6.3 二项式定理
课时1 二项式定理
【学习目标】 1.能用计数原理证明二项式定理.(逻辑推理) 2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项.(数学抽象) 3.能解决与二项展开式有关的简单问题.(数学运算)
【自主预习】
1.你能写出(b+a)n的展开式吗 展开式中的字母a,b能交换位置吗
2.(1+2x)n的展开式是什么 其第5项的二项式系数和第5项的系数各是什么
3.在二项式定理中,项的系数与二项式系数有什么区别
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)(a+b)n的展开式共有n项. ( )
(2)(a+b)n与(b+a)n的展开式中,第r+1项相同. ( )
(3)arbn-r是(b+a)n的展开式的第r(r=0,1,2,…,n)项. ( )
(4)在(1±x)n的展开式中,各项的系数与其二项式系数均相等. ( )
2.若(x+2)n的展开式共有11项,则n=( ).
A.9 B.10 C.11 D.8
3.-6的展开式的第3项是 .
4.求x+6的展开式.
【合作探究】
二项式定理
问题1:在初中,我们用多项式乘法法则得到了(a+b)2的展开式:(a+b)2=(a+b)(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2.如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程
问题2:在合并同类项之前,(a+b)2的展开式为aa+ab+ba+bb,每项都是a2-kbk(k=0,1,2)的形式,你能从组合的观点解释合并同类项后a2-kbk的系数特点吗
问题3:仿照上述过程,你认为(a+b)3,(a+b)4,(a+b)n的展开式分别是什么
二项式定理
公式(a+b)n=an+an-1b+…+an-kbk+…+bn(n∈N*)叫作二项式定理.简写成(a+b)n=an-kbk.等号右边的式子称为二项展开式,(a+b)n的展开式共有(n+1)项,其中(k=0,1,2,…,n)称为二项式系数.
(1)求-4的展开式.
(2)化简:(x+1)n-(x+1)n-1+(x+1)n-2-…+(-1)k(x+1)n-k+…+(-1)n.
【方法总结】二项式定理的双向功能 (1)正用:将(a+b)n展开,得到一个多项式,即二项式定理从左到右使用是展开.对于较复杂的式子,可先化简,再用二项式定理展开. (2)逆用:将展开式合并成(a+b)n的形式,即二项式定理从右到左使用是合并.对于化简、求和、证明等问题的求解,要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律.
1-2+4-8+16+…+(-2)n的值为( ).
A.1 B.-1
C.(-1)n D.3n
若(1+)4=a+b(a,b为有理数),则a+b= .
二项展开式的通项
问题1:在(a+b)n的展开式中,第k项是什么
问题2:在(a+b)n的展开式中,Tk+1=an-kbk是展开式的第几项 其二项式系数是什么
问题3:(1+3x)n的展开式是什么 其第6项的二项式系数和第6项的系数各是什么
二项展开式的通项
(a+b)n展开式中的an-kbk叫作二项展开式的通项,它表示展开式的第k+1项,记作Tk+1=an-kbk.
一、二项展开式的通项的应用
(1)求2-6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数;
(2)求x-9的展开式中x3的系数.
(改编)在-6的展开式中,含x-3项的系数为( ).
A.240 B.160 C.-160 D.-240
若(2-x)n(n∈N*)的展开式中的常数项为32,则n=( ).
A.5 B.6 C.7 D.8
二、求两个多项式积的特定项
(1)(-2x+3)x-25的展开式中x3的系数为( ).
A.270 B.-270 C.765 D.-765
(2)若(x2-a)x-10的展开式中x6的系数为30,则a= .
【方法总结】求多项式积的特定项的方法——双通法 所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到(a+bx)n(s+tx)m的展开式中的一般项为Tk+1·Tr+1=an-k(bx)k·sm-r(tx)r,再依据题目中对指数的特殊要求,确定r与k所满足的条件,进而求出r,k的取值情况.
已知(ax+1)(2x-1)7的展开式中x3的系数为448,则展开式中x2的系数为 .
有理项问题
问题1:什么是展开式中的有理项
问题2:什么是展开式中的整数项 与有理项相同吗
1.求展开式中的有理项的方法,一般是先写出通项,再找出其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其为整数,再根据数的整除性来求解.
2.求展开式中的整数项的方法,一般是先写出通项公式,再找出其通项公式中同一字母的指数是自然数的项,求解方式与求解有理项的方式一致.
已知x-n的展开式中,第4项和第5项的二项式系数相等,则该展开式中有理项的个数是( ).
A.5 B.4 C.3 D.2
【方法总结】求二项展开式的有理项,应写出它的通项,令未知量的指数为整数,便能求出符合题意的有理项.
已知在-n(n≥3,n∈N*)的展开式中,第2、第3、第4项的二项式系数依次成等差数列.
(1)证明:展开式中没有常数项.
(2)求展开式中所有的有理项.
【随堂检测】
1.在(1-2x)6的展开式中,x3的系数为( ).
A.20 B.-20 C.160 D.-160
2.化简多项式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的结果是( ).
A.(2x+2)5 B.2x5
C.(2x-1)5 D.32x5
3.(1-x3)的展开式中的常数项为 .
4.已知3x+4.
(1)求展开式中x的系数;
(2)求展开式中所有的有理项.
参考答案
6.3 二项式定理
课时1 二项式定理
自主预习·悟新知
预学忆思
1.能.(b+a)n=bn+bn-1a+bn-2a2+…+an.展开式中的字母a,b是不能交换位置的.虽然(a+b)n与(b+a)n结果相同,但(a+b)n与(b+a)n的展开式是有区别的,即二者的展开式中的项的排列顺序是不同的,不能混淆,如(a+b)3的展开式中第2项是3a2b,而(b+a)3的展开式中第2项是3ab2,故两者是不同的.
2.(1+2x)n=+2x+(2x)2+(2x)3+…+(2x)n.其第5项的二项式系数为,第5项的系数为·24=16.
3.二项式系数与展开式中对应项的系数不一定相等,二项式系数仅与二项式的指数及项数有关,与二项式无关,而项的系数与二项式、二项式的指数及项数均有关.
自学检测
1.(1)× (2)× (3)× (4)×
2.B 【解析】因为(a+b)n的展开式共有n+1项,而(x+2)n的展开式共有11项,所以n=10.
3.60 【解析】因为-6的展开式的通项为Tr+1=·()6-r·-r(其中0≤r≤6,且r∈N),所以展开式的第3项是T3=()4-2=60.
4.【解析】根据二项式定理可知,
x+6=(x+x-1)6
=x6+x5x-1+x4x-2+x3x-3+x2x-4+x1x-5+x-6
=x6+6x4+15x2+20+15x-2+6x-4+x-6.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:从上述过程可以看到,(a+b)2是2个(a+b)相乘,根据多项式乘法法则,每个(a+b)在相乘时有两种选择,选a或选b,而且每个(a+b)中的a或b都选定后,才能得到展开式的一项.于是,由分步乘法计数原理,在合并同类项之前,(a+b)2的展开式共有2×2=22项,而且每一项都是a2-kbk(k=0,1,2)的形式.
问题2:当k=0时,a2-kbk=a2,是由2个(a+b)中都不选b得到的,所以a2出现的次数相当于从2个(a+b)中取0个b(即都取a)的组合数,因此a2只有1个;
当k=1时,a2-kbk=ab,是由一个(a+b)中选a,另一个(a+b)中选b得到的,由于b选定后,a的选法也随之确定,因此,ab出现的次数相当于从2个(a+b)中取1个b的组合数,即ab共有2个;
当k=2时,a2-kbk=b2,是由2个(a+b)中都选b得到的,所以b2出现的次数相当于从2个(a+b)中取2个b的组合数,因此b2只有1个.
由上述分析可以得到(a+b)2=a2+ab+b2.
问题3:(a+b)3=a3+a2b+ab2+b3;
(a+b)4=a4+a3b+a2b2+ab3+b4;
(a+b)n=an+an-1b+…+abn-1+bn.
新知运用
例1 【解析】(1)-4=()4-·()3·+()22-··3+4=x2-2x+-+.
(2)原式=(x+1)n+(x+1)n-1(-1)+(x+1)n-2(-1)2+…+(x+1)n-k(-1)k+…+·(-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn.
巩固训练1 C 【解析】1-2+4-8+16+…+(-2)n=[1+(-2)]n=(1-2)n=(-1)n.
巩固训练2 44 【解析】∵(1+)4=×()0+×()1+×()2+×()3+×()4=1+4+18+12+9=28+16,
∴a=28,b=16,∴a+b=28+16=44.
探究2 情境设置
问题1:第k项是Tk=T(k-1)+1=an-k+1bk-1.
问题2:Tk+1=an-kbk是第k+1项,其二项式系数为.
问题3:(1+3x)n=+·3x+(3x)2+(3x)3+…+(3x)n.其第6项的二项式系数为,第6项的系数为·35=243.
新知运用
例2 【解析】(1)由已知得2-6的展开式的通项为Tr+1=·(2)6-r·-r=(-1)r·26-r·,
所以2-6的展开式中第6项的二项式系数为=6,第6项的系数为·(-1)5·2=-12.
(2)x-9的展开式的通项为Tr+1=x9-r·-r=(-1)r··x9-2r,
令9-2r=3,可得r=3,即展开式中第4项含x3,其系数为(-1)3·=-84.
巩固训练1 A 【解析】-6的展开式的通项为Tr+1=()6-r·(-2)rx-r=(-2)r·.令=-3,得r=4,所以含x-3项的系数为16=240.故选A.
巩固训练2 A 【解析】(2-x)n(n∈N*)的展开式的通项为Tk+1=·2n-k·(-x)k,
故常数项为T1=·2n=32,解得n=5.故选A.
例3 (1)C (2)- 【解析】(1)因为(-2x+3)·=-2x+3,
而的展开式的通项为Tr+1=·×(-2)r,
所以该展开式中x3的系数为-2×××(-2)3+3×××(-2)2=765.故选C.
(2)的展开式的通项为Tr+1=x10-r·=(-1)r·x10-2r,
故展开式中x6的系数为(-1)3×-a×(-1)2×=-120-45a,
则-120-45a=30,解得a=-.
巩固训练 -112 【解析】依题意,(ax+1)(2x-1)7=ax(2x-1)7+(2x-1)7,
(2x-1)7的展开式的通项为Tr+1=(2x)7-r×(-1)r,
所以-a×22+×23=-84a+280=448,解得a=-2,
故展开式中x2的系数为-2××2-×22=-28-84=-112.
探究3 情境设置
问题1:展开式中的有理项,就是指系数为有理数,且字母的指数为整数的项,一般是指通项公式中字母的指数为整数的项.
问题2:展开式中的整数项是有理项的一部分,是有理项中分母不含字母的项,与有理项不同.
新知运用
例4 B 【解析】x-n的展开式的通项为Tk+1=xn-k-k=(-2)k,k=0,1,2,…,n.
∵第4项和第5项的二项式系数相等,∴,∴n=7,∴Tk+1=(-2)k,k=0,1,2,…,7,∴当7-为整数,即k=0,2,4,6时,Tk+1=(-2)k为有理项,∴展开式中有理项的个数是4.故选B.
巩固训练 【解析】(1)由第2、第3、第4项的二项式系数依次成等差数列,得2=+,
解得n=2(舍去)或n=7,
所以-7的展开式的通项为Tr+1=()7-r-r=-r,
令=0,得r= N*,故展开式中没有常数项.
(2)令∈Z,解得r=2或r=6,
T3=-2=x2,T7=·-6x-1=,
故展开式中的有理项为T3=x2和T7=.
随堂检测·精评价
1.D 【解析】(1-2x)6的展开式的通项为Tr+1=·16-r·(-2)rxr=(-2)rxr,
令r=3,则T4=(-2)3x3=-160x3,所以x3的系数为-160.
2.D 【解析】原式=[(2x+1)-1]5=(2x)5=32x5.
3.-4 【解析】的展开式的通项为Tr+1=(-1)r·22r-6·,r=0,1,2,3,4,5,6,
令6-=0,解得r=4,令6-=-3,解得r=6.
由于(1-x3)=-x3,
故其展开式中的常数项为(-1)4××22-(-1)6××26=60-64=-4.
4.【解析】(1)由题意知,展开式的第r+1项为Tr+1=(3x)4-r·r=34-r.
令4-r=1,得r=2,则展开式中x的系数为32×=54.
(2)由(1)可知,令4-r∈Z,则r=0,2,4,
所以所有的有理项为81x4,54x,x-2.6.3 二项式定理
课时2 二项式系数的性质
【学习目标】 1.了解杨辉三角.(逻辑推理) 2.掌握二项式系数的性质.(逻辑推理、数学运算) 3.会用赋值法求系数和.(数学运算)
【自主预习】
1.在(1+2x)2 024的展开式中,二项式系数的最大项是第几项 最大值是多少 在(1+x)2 024的展开式中,二项式系数的最大值是多少
2.若(a+b)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大,则n为何值
3.(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和与a,b的取值有关系吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)二项展开式中系数最大的项与二项式系数最大的项是相同的. ( )
(2)二项展开式的二项式系数和为++…+. ( )
(3)在(a-b)n的展开式中,当n为偶数时,展开式的中间一项的系数最大. ( )
(4)在(a+b)n的展开式中,二项式系数具有对称性,所以=. ( )
2.在(1+x)2n+1的展开式中,二项式系数最大的项的项数是( ).
A.n,n+1 B.n-1,n
C.n+1,n+2 D.n+2,n+3
3.(改编)已知(4-5x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则a1+a2+…+a9的值为( ).
A.48+1 B.48-1
C.49+1 D.-49-1
4.若x-6的展开式中常数项为-160,则展开式中各项系数之和为 .
【合作探究】
杨辉三角
下面是历史上的杨辉三角.
问题1:各行的数字有什么关系
问题2:第1、第2、第3、第4、第5、第6行的数字之和各是多少 由此你能猜出第n行的数字之和吗
问题3:试写出第n行、第n+1行的数字,并探讨与,之间有什么关系.
问题4:杨辉三角有什么作用
杨辉三角的特点
(1)每行两端都是1,在同一行中与这两个1等距离的项的系数相等.
(2)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的和,即=+.
(多选题)我国南宋数学家杨辉在其1261年所著的《详解九章算法》中给出了著名的“杨辉三角”,由此可见我国古代数学的成就是非常值得我们自豪的.以下关于杨辉三角的说法正确的有( ).
A.第9行中从左到右第6个数是126
B.++++…+=286
C.第7行从左到右第5个数与第6个数的比为5∶2
D.由“第n行所有数之和为2n”猜想+++…+=2n
【方法总结】解决与杨辉三角有关问题的一般思路 (1)观察:根据题目要求对杨辉三角横看、竖看、隔行看、连续看,多角度进行观察. (2)找规律:通过观察找出每一行的数之间、行与行的数据之间的规律.
如图,在“杨辉三角”中,从左到右第3斜行的数构成一个数列:1,3,6,10,15,….那么该数列的前10项的和为( ).
A.66 B.120 C.165 D.220
二项式系数的性质
问题1:根据杨辉三角的特点,在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等,你可以得到二项式系数的什么性质
问题2:计算,并说明你得到的结论.
问题3:二项式系数何时取得最大值
1.对称性
在(a+b)n的展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即=.
2.最值与增减性
(1)增减性:当k<时,二项式系数随k的增加是逐渐增大的;当k>时,二项式系数随k的增加是逐渐减小的.
(2)最大值:当n为偶数时,中间一项的二项式系数取得最大值;当n为奇数时,中间两项的二项式系数,相等,且同时取得最大值.
(多选题)若x-n的展开式共有8项,则下列有关该展开式的说法正确的是( ).
A.n=8
B.各二项式系数的和为128
C.二项式系数最大的项有2项
D.第4项与第5项的系数相等且最大
【方法总结】1.二项式系数最大的项的求法 求二项式系数最大的项,根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论: (1)当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大; (2)当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大. 2.展开式中系数最大的项的求法 求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的,需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数最大的项,一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A0,A1,A2,…,An,且第k+1项最大,应用解出k,即可得出系数最大的项.
已知-8的展开式.
(1)求二项式系数最大的项.
(2)系数的绝对值最大的项是第几项
(3)求系数最大的项与系数最小的项.
赋值法
问题1:你是如何求(a+b)n的展开式的二项式系数和的
问题2:什么是赋值法
二项展开式中系数和的求法:
(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.
(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=.
设(1-2x)2 020=a0+a1x+a2x2+…+a2 020·x2 020(x∈R).
(1)求a0+a1+a2+…+a2 020的值;
(2)求a1+a3+a5+…+a2 019的值;
(3)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2 020|的值.
【方法总结】
(多选题)已知(2-x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则( ).
A.a0=28
B.a1+a2+…+a8=1
C.二项式系数和为256
D.a1+2a2+3a3+…+8a8=-8
【随堂检测】
1.设(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a1+a2+a3+a4=( ).
A.-1 B.0
C.1 D.2
2.设(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,则a0+a1+a2+…+a11的值为( ).
A.-2 B.1
C.2 D.2×39
3.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就之一,如图,这是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵,记an为图中所选数1,1,2,3,6,10,20,…构成的数列{an}的第n项,则a11的值为 .
4.已知+2xn的展开式中前三项的二项式系数的和等于37,求展开式中二项式系数最大的项的系数.
参考答案
课时2 二项式系数的性质
自主预习·悟新知
预学忆思
1.在(1+2x)2 024和(1+x)2 024的展开式中,都含有2 025项,中间一项的二项式系数最大,即第1 013项的二项式系数最大,最大值均为.
2.由二项式系数的性质可知,第5项为展开式的中间项,即展开式共有9项,故n=8.
3.(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和与a,b的值无关,其和为+++…+=2n.
自学检测
1.(1)× (2)× (3)× (4)×
2.C 【解析】因为2n+1为奇数,所以二项式系数最大的项有两项,分别为第n+1项和第n+2项.
3.D 【解析】令x=1,得a0+a1+a2+…+a9=(4-5)9=-1.
令x=0,得a0=(4-5×0)9=49.
故a1+a2+…+a9=-49-1.故选D.
4.1 【解析】x-6的展开式的通项为Tr+1=x6-r-r=(-2a)rx6-2r,只有当r=3时,Tr+1为常数项,从而得T4=(-2a)3=-160,解得a=1,令x=1,则展开式中各项系数之和为1.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:每一行中的数字具有对称性.
问题2:第1、第2、第3、第4、第5、第6行的数字之和分别是21,22,23,24,25,26,故第n行的数字之和应为2n.
问题3:第n行 1 … … 1
第n+1行 1 … … 1
且=+.
问题4:利用杨辉三角可以直观地看出二项式系数的性质,当二项式的次数不大时,可借助它直接写出各项的二项式系数.
新知运用
例1 ABD 【解析】第9行从左到右第6个数是=126,A正确;
由组合数的性质可得+++…+=+++…+=++…+=+==286,B正确;
第7行从左到右第5个数与第6个数的比为∶=5∶3,C错误;
由组合数的性质得+++…+=(1+1)n=2n,D正确.故选ABD.
巩固训练 D 【解析】由题意可知第3斜行的前10项分别为,,,…,,
则+++…+=+++…+=++…+=…=+==220,
所以该数列的前10项的和为220.
探究2 情境设置
问题1:对称性,即=.
问题2:=.
当k<时,>1,说明二项式系数随k的增加逐渐增大;
同理,当k>时,二项式系数随k的增加逐渐减小.
问题3:当n是偶数时,中间一项的二项式系数取得最大值;当n是奇数时,中间两项的二项式系数,相等,且同时取得最大值.
新知运用
例2 BC 【解析】因为x-n的展开式共有8项,所以n=7,所以A错误;
根据二项式系数和的性质,可得二项式系数的和为27=128,所以B正确;
根据二项式系数的性质,可得中间两项的二项式系数最大,即第4项和第5项的二项式系数最大,所以C正确;
因为x-7的展开式的第4项为T3+1=x4·-3=-35,第5项为T4+1=x3-4=35x,所以展开式中第4项与第5项的系数不相等,所以D错误.故选BC.
巩固训练 【解析】-8的展开式的通项为Tr+1=·()8-r·-r=(-1)r··2r·.
(1)二项式系数最大的项为中间项,即第5项,故T5=(-1)4××24×=1 120x-6.
(2)设第r+1项系数的绝对值最大,
则即
整理得所以r=5或r=6.
故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.
(3)由(2)知,展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大,又第6项的系数为负,第7项的系数为正,
所以系数最大的项为T7=(-1)6××26×x-11=1 792x-11,
系数最小的项为T6=(-1)5××25=-1 792.
探究3 情境设置
问题1:利用赋值法,在二项展开式中,令a=b=1,整理可得+++…+=2n.
问题2:赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值,从而达到解决问题的目的的一种方法.
新知运用
例3 【解析】(1)令x=1,得a0+a1+a2+…+a2 020=(-1)2 020=1.
(2)令x=-1,得a0-a1+a2-…-a2 019+a2 020=32 020,
结合(1)得2(a1+a3+…+a2 019)=1-32 020,
∴a1+a3+a5+…+a2 019=.
(3)∵(1-2x)2 020的展开式的通项为Tr+1=·(-2x)r=(-1)r··(2x)r,
∴a2k-1<0(k∈N*),a2k>0(k∈N),
∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2 020|=a0-a1+a2-a3+…-a2 019+a2 020=32 020.
巩固训练 ACD 【解析】由(2-x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,令x=0,得a0=28,A正确;令x=1,得a0+a1+a2+…+a8=1,所以a1+a2+…+a8=1-28,B错误;二项式系数和为28=256,C正确;由(2-x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,两边求导得-8(2-x)7=a1+2a2x+3a3x2+…+8a8x7,令x=1,得a1+2a2+3a3+…+8a8=-8,D正确.故选ACD.
随堂检测·精评价
1.B 【解析】依题意,(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,令x=0,得a0=1;令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=1.
所以a1+a2+a3+a4=0.
2.A 【解析】令x=-1,得a0+a1+a2+…+a11=-2.
3.462 【解析】根据数字的构成规律,可得数列{an}的奇数项为第n(n为奇数)行的第项,偶数项为第n(n为偶数)行的第项或第项,则a11为第11行的第=6项,结合二项展开式的二项式系数的性质,可得a11==462.
4.【解析】由++=37,得1+n+n(n-1)=37,解得n=8或n=-9(舍去),则第5项的二项式系数最大,T5=××(2x)4=x4,故该展开式中二项式系数最大的项的系数为.
