般为=-,它为某些项相互抵消提供了方便,在解题中要注意灵活运用.
(1)化简:-+.
(2)已知-=,求n的值.
【随堂检测】
1.现有如下问题:
①将图案不同的4张扑克牌分给2人,每人2张,有几种分法
②将图案不同的4张扑克牌分给4人,每人1张,有几种分法
③空间中有10个点,其中任何3个点不共线,能构成多少个以这些点为顶点的三角形
其中组合问题的个数为( ).
A.0 B.1 C.2 D.3
2.若=12,则n=( ).
A.8 B.5或6
C.3或4 D.4
3.北斗七星是夜空中的七颗亮星,我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载,它们组成的图形类似我国古代舀酒的斗,故命名为北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象,也是古人判断季节的依据之一.如图,用点A,B,C,D,E,F,G表示某一时期的北斗七星,其中B,D,E,F四点看作共线,其他任何三点均不共线,过这七个点中任意两个点作直线,所得直线的条数为 .
4.证明:m=n(2≤m≤n,m,n∈N*).
参考答案
课时3 组合与组合数
自主预习·悟新知
预学忆思
1.有3种选法.由于“甲上午、乙下午”与“乙上午、甲下午”是两种不同顺序的选法,因此解决后面的问题时,不仅要从3名同学中选出2名,而且要将他们按照“上午在前,下午在后”的顺序排列,这是上一节研究的排列问题.本问题要研究的问题只是从3名同学中选出2名去参加一项活动,就只需要将选出的2名同学作为一组,不需要考虑他们的顺序.
2.从排列与组合的定义可以知道,两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,这是排列与组合的共同点.它们的不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关;只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的,而两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的.
自学检测
1.(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.B 【解析】-2+=-2×+1=56-20+1=37.
3.18 【解析】选取方式为选2名男教师1名女教师或选2名女教师1名男教师,则不同的选取方法有2=18(种).
4.7 【解析】由已知得m(m-1)(m-2)=6×,解得m=7.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:有=6(种).
问题2:由列举法可知有3种.
问题3:问题1是排列问题,有顺序;问题2是无顺序问题,是我们要学习的组合问题.
新知运用
例1 【解析】(1)是排列问题,因为写信人与收信人是有顺序区别的.
(2)是组合问题,因为甲与乙通一次电话,也就是乙与甲通一次电话,没有顺序的区别.
(3)是组合问题,因为每两支球队比赛一次,没有顺序的区别.
(4)是排列问题,因为3人担任哪一科的科代表是有顺序区别的.
巩固训练 【解析】(1)是组合问题,由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票),不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人,这和顺序无关.
(2)是排列问题,选出的2个数作分子或分母,结果是不同的.
(3)是组合问题,选出的4人无角色差异,不需要排列他们的顺序.
探究2 情境设置
问题1:(1)取出的对象是不同的;(2)“只取不排”,即取出的m个对象与顺序无关,无序性是组合的特征性质.
问题2:只要两个组合中的元素完全相同,不管顺序如何,这两个组合就是相同的组合.
问题3:能,下面以从4个元素中取出3个元素的排列与组合为例来分析:分析从4个不同元素中取出3个元素的排列数为=24,组合数为=4,比较发现组合数===4.
问题4:“组合”与“组合数”也是两个不同的概念,“组合”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组”,它不是一个数,而是具体的一件事;“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”,它是一个数.例如,从a,b,c这3个不同元素中,每次取出2个元素的组合为ab,ac,bc,其中每一种都叫一个组合,这些组合共有3个,则组合数为3.
新知运用
例2 【解析】(1)3-2=3×-2×=148.
(2)由>,得>,所以n2-9n-10<0,解得-1巩固训练 {5,6,7,8,9,10,11} 【解析】由-<,
可得n2-11n-12<0,解得-1又n∈N*,且n≥5,所以n∈{5,6,7,8,9,10,11}.
例3 【解析】由于甲、乙二人必须参加,则只需要从另外8人中选2人即可,共有=28种不同的选法.
巩固训练 【解析】(1)从口袋内的8个球中取出3个球,
取法种数是==56.
(2)从口袋内取出的3个球中有1个是黑球,于是还要从7个白球中再取出2个,
取法种数是==21.
(3)从口袋内取出的3个球中不含有黑球,于是要从7个白球中取出3个,
取法种数是==35.
探究3 情境设置
问题1:(法一)从5人中选出3人参加数学竞赛,剩余2人参加英语竞赛,共有==10种选法.
(法二)从5人中选出2人参加英语竞赛,剩余3人参加数学竞赛,共有==10种选法.
发现:=.推广到一般结论:=.
问题2:共有==210种选法.若队长必须参加,共=126种选法;若队长不能参加,共=84种选法.从10名队员中选出6人可分为队长参赛与队长不参赛两类,由分类加法计数原理可得+=.一般地,+=.
新知运用
例4 【解析】(1)(法一)原式=+-+-+…+-==330.
(法二)原式=+++…+=++…+=++…+=…=+==330.
(2)利用公式=+推导得,
左边=(+)+(+)=+==右边.
巩固训练 【解析】(1)原式=(+)-=-=0.
(2)由-=,可得=+,
则=,故8+7=n+1,解得n=14.
随堂检测·精评价
1.C 【解析】由组合的定义可知①③两个问题与顺序无关,是组合问题.
2.A 【解析】=n(n-1)(n-2),=n(n-1),所以n(n-1)(n-2)=12×n(n-1),
由n∈N*,且n≥3,解得n=8.
3.16 【解析】根据题意从七个点中任意选两个点作直线共有=21(种),
从B,D,E,F四点中任意选两点只能作一条直线,有-1=6-1=5种重复,
所以所得直线的条数为21-5=16.
4.【解析】m=m·
=
=n·=n.6.2排列与组合
课时2 排列数的应用
【学习目标】 1.进一步加深对排列概念的理解.(抽象概括) 2.掌握几种有限制条件的排列问题的处理方法,能应用排列数公式解决简单的实际问题.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.怎样判断一个问题是排列问题
2.解简单的排列应用题的基本思想是什么
3.解简单的排列应用题的方法有哪些
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)2,3,4与3,4,2为同一个排列. ( )
(2)从n人中选出2人,分别从事两项不同的工作,若选派的种数为72,则n的值为8. ( )
(3)甲、乙、丙三名同学排成一排,不同的排列方法有3种. ( )
(4)1位老师和5位同学站成一排照相,老师不站在两端的排法种数为480. ( )
2.用1,2,3,4这4个数字可组成( )个没有重复数字的三位数.
A.24 B.12 C.81 D.64
3.(改编)元旦晚会上,老师将8张不同的新年贺卡分给4人,若每人都获得一张贺卡,则不同的分法种数是( ).
A.1 680 B.1 260 C.720 D.560
4.从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有 种.(用数字作答)
【合作探究】
排队、排节目问题
在冬奥会志愿者招募活动中,甲、乙等5人报名参加了A,B,C三个项目的志愿者工作,因工作需要,每个项目仅需1名志愿者.
问题1:若甲不能参加A,B项目,乙不能参加B,C项目,甲、乙都参加,则有多少种方法
问题2:若甲、乙都不参加,则有多少种方法
问题3:若甲不能参加A,B项目,乙不能参加B,C项目,则共有多少种不同的志愿者分配方案
问题4:根据上述问题,归纳解简单排列应用题的方法.
排队、排节目问题的解题策略
(1)合理归类,要将题目大致归类,常见的类型有特殊元素、特殊位置、相邻问题、不相邻问题等,再针对每一类采用相应的方法解题.
(2)恰当结合,排列问题的解决离不开两个计数原理的应用,解题过程中要恰当结合两个计数原理.
(3)正难则反,这是一个基本的数学思想,巧妙应用排除法可起到事半功倍的效果.
一、特殊元素或特殊位置问题
6人按下列要求站成一排,分别有多少种不同的站法
(1)甲不站右端,也不站左端;
(2)甲、乙站在两端;
(3)甲不站左端,乙不站右端.
【方法总结】“特殊”优先原则 常见的“在”与“不在”的有限制条件的排列问题就是典型的特殊元素或特殊位置问题,解题原则是谁“特殊”谁优先.一般从以下三种思路考虑:(1)以元素为主考虑,即先安排特殊元素,再安排其他元素;(2)以位置为主考虑,即先安排特殊位置,再安排其他位置;(3)用间接法解题,先不考虑限制条件,计算出总的排列数,再减去不符合要求的排列数.
大年初一,爷爷、奶奶、爸爸、妈妈、读高中的姐姐以及刚满周岁的小弟弟一家六口外出游玩,到某处景点时,他们站成一排拍照,小弟弟由其中任意一人抱着,则不同的站法共有( ).
A.120种 B.480种 C.600种 D.720种
二、相邻问题
(原创)2022年10月18日,党的二十大新闻中心举行首场集体采访.北京、天津、河北、山西、内蒙古、辽宁、吉林代表团新闻发言人出席,介绍代表团学习讨论二十大报告情况,并回答记者提问.若发言人排成一排,要求北京、天津代表团新闻发言人必须相邻,而辽宁、吉林代表团新闻发言人需分开,则不同的排法有( ).
A.400种 B.720种 C.960种 D.1 200种
【方法总结】解决“相邻”问题用“捆绑法” 将n个不同的元素排成一排,其中k个元素排在相邻位置上,求不同排法的种数,具体求解步骤如下: (1)先将这k个元素“捆绑”在一起,看成一个整体; (2)把这个整体当作一个元素与其他元素一起排列,其排列方法有种; (3)“松绑”,即将“捆绑”在一起的元素内部进行排列,其排列方法有种; (4)根据分步乘法计数原理,符合条件的排法有·种.
(多选题)甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排,下列结论正确的是( ).
A.不同的站队方式共有120种
B.若甲和乙相邻,则不同的站队方式共有36种
C.若甲、乙、丙站一起,则不同的站队方式共有36种
D.若甲不站在两端,则不同的站队方式共有72种
三、不相邻问题
(多选题)象棋作为一种传统棋类益智游戏,具有深远的意义和价值.它具有红、黑两种阵营,“将、车、马、炮、兵”等为象棋中的棋子,现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列,则下列说法正确的是( ).
A.共有120种不同的排列方式
B.若两个“将”相邻,则有24种不同的排列方式
C.若两个“将”不相邻,则有72种不同的排列方式
D.若同色棋子不相邻,则有12种不同的排列方式
【方法总结】解决不相邻问题用“插空法” 将n个不同的元素排成一排,其中k个元素互不相邻(k≤n-k+1),求不同排法的种数,具体求解步骤如下: (1)将没有不相邻要求的(n-k)个元素排成一排,其排列方法有种; (2)将要求两两不相邻的k个元素插入(n-k+1)个空隙中,相当于从(n-k+1)个空隙中选出k个分别分配给两两不相邻的k个元素,其排列方法有种; (3)根据分步乘法计数原理,符合条件的排法有·种.
已知有3名男生和2名女生站在一排照相.
(1)男生均相邻且女生均相邻的排法种数是多少
(2)女生互不相邻的排法种数是多少
(3)若甲不站左端,且乙不站右端,有多少种排法
四、定序问题
有7人站成一排.
(1)若甲必须在乙的前面(不一定相邻),则有多少种不同的排列方法
(2)若甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻),则有多少种不同的排列方法
【方法总结】部分元素定序的排列问题的两种解法 法一:把不要求定序的元素先排列,剩余的位置就是定序的元素,这些定序的元素只有一种排法,所以问题就转化为求不要求定序的元素有多少种排法. 法二:用“倍缩法”,有(m+n)个元素排成一列,其中m个元素之间的先后顺序确定不变,将这(m+n)个元素排成一列,有种不同的排法;然后任取一个排列,固定其他n个元素的位置不动,把这m个元素交换顺序,有种排法,其中只有一个排列是我们需要的,因此共有种满足条件的不同排法.
《中国诗词大会》(第六季)亮点颇多,十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词,在声光舞美的配合下,百人团齐声朗诵,别有韵味.若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场,且《将进酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后,则后六场的排法有( ).
A.144种 B.288种 C.360种 D.720种
有关数字的排列问题
问题1:偶数的个位数字有何特征 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数字能组成多少个不同的偶数
问题2:在一个三位数中,位于百位的数字x能是0吗 如果在0~9这10个数字中任取3个不同的数字组成一个三位数,如何排才能使百位数字不为0
数字排列问题的求解策略
(1)首位数字不为0.
(2)若所选数字中含有0,则可先排0,即“元素分析法”.
(3)若排列的是特殊数字,如偶数,则先排个位数字,即“位置分析法”.
(4)此类问题往往需要分类,可依据特殊元素、特殊位置分类.
用0,1,2,3,4,5这6个数字可以组成多少个无重复数字的(1)六位奇数 (2)个位数字不是5的六位数 (3)不大于4 310的四位偶数
【变式探究1】若本例中条件不变,能组成多少个被5整除的五位数
【变式探究2】若本例条件不变,能组成的所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an},则240 135是第几项
【方法总结】排数字问题常见的解题方法:(1)“两优先排法”:特殊元素优先排列,特殊位置优先填充.如“0”不排“首位”.(2)“分类讨论法”:按照某一标准将排列分成几类,然后按照分类加法计数原理进行,要注意以下两点:一是分类标准必须恰当;二是分类过程要做到不重不漏.(3)“排除法”:全排列数减去不符合条件的排列数.(4)“位置分析法”:按位置逐步讨论,把要求数字的每个数位排好.
用1,2,3,4,5,6,7这七个数字组成没有重复数字的四位数.
(1)这些四位数中偶数有多少个 能被5整除的有多少个
(2)这些四位数中大于6 500的有多少个
【随堂检测】
1.从4名男性3名女性共7名志愿者中,选出1名女性2名男性分别到A,B,C地执行任务,则不同的选派方法有( ).
A.36种 B.108种
C.210种 D.72种
2.5人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的不同排法种数为( ).
A.6 B.84
C.24 D.48
3.用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数,若1,3,5,7的顺序一定,则有 个七位数符合条件.
4.有3名同学(甲、乙、丙)和2名家长相约一起去观看新上映的影片,他们的座位在同一排且连在一起.
(1)甲同学必须坐在乙同学左边的坐法有多少种
(2)2名家长互不相邻的坐法有多少种
参考答案
课时2 排列数的应用
自主预习·悟新知
预学忆思
1.关键是看它有无顺序,有顺序的是排列问题,否则不是排列问题.
2.将实际问题转化为排列问题,然后利用排列数公式求解.
3.特殊优先安排,相邻捆绑,间隔插空,正难则反,等价转化等方法.
自学检测
1.(1)× (2)× (3)× (4)√
2.A 【解析】由题意可知,从4个数中选出3个数全排列,共可组成=24个没有重复数字的三位数.
3.A 【解析】根据题意,不同的分法有=8×7×6×5=1 680(种).
4.36 【解析】文娱委员有3种选法,则安排学习委员、体育委员有=12种方法.根据分步乘法计数原理,共有3×12=36种选法.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:若甲、乙都参加,则甲只能参加C项目,乙只能参加A项目,剩余3人参加B项目,有3种方法.
问题2:若甲、乙都不参加,则有=6种方法.
问题3:若甲、乙都参加,则甲只能参加C项目,乙只能参加A项目,剩余3人参加B项目,有3种方法;
若甲参加,乙不参加,则甲只能参加C项目,剩余3人参加A,B项目,有=6种方法;
若乙参加,甲不参加,则乙只能参加A项目,剩余3人参加B,C项目,有=6种方法;
若甲、乙都不参加,则有=6种方法.
根据分类加法计数原理,共有3+6+6+6=21种方法.
问题4:解简单的排列应用题,首先必须认真分析题意,能否把问题归结为排列问题,就看是否与顺序有关.如果是的话,再进一步分析,这里n个不同的元素指的是什么,以及从n个不同的元素中任取m个元素的每一种排列对应的是什么事情,然后才能运用排列数公式求解.
新知运用
例1 【解析】(1)(法一:位置分析法)因为甲不站左、右两端,所以可以分两步完成:第1步,从除甲以外的5人中任选2人站在左、右两端,有种站法;第2步,让剩下的4人站在中间的四个位置上,有种站法.根据分步乘法计数原理,共有=480种站法.
(法二:元素分析法)因为甲不能站左、右两端,所以可以分两步完成:第1步,让甲排在除左、右两端之外的任一位置上,有种站法;第2步,让剩下的5人站在其他5个位置上,有种站法.根据分步乘法计数原理,共有=480种站法.
(法三:间接法)在排列时,我们对6人不考虑甲站的位置全排列,有种站法,但其中包含甲站在左端或右端的情况,因此减去甲站左端或右端的排列数2,于是共有-2=480种站法.
(2)考虑特殊元素,先让甲、乙站两端,有种站法;再让其他4人在中间4个位置作全排列,有种站法.根据分步乘法计数原理,共有=48种站法.
(3)(法一:间接法)在排列时,我们对这6人不考虑甲和乙站的位置作全排列,有种站法,甲在左端的站法有种,乙在右端的站法有种,而甲在左端且乙在右端的站法有种,故共有-2+=504种站法.
(法二:直接法)从元素甲的位置进行考虑,可分两类:第一类,甲站在右端有种站法;第二类,甲站在中间4个位置之一,而乙不站在右端,可先排甲后排乙,再排其余4个人,有种站法,故共有+=504种站法.
巩固训练 C 【解析】首先考虑谁抱着小弟弟,有5种可能,然后对5人进行全排列,有种站法,所以不同的站法共有5=5×5×4×3×2×1=600(种).
例2 C 【解析】根据题意可知,北京、天津代表团新闻发言人要求相邻的排法有×2=1 440(种),
而北京、天津代表团新闻发言人要求相邻且辽宁、吉林代表团新闻发言人也相邻的排法有×2×2=480(种).
故北京、天津代表团新闻发言人必须相邻,辽宁、吉林代表团新闻发言人需分开的排法有1 440-480=960(种).故选C.
巩固训练 ACD 【解析】甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排,站队方式共有=120(种),A正确;甲和乙相邻的站队方式有=48(种),B错误;甲、乙、丙站一起的站队方式有=36(种),C正确;甲不站在两端的不同的站队方式有=72(种),D正确.故选ACD.
例3 ACD 【解析】由题意可知,共有=120种不同的排列方式,A正确;将两个“将”捆绑,有种情况,再和剩余的4个棋子进行全排列,故共有=48种不同的排列方式,B错误;当两个“将”不相邻时,先将剩余的3个棋子进行全排列,共有4个空,再将两个“将”插空,故共有=72种不同的排列方式,C正确;将2个黑色的棋子进行全排列,共有3个空,再将3个红色的棋子进行插空,则有=12种不同的排列方式,D正确.故选ACD.
巩固训练 【解析】(1)把男生看成一个整体、女生看成一个整体排列,有种排法,男生内部排列有种排法,女生内部排列有种排法,根据分步乘法计算原理,共有=24种排法.
(2)先排男生,男生之间和两端共4个空位,再选2个空位插入女生,所以女生互不相邻有=72种排法.
(3)因为5人全排列有种排法,且甲站左端有种排法,乙站右端有种排法,甲站左端且乙站右端有种排法,所以甲不站左端,且乙不站右端有-2+=78种排法.
例4 【解析】(1)甲在乙前面的排法种数占全体排列种数的一半,故有=2 520种不同的排法.
(2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变,即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的,
故有=840种不同的排法.
巩固训练 A 【解析】后六场的排法可以分两个步骤完成:第一步,将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》之外的四首诗词进行排列,由于《将进酒》排在《望岳》前面,故不同排法有=12(种);
第二步,排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》,由于第一步中的4首诗词排好后,不含最后的空位,有4个空位,从这4个空位中任选2个,安排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》,安排方法有=12(种).
根据分步乘法计数原理,后六场的排法有12×12=144(种).
探究2 情境设置
问题1:偶数的个位数字一定能被2整除.先从2,4中任取1个数字排在个位,有2种不同的排法,再从剩余的数字中任取1个数字排在十位,有4种排法.故从1,2,3,4,5中任取2个数字,能组成2×4=8个不同的偶数.
问题2:在一个三位数中,百位数字不能为0,在具体排数时,从元素0的角度出发,①若选0,则可先将0排在十位或个位的一个位置,其余数字可排百位、个位(或十位)位置;②若不选0,则从9个数字中任取三个数字排百位,十位与个位位置.从“位置”的角度出发,可先从1~9这9个数字中任取1个数字排百位,然后再从剩余9个数字中任取2个数字排十位与个位位置.
新知运用
例5 【解析】(1)(法一)从特殊位置入手:第一步,排个位,从1,3,5这3个数字中选1个,有种排法;第二步,排十万位,有种排法;第三步,排其他位,有种排法.故可以组成的无重复数字的六位奇数有=288(个).
(法二)从特殊元素入手:0不在两端有种排法;从1,3,5中任选一个排在个位上,有种排法;其他数字全排列有种排法.故可以组成的无重复数字的六位奇数有=288(个).
(2)(法一:排除法)6个数字的全排列有个;0在十万位上的排列有个;5在个位上的排列有个;0在十万位上且5在个位上的排列有个.故符合题意的六位数共有-2+=504(个).
(法二:直接法)个位上不排5,有种排法,但十万位上数字的排法由于个位上排0与不排0而有所不同.因此,需分两类:第一类,当个位上排0时,有种排法;第二类,当个位上不排0时,有种排法.根据分类加法计数原理,符合题意的六位数共有+=504(个).
(3)(法一:直接法)①当千位上排1,3时,有种排法;②当千位上排2时,有种排法;③当千位上排4时,形如40□□,42□□的各有种排法,形如41□□的有种排法,形如43□□的只有4 310和4 302这2个数.故共有++2++2=110个符合条件的四位偶数.
(法二:排除法)四位偶数中:①0在个位上的有个;②0在十位和百位上的有个;③不含0的有个.故四位偶数有++=156(个).其中形如5□□□的有个,形如45□□的有个,形如435□的有个,形如432□的有1个,形如431□而大于4 310的只有4 312这1个数,故大于4 310的四位偶数共有+++1+1=46(个),因此符合题意的四位偶数共有156-46=110(个).
变式探究1 【解析】个位上的数字必须是0或5.若个位上是0,则有个;若个位上是5,且不含0,则有个;若含0,且0不作万位,则0的位置有种排法,其余各位有种排法.故共有++=216个能被5整除的五位数.
变式探究2 【解析】因为是六位数,十万位上的数字不能为0,十万位上的数字为1有个数,十万位上的数字为2,万位上的数字为0,1,3中的一个有3个数,所以240 135的项数是+3+1=193,即240 135是数列{an}的第193项.
巩固训练 【解析】(1)偶数的个位数只能是2,4,6,有种排法,其他位上有种排法,
根据分步乘法计数原理,这些四位数中偶数共有=360(个).
能被5整除的数个位必须是5,故有=120(个).
(2)当千位上是7时,大于6 500的有个;
当千位上是6时,百位上只能是7或5,有2个.
根据分类加法计数原理,这些四位数中大于6 500的共有+2=160(个).
随堂检测·精评价
1.B 【解析】选出1名女性志愿者派往某地有种方法,选出2名男性志愿者派往另外两地有种方法,则不同的选派方法共有=108(种).
2.B 【解析】5人全排列有种排法,甲、乙都不在两端的排法有种,故甲、乙两人至少有一人在两端共有-=84种不同的排法.
3.210 【解析】对1,3,5,7全排列,有=24种排法,故1,3,5,7的顺序一定的排法数只占总排法数的,故有=210个七位数符合条件.
4.【解析】(1)因为甲同学必须坐在乙同学左边,且共有5人,
所以所求坐法有==60种.
(2)根据题意可知,先将3名同学排好,有=6种坐法,
再在这3名同学之间及两头的4个空位中插入2名家长,有=12种坐法,
根据分步乘法计数原理,共有6×12=72种坐法.6.2排列与组合
课时4 组合数的应用
【学习目标】 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.(数学运算) 2.能解决有限制条件的组合问题.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.组合与排列的异同点是什么
2.组合数的性质有哪些
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)+=(m≥2且m∈N*). ( )
(2)从4名男生、3名女生中任选2人,至少有1名女生的选法有种. ( )
(3)把4本书分成3堆,每堆至少一本,共有种不同分法. ( )
(4)由3个3和4个4可以组成30个不同的七位数. ( )
2.从甲、乙、丙、丁4个人中选取2人参加会议,不同的选取方法有 ( )
A.6种 B.8种 C.12种 D.16种
3.某城市街道的示意图如图所示,某人要走最短路程从A地前往B地,则不同的走法有 种.
4.从2位女生、4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动.
(1)共有多少种不同的选择方法
(2)如果至少有1位女生入选,那么共有多少种不同的选择方法
【合作探究】
与几何有关的组合问题
平面内有A,B,C,D4个点.
问题1:以其中2个点为端点的有向线段共有多少条
问题2:以其中2个点为端点的线段共有多少条
问题3:如何解决简单的组合问题
图形多少的问题通常是组合问题,要注意共点、共线、共面、异面等情形,防止多算、漏算.常用直接法,也可采用间接法.
如图,在以AB为直径的半圆周上,有异于A,B的六个点C1,C2,…,C6,线段AB上有异于A,B的四个点D1,D2,D3,D4.
(1)以图中的10个点(不包括点A,B)中的3个点为顶点的三角形有多少个 其中以C1为顶点的三角形有多少个
(2)以图中的12个点(包括点A,B)中的4个点为顶点的四边形有多少个
【方法总结】解答几何图形组合问题的策略 (1)解答几何图形组合问题与一般的组合问题的思考方法基本一样,只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可. (2)计算时可采用直接法,也可采用间接法,要注意在限制条件较多的情况下,需要分类计算符合题意的组合数.
已知空间中有10个点,其中有5个点在同一个平面内,其余点无三点共线,四点共面,则以这些点为顶点,可构成四面体的个数为( ).
A.205 B.110 C.204 D.200
有限制条件的组合问题
问题1:从2,3,4,5,6,7这6个数中任取3个不同的数字,组成无重复数字的三位数,要求个位数最大,百位数最小,这样的三位数有多少个
问题2:某天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人,要求甲、乙两人不能全部裁去,请问不同的裁员方案有多少种
问题3:根据问题1,2,想一想如何解决有限制条件的组合问题.
有限制条件的组合应用题中“含”与“不含”问题的解题策略:
(1)这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素或特殊位置,一般来讲,特殊要先满足,其余则“一视同仁”.
(2)若从正面入手不易,则从反面入手,寻找问题的突破口,即采用排除法.
(3)解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义,准确把握分类标准.
某医院决定从10名医疗专家中抽调6名专家参与巡察,且这10名医疗专家中有4名是呼吸科专家.问:
(1)恰有2名是呼吸科专家的抽调方法有多少种
(2)至少有2名是呼吸科专家的抽调方法有多少种
(3)至多有2名是呼吸科专家的抽调方法有多少种
【方法总结】有限制条件的抽(选)取问题,主要有两类: (1)“含”与“不含”问题,常用直接分步法求解,即将“含”的先取出,“不含”的可把所指元素去掉再取,分步计数. (2)“至多”“至少”问题,有两种解题思路:①直接分类法,但要注意分类要不重不漏;②间接法,注意找准对立面,确保不重不漏.
在12件产品中,有10件正品,2件次品,从这12件产品中任意抽取3件.
(1)共有多少种不同的抽法
(2)抽出的3件中恰有1件次品的抽法有多少种
(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种
分组、分配问题
问题1:
把a,b,c,d平均分成两组,有多少种分法
问题2:把a,b,c,d分成两组,一组3个元素,一组1个元素,有多少种分法
问题3:若把4个不同的苹果分给3个人,每人至少1个,共有几种分法
1.一般地,平均分成n堆(组),必须除以n!,如若部分平均分成m堆(组),必须再除以m!,即平均分组问题,一般来说,km个不同的元素分成k组,每组m个,则不同的分法有.故平均分组要除以分组数的全排列.
2.一般地,如果把不同的元素分配给几个不同的对象,并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制,那么实际上是先分组后排列的问题,即分组方案数乘不同对象数的全排列数.通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则:先分组后排列.
一、平均分组
8张不同的邮票,按下列要求各有多少种不同的分法
(1)平均分成四份;
(2)分成三份,一份4张,一份2张,一份2张.
二、不平均分组
(1)将6本不同的书,分为三份,一份1本,一份2本,一份3本,有多少种分法
(2)将6本不同的书,分给甲、乙、丙三人,一人1本,一人2本,一人3本,有多少种不同的分法
三、分配问题
将6本不同的书,全部分给甲、乙、丙三人,每人至少一本,有多少种不同的分法
【方法总结】“分组”与“分配”问题的解法 (1)“分组”问题属于“组合”问题,常见的“分组”问题有三种: ①完全均匀分组,每组的元素个数均相等,均匀分成n组,最后必须除以n!; ②部分均匀分组,应注意不要重复,有n组元素个数相等,最后必须除以n!; ③完全不均匀分组,这种分组不考虑重复现象. (2)“分配”问题属于“排列”问题,“分配”问题可以按要求逐个分配,也可以分组后再分配.
将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号分别为1,2,3,4的盒子中,要求小球必须全部放入盒中.
(1)无任何其他要求,有多少种放法
(2)每盒放1个球,有多少种放法
(3)恰好有1个空盒,有多少种放法
(4)每个盒中放1个球,并且恰好有1个球的编号与盒子的编号相同,有多少种放法
(5)把4个编号不同的小球换成4个完全相同的小球,恰有1个空盒,有多少种放法
【随堂检测】
1.将2名教师、4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,则不同的安排方案共有( ).
A.12种 B.10种 C.9种 D.8种
2.编号为1,2,3,4,5的5个人去坐编号为1,2,3,4,5的5个座位,其中有且只有2个人的编号与座位号一致的坐法有( ).
A.10种 B.20种
C.30种 D.60种
3.某运动场馆为安全起见,将5个安保小组安排到指定的3个区域内工作,且每个区域至少有1个安保小组,至多有2个安保小组,则这样的安排方法共有 种.
4.在同一个平面内有一组平行线共8条,另一组平行线共10条,这两组平行线相互不平行.
(1)它们共能构成 个平行四边形;
(2)共有 个交点.
参考答案
课时4 组合数的应用
自主预习·悟新知
预学忆思
1.共同点:排列与组合都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素.
不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.
2.(1)=;(2)+=.
自学检测
1.(1)× (2)× (3)√ (4)×
2.A 【解析】按照组合的定义,从甲、乙、丙、丁4个人中选取2人参加会议,有==6种选法.
3.10 【解析】由示意图可以得出以下结论:①要使走的路程最短,则必须走5步,且不能重复;②向东的走法定出后,向南的走法随之确定,所以我们只要确定出向东的三步走法有多少种即可.故不同走法的种数为=10.
4.【解析】(1)从2位女生、4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动,不同的选择方法数为=20.
(2)没有女生入选的不同的选择方法数为=4,所以至少有1位女生入选的不同的选择方法数为20-4=16.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:以2个点为端点的有向线段有2条,故满足条件的有向线段条数为=4×3=12.
问题2:以2个点为端点的线段只有1条,故满足条件的线段条数为==6.
问题3:分析选出的元素是否与顺序有关,若与顺序无关,利用组合、组合数公式求解即可,若与顺序有关,可利用排列、排列数公式求解.
新知运用
例1 【解析】(1)(法一)可作出三角形的个数为++=116.
其中以C1为顶点的三角形的个数为++=36.
(法二)可作出三角形的个数为-=116,
其中以C1为顶点的三角形的个数为++=36.
(2)可作出四边形的个数为++=360.
巩固训练 A 【解析】(法一)可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类,得到所有的取法总数为+++=205.
(法二)从10个点中任取4个点的情况中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况,得到可构成四面体的个数为-=205.
探究2 情境设置
问题1:先从6个数中任意取3个数,有=20种选法,再把选出的3个数里最大的数排在个位,有1种排法,把最小的数排在百位,有1种排法,剩下的数排在十位,有1种排法,则符合要求的三位数的个数为20×1×1×1=20.
问题2:甲、乙中裁去1人的方案有种,甲、乙都不裁的方案有种,故不同的裁员方案共有+=182(种).
问题3:解决有限制条件的组合问题,特殊元素优先安排,注意含有“至多”“至少”等限制的语句,可以据此作为分类依据,或采用间接法求解.
新知运用
例2 【解析】(1)首先从4名呼吸科专家中任选2名,有种选法,再从6名非呼吸科专家中选取4名,有种选法,所以有=90种抽调方法.
(2)“至少”的含义是“不低于”,有两种解答方法.
(法一:直接法)按选取的呼吸科专家的人数分类:
①选取2名呼吸科专家,有种选法;②选取3名呼吸科专家,有种选法;③选取4名呼吸科专家,有种选法.
根据分类加法计数原理,共有++=185种抽调方法.
(法二:间接法)不考虑是否选取呼吸科专家,有种选法;选取1名呼吸科专家,有种选法;没有选取呼吸科专家,有种选法.所以共有--=185种抽调方法.
(3)“至多有2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况,分类解答:
①没有选取呼吸科专家,有种选法;②选取1名呼吸科专家,有种选法;③选取2名呼吸科专家,有种选法.
所以共有++=115种抽调方法.
巩固训练 【解析】(1)从这12件产品中任意抽出3件,共有=220种不同的抽法.
(2)抽出的3件中恰好有1件次品是指抽出2件正品、1件次品,有=90种不同的抽法.
(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法种数,可以用12件产品中任意抽出3件的抽法种数减去抽出3件产品全是正品的抽法种数,因此,共有-=220-120=100种不同的抽法.
探究3 情境设置
问题1:把a,b,c,d平均分成两组,有=3种分法.
问题2:共有=4种分法.
问题3:先分组1,1,2,有种分法,再把这三组分给3个人,共有=36种分法.
新知运用
例3 【解析】(1)由题意知,根据平均分组问题分法,有=105种不同的分法.
(2)由题意知,根据部分平均分组问题,有=210种不同的分法.
例4 【解析】(1)这是“不平均分组”问题,一共有=60种分法.
(2)在(1)的基础上再进行全排列即可,所以一共有=360种分法.
例5 【解析】可以分为三类:①“2,2,2型”,有·=90种分法;②“1,2,3型”,有=360种分法;③“1,1,4型”,有·=90种分法.所以一共有90+360+90=540种分法.
巩固训练 【解析】(1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个,将小球一个一个地放入盒子,有4×4×4×4=44=256种放法.
(2)这是全排列问题,有=24种放法.
(3)(法一)先将4个小球分为3组,有种分法,再将3组小球投入4个盒子中的3个盒子,有种放法,故有·=144种放法.
(法二)先取4个球中的2个“捆”在一起,有种选法,把这2个球与其他2个球共3组分别放入4个盒子中的3个盒子,有种放法,所以有=144种放法.
(4)1个球的编号与盒子编号相同的选法有种,当1个球与1个盒子的编号相同时,用局部列举法可知其余3个球的放法有2种,故有·2=8种放法.
(5)先从4个盒子中选出3个盒子,再从3个盒子中选出1个盒子放入2个球,余下2个盒子各放1个,因为球是相同的,即没有顺序,所以属于组合问题,故有=12种放法.
随堂检测·精评价
1.A 【解析】先安排1名教师和2名学生到甲地,再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地,共有=12种安排方案.
2.B 【解析】先选择2个编号与座位号一致的人,有=10种情况,另外3个人编号与座位号不一致,有2种情况,所以不同的坐法有10×2=20(种).
3.90 【解析】先将安保小组进行分组,然后安排到3个区域,
所以不同的安排方法有·=×6=90(种).
4.(1)1 260 (2)80 【解析】(1)第一组中每2条直线与另一组中的每2条直线均能构成一个平行四边形,故能构成=1 260个平行四边形.
(2)第一组中的每条直线与另一组中的每条直线均有一个交点,所以共有=80个交点.6.2 排列与组合
课时1 排列、排列数
【学习目标】 1.理解排列和排列数的概念,能正确写出一些简单问题的所有排列.(逻辑推理) 2.能够用列举法、树状图求排列的方法种数.(直观想象) 3.理解排列数公式及简单应用.(数学运算)
【自主预习】
1.甲、乙、丙3名同学排成一行照相,共有多少种排法
2.北京、广州、南京、武汉4个城市相互通航,请列举出所有机票的情况,并指出共有多少种机票.
3.问题1,2中的元素是如何排列的
4.若两个排列的元素相同,则这两个排列是相同的排列吗
5.什么是排列数
6.排列数公式有什么应用
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在一个排列中,同一个元素不能重复出现. ( )
(2)从1,2,3,4中任选两个元素,就组成一个排列. ( )
(3)用a,b,c构成的所有不同排列的个数为3. ( )
(4)89×90×91×…×100可以表示为. ( )
2.已知=132,则n=( ).
A.11 B.12 C.13 D.14
3.(多选题)在下面问题中,不是排列问题的是( ).
A.由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数
B.从40人中选5人组成篮球队
C.从100人中选2人进行抽样调查
D.从1,2,3,4,5中选2个数组成集合
4.(改编)从《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》《围城》这五本名著中选出两本送给两名优秀学生,每人一本,则不同的送书方法种数为 .
【合作探究】
排列的概念
问题1:某电影中经典的破解密码锁片段:密码锁的开关由四个元件构成,每个元件要五选一,也就是有625种可能.请问625是怎么得来的
问题2:宣城市与黄山市在地图上相邻,为了区分两者的地界,在红、黄、蓝三种颜料中取两种颜料,一种涂在黄山市地图上,一种涂在宣城市地图上,一共有多少种方法
问题3:某校庆祝建党百年朗诵活动中,A,B,C三位朗诵员站成一排面向观众,一共有多少种不同的站法
问题4:问题1,2,3的共同特征是什么
1.排列
一般地,从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
2.两个排列相同的充要条件是两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.
一、排列概念的理解
判断下列问题是否为排列问题.
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同);
(2)从5个小组中选2个小组分别去植树和种菜;
(3)从5个小组中选2个小组去种菜;
(4)从20人中选10人组成一个学习小组;
(5)从20人中选3人分别担任班长、学习委员、生活委员;
(6)某班40名学生在假期相互通信.
【方法总结】排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关,而且与元素的排列顺序有关.这就说明,在判断一个问题是否是排列问题时,可以考虑对所取出的元素任意交换其中两个,若结果变化,则是排列问题,否则不是排列问题.
(多选题)下列问题是排列问题的是( ).
A.高二(1)班选2名班干部去学校礼堂听团课
B.某班30名同学围坐在一起玩击鼓传花
C.从1,2,3,4,5中任取两个数字相除
D.10个车站,站与站间的车票
二、画树状图写排列
A,B,C,D四个人坐成一排照相有多少种坐法 将它们列出来.
A,B,C,D四名同学排成一排照相,要求自左向右,A不排第一位,B不排第四位,共有 种不同的排列方法.
三、简单的排列问题
(1)有7本不同的书,从中选3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法
(2)有7种不同的书,要买3本送给3名同学,每人各1本,共有多少种不同的送法
【方法总结】对于简单的排列问题,其解题思路可借助分步乘法计数原理进行,即采用元素分析法或位置分析法求解.
沪宁高铁线上有六个大站:上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京.铁路部门应为沪宁高铁线上的六个大站(这六个大站之间)准备不同的火车票的种数为( ).
A.15 B.30 C.12 D.36
3盆不同品种的花排成一排,共有 种不同的排法.
排列数与排列数公式
问题1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中一名同学参加上午的活动,另一名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法
问题2:在上海交通大学建校120年周年之际,有29位曾是上海交通大学的学子的名人大家,要在庆祝会上逐一介绍,那么这29位大家的排列顺序有多少种 这样的排列顺序问题能否用一个公式来表示呢
问题3:问题1可以用公式表示吗 如何计算 能否求出的值
问题4:你能写出的值吗 它有什么特征 若m=n呢
问题5:排列与排列数有何区别
排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数
符号表示
全排列 把n个不同的元素全部取出的一个排列,叫作n个元素的一个全排列.这时,排列数公式中m=n,即有=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1
阶乘 正整数1到n的连乘积,叫作n的阶乘,用n!表示.于是,n个元素的全排列数公式可以写成=n!.规定0!=1
乘积式 =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(m,n∈N*,且m≤n)
阶乘式 =(m,n∈N*,且m≤n)
一、利用排列数公式求值
已知=2,则n的值为 .
二、利用排列数公式化简
(1)用排列数表示(55-n)(56-n)·…·(69-n)(n∈N*,且n<55);
(2)化简:n(n+1)(n+2)(n+3)·…·(n+m)(m,n∈N*).
三、利用排列数公式证明
求证:-=m.
【方法总结】排列数的计算方法 (1)排列数的计算主要是利用排列数公式进行的,应用时需注意连续正整数的积可以写成某个排列数,其中最大的是排列元素的总个数,而正整数(因式)的个数是选取元素的个数,这是排列数公式的逆用.(2)应用排列数公式的阶乘形式时,一般写出它们的式子后,再提取公因式,然后计算,这样能减少运算量.
不等式<6的解集为 .
【随堂检测】
1.甲、乙、丙三名同学排成一排,不同的排列方法有( ).
A.3种 B.4种 C.6种 D.12种
2.90×91×92×…×100可以表示为( ).
A. B. C. D.
3.已知=7,则n的值为 .
参考答案
6.2 排列与组合
课时1 排列、排列数
自主预习·悟新知
预学忆思
1.根据分步乘法计数原理,3名同学排成一行照相,共有N=3×2×1=6种排法.
2.由列举法列出,如图所示.
根据分步乘法计数原理,共有4×3=12种机票.
3.这些问题都需要将给定的n个元素或者其中的一些元素按照一定的顺序进行排列.
4.不是,因为相同的两个排列不仅需要元素相同,而且元素的排列顺序也需要相同.
5.从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表示.
6.排列数公式=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)适用于已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式.在运用时要注意它的特点,从n起写出连续m个数的乘积即可.
自学检测
1.(1)√ (2)× (3)× (4)×
2.B 【解析】∵=n(n-1)=132,∴n=12.
3.BCD 【解析】选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关,是排列问题.选项B,C,D只需取出元素即可,与元素的排列顺序无关,不是排列问题.
4.20 【解析】此问题相当于求从5个不同元素中取出2个元素的排列数,即共有=20种不同的送书方法.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:开密码锁可以分为四个步骤,每一个步骤都有5种可能,总共四个步骤就有54=625种不同的可能.
问题2:完成涂色只需要分两个步骤,第一步,给黄山市地图涂色,有三种颜色可供选择,第二步,给宣城市地图涂色,这里还剩两种颜料可选择,根据分步乘法计数原理,共有3×2=6种方法.
问题3:完成站位这件事情可以分为三个步骤:第一步,选出站在最左边的朗诵员,有3种选法;第二步,选出中间的朗诵员,有2种选法;第三步,选出站在最右边的朗诵员,有1种选法.根据分步乘法计数原理,共有3×2×1=6种不同的站法.
问题4:三道题目的共同特征就是从一些不同元素中,取出部分元素,再按照顺序排成一列.
新知运用
例1 【解析】(1)虽然机票是不同的,但票价是一样的,不存在顺序问题,所以不是排列问题.
(2)植树和种菜是不同的,存在顺序问题,是排列问题.
(3)(4)不存在顺序问题,不是排列问题.
(5)中每个人的职务不同,存在顺序问题,是排列问题.
(6)A给B写信与B给A写信是不同的,所以存在顺序问题,是排列问题.
综上,(2)(5)(6)是排列问题,(1)(3)(4)不是排列问题.
巩固训练 BCD 【解析】选项A,不存在顺序,不是排列问题;选项B,存在顺序,是排列问题;选项C,两个数相除与这两个数的顺序有关,是排列问题;选项D,车票使用时有起点和终点之分,故车票的使用是有顺序的,是排列问题.故选BCD.
例2 【解析】A,B,C,D四个人坐成一排照相,可以分四个步骤完成:第1步,安排A,有4种坐法;第2步,安排B,有3种坐法;第3步,安排C,有2种坐法;第4步,安排D,有1种坐法.根据分步乘法计数原理,共有4×3×2×1=24种坐法.
画出树状图,如图所示.
由树状图可知,所有坐法为ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA,DACB,DABC,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA.
巩固训练 14 【解析】因为A不排第一位,所以排第一位的情况有3种(可从B,C,D中任选一人排),而此时兼顾分析B的排法,画出树状图,如图所示.
所以符合题意的所有排列有BADC,BACD,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CBAD,CBDA,CDBA,DABC,DBAC,DBCA,DCBA,共14种.
例3 【解析】(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学,相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列,所以共有7×6×5=210种不同的送法.
(2)从7种不同的书中买3本书,这3本书并不要求都不相同,根据分步乘法计数原理,共有7×7×7=343种不同的送法.
巩固训练1 B 【解析】对于两个大站A和B,从A到B的火车票与从B到A的火车票不同,因为每张车票对应一个起点站和一个终点站,因此,每张火车票对应从6个不同元素(大站)中取出2个不同元素(起点站和终点站)的一个排列,故不同的火车票有6×5=30(种).
巩固训练2 6 【解析】共有3×2×1=6种不同的排法.
探究2 情境设置
问题1:共有3×2=6种不同的选法.
问题2:有29×28×27×…×2×1种排列顺序.能,可以用表示.
问题3:能用公式表示,其值为=3×2=6,类比的计算可得=n(n-1).
问题4:=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(m,n∈N*,m≤n).
(1)公式特征:第一个因数是n,后面每一个因数比它前面一个少1,最后一个因数是n-m+1,共有m个因数;
(2)当m=n时,即n个不同元素全部取出的一个排列,即=n·(n-1)·(n-2)·…·2·1=n!.
问题5:“一个排列”是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,不是数;“排列数”是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,是一个数.所以符号只表示排列数,而不表示具体的排列.
新知运用
例4 5 【解析】因为=2,所以2n(2n-1)·(2n-2)=2(n+1)n(n-1)(n-2),
由题意知n≥3,解得n=5.
例5 【解析】(1)∵55-n,56-n,…,69-n中的最大数为69-n,且共有(69-n)-(55-n)+1=15个数,
∴(55-n)(56-n)·…·(69-n)=.
(2)由排列数公式可知n(n+1)(n+2)(n+3)·…·(n+m)=.
例6 【解析】∵-=-
=-1=·
=m·=m,
∴-=m.
巩固训练 {8} 【解析】由<6,得<6×,
化简得x2-19x+84<0,解得7又所以3≤x≤8, ②
由①②及x∈N*,得x=8.因此,原不等式的解集为{8}.
随堂检测·精评价
1.C 【解析】由排列的定义得,共有=6种不同的排列方法.
2.B 【解析】由排列数公式得原式为.故选B.
3.7 【解析】由=7,得n(n-1)=7(n-4)(n-5),n∈N*,
∴3n2-31n+70=0,解得n=7或n=(舍去).
