7.1 条件概率与全概率公式
课时2 全概率公式
【学习目标】 1.理解并掌握乘法公式与全概率公式.(数学抽象) 2.能运用乘法公式与全概率公式解决简单的概率问题.(数据分析、数学运算)
【自主预习】
1.P(AB),P(B),P(A|B)(其中P(B)>0)之间存在怎样的等量关系
2.全概率公式中,样本空间Ω中的事件Ai需满足的条件是什么
3.P(B|A)与P(|A)存在怎样的等量关系
4.若A1,A2,A3是互斥事件,则A1∪A2∪A3的对立事件与相同吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|).( )
(2)P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(|A).( )
(3)P(A|B)==. ( )
2.已知P(B|A)=,P(A)=,则P(AB)=( ).
A. B.
C. D.
3.已知事件A,B,且P(A)=,P(B|A)=,P(B|)=,则P(B)=( ).
A. B.
C. D.
4.袋中有10个黑球,5个白球.现掷一枚均匀的骰子,掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球,则掷出3点的概率为 .
【合作探究】
乘法公式
小明拿了一盒球,里面有6个红球、4个白球,同桌小阳不放回地抽取两次,每次任取一个球.
问题1:已知第一次取到白球,请问第二次取到红球的概率是多少
问题2:如何求第一次取到白球且第二次取到红球的概率
问题3:如何推导乘法公式
1.乘法公式
若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A),这就是说,根据事件A发生的概率,以及在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率,可以求出事件A与B同时发生的概率.一般地,这个结论称为概率的乘法公式.
2.乘法公式的拓展
假设Ai表示事件,i=1,2,3,且P(A1)>0,P(A1A2)>0,则P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2).其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率,而P(A1A2A3)表示A1,A2,A3同时发生的概率.
某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,且在第一天的空气质量为优良的情况下,第二天的空气质量为优良的概率是0.8.求连续两天空气质量为优良的概率.
【方法总结】在不好直接求得P(AB)的情况下,先求出方便计算的P(A)和P(B|A),再求P(AB).
已知某品牌的玉手镯从1 m高的地方掉落时,第一次未碎掉的概率为0.7,且当第一次未碎掉时,第二次也未碎掉的概率为0.4.试求这款玉手镯从1 m高的地方掉落两次后仍未碎掉的概率.
全概率公式
小张从家到公司上班总共有三条路可以直达(如图),但是每条路每天拥堵的可能性不太一样,由于路的远近不同,选择每条路的概率如下:
P(L1)=0.5,P(L2)=0.3,P(L3)=0.2,
上述三条路每天不拥堵的概率分别为P(C1)=0.2,P(C2)=0.4,P(C3)=0.7.
问题1:假设遇到拥堵会迟到,那么小张从家到公司不迟到的概率是多少
问题2:全概率公式的意义是什么
全概率公式
一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B Ω,有P(B)=P(Ai)P(B|Ai),这称为全概率公式.
特别提醒:在样本空间Ω中,每种原因都可能导致B发生,故B发生的概率是各种原因引起B发生概率的总和.由此可以形象地把全概率公式看成由原因推结果,每个原因对结果的发生有一定的“作用”,即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了因果之间的关系.
一、两个事件的全概率问题
某次社会实践活动中,甲、乙两班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3,且甲班中女生占,乙班中女生占.求该社区居民遇到的一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率.
【方法总结】两个事件的全概率问题的求解策略 (1)拆分:将样本空间拆分成互斥的两部分,如A1,A2(或A与). (2)计算:利用乘法公式计算每一部分的概率. (3)求和:所求事件的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2).
某商店收购甲厂生产的产品30箱,乙厂生产的同种产品20箱.已知甲厂每箱装100个,废品率为0.06;乙厂每箱装120个,废品率为0.05.
(1)任取一个产品,求它是废品的概率;
(2)若将所有产品开箱混放,求任取一个为废品的概率.
二、多个事件的全概率问题
受环境和气候影响,近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎,经初步统计,这三个市分别有8%,6%,4%的人感染了支原体肺炎病毒.已知这三个市的人数之比为4∶6∶10,现从这三个市中任意选取一个人,求这个人感染支原体肺炎病毒的概率.
【方法总结】“化整为零”求多事件的全概率问题 (1)如图,P(B)=P(Ai)P(B|Ai). (2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i=1,2,…,n),则事件B发生的可能性,就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和.
甲箱的产品中有5个正品和3个次品,乙箱的产品中有4个正品和3个次品.
(1)从甲箱中任取2个产品,求这2个产品都是次品的概率;
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中,再从乙箱中任取1个产品,求取出的这个产品是正品的概率.
贝叶斯公式
贝叶斯公式
若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足:
(1)任意两个事件均互斥,即AiAj= ,i,j=1,2,…,n,且i≠j;
(2)A1∪A2∪…∪An=Ω;
(3)P(Ai)>0,i=1,2,…,n.
则对Ω中的概率非零的任意事件B,有P(Ai|B)==(i=1,2,…,n).上述公式称为贝叶斯公式.
特别提醒:全概率公式就是已知第一阶段求第二阶段,而贝叶斯公式就是已知第二阶段反推第一阶段.
某地举办了一次地区性的中国象棋比赛,小明作为选手参加.在除小明外的其他参赛选手中,一、二、三类棋手的人数之比为5∶7∶8,小明与一、二、三类棋手比赛获胜的概率分别是0.6,0.5,0.4.
(1)从参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛,求小明获胜的概率;
(2)如果小明获胜,求与小明比赛的棋手为一类棋手的概率.
【方法总结】若随机试验可以分两个阶段进行,且第一阶段的各试验具体结果未知,第二个阶段的结果已知,要求该试验结果为第一阶段某一个结果所引起的概率,则一般用贝叶斯公式,类似于求条件概率.熟记这个特征,在遇到相关的题目时,可以选择准确的方法进行计算,快速解题.
同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知,三家的正品率分别为0.95,0.90,0.80,三家产品数量之比为2∶3∶5,将三家产品混合在一起.
(1)从中任取一件,求此产品为正品的概率;
(2)现取到一件产品为正品,则它由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性最大 (结果保留小数点后四位)
【随堂检测】
1.李老师家里有一盆花交给邻居帮忙照顾,如果邻居记得浇水,那么花存活的概率为0.8,如果邻居忘记浇水,那么花存活的概率为0.3.已知邻居记得浇水的概率为0.6,忘记浇水的概率为0.4,那么李老师回来后发现花还存活的概率为( ).
A.0.45 B.0.5 C.0.6 D.0.72
2.设10件产品中有3件不合格品,从中不放回地取两次,每次取一件,则取出的第二件为不合格品的概率为( ).
A. B. C. D.
3.甲袋中有3个白球和2个红球,乙袋中有2个白球和3个红球,丙袋中有3个白球和4个红球.若先随机取一只袋,再从该袋中随机取一个球,则该球为红球的概率是 .
4.设某批产品中,甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%,各厂的产品的次品率分别为4%,2%,5%,现从中任取一件.
(1)求取到的是次品的概率;
(2)经检验发现取到的产品为次品,求该产品是甲厂生产的概率.
参考答案
课时2 全概率公式
自主预习·悟新知
预学忆思
1.P(AB)=P(B)P(A|B),其中P(B)>0.
2.需满足的条件为AiAj= (i≠j),Ai=Ω,且P(Ai)>0.
3.P(B|A)+P(|A)=1.
4.相同.
自学检测
1.(1)√ (2)× (3)×
2.C 【解析】P(AB)=P(B|A)P(A)=×=.
3.C 【解析】由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+1-×=.
4. 【解析】设事件B表示“取出的球全是白球”,Ai表示“掷出i(i=1,2,…,6)点”,则由贝叶斯公式得P(A3|B)===.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:设事件A1,A2分别为第一、二次取到红球,则第一次取到白球,第二次取的时候还剩下9个球,其中6个红球,3个白球,故所求概率为P(A2|)==.
问题2:设第一次取到白球且第二次取到红球的事件为A2,直接求P(A2)不好求,我们可以利用条件概率计算,因为P(A2|)=,所以P(A2)=×=.
问题3:由条件概率的计算公式P(B|A)=可知,P(AB)=P(A)P(B|A),即可得到乘法公式.
新知运用
例1 【解析】记“第一天的空气质量为优良”为事件A,“第二天的空气质量为优良”为事件B,则P(B|A)=0.8,P(A)=0.75,由乘法公式得P(AB)=P(A)P(B|A)=0.75×0.8=0.6,即连续两天空气质量为优良的概率为0.6.
巩固训练 【解析】设事件Ai表示“这款玉手镯第i次掉落后没有碎掉”,i=1,2,则由已知可得P(A1)=0.7,P(A2|A1)=0.4,因此由概率的乘法公式可得P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=0.7×0.4=0.28,
即这款玉手镯从1 m高的地方掉落两次后仍未碎掉的概率为0.28.
探究2 情境设置
问题1:由题意可知,不迟到就是不拥堵,设事件C为“到公司不迟到”,事件Li(i=1,2,3)为选择第i条路,
则P(C)=P(L1)P(C1)+P(L2)P(C2)+P(L3)·P(C3)=0.5×0.2+0.3×0.4+0.2×0.7=0.36.
问题2:全概率公式表示达到某个目的有多种方式(或者造成某种结果,有多种原因)时,达到目的的概率(造成这种结果的概率).
新知运用
例2 【解析】设事件A1表示“社区居民所遇到的一位同学是甲班的”,事件A2表示“社区居民所遇到的一位同学是乙班的”,事件B表示“社区居民所遇到的同学是女生”,则Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥,B Ω.
由题意可知P(A1)=,P(A2)=,
且P(B|A1)=,P(B|A2)=.
由全概率公式可知P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)=×+×=.
巩固训练 【解析】记事件A为“抽取的产品来自甲厂”,事件B为“抽取的产品来自乙厂”,事件C为“抽取的产品为废品”,则Ω=A∪B,且A,B互斥.
(1)由题意,得P(A)==,P(B)==,
P(C|A)=0.06,P(C|B)=0.05.
由全概率公式,得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)·P(C|B)=×0.06+×0.05=.
(2)P(A)==,
P(B)==,
P(C|A)=0.06,P(C|B)=0.05.
由全概率公式,得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)·P(C|B)=×0.06+×0.05=.
例3 【解析】记事件D为“选取的这个人感染了支原体肺炎病毒”,记事件E为“此人来自甲市”,记事件F为“此人来自乙市”,记事件G为“此人来自丙市”,
则Ω=E∪F∪G,且E,F,G彼此互斥,
依题意,P(E)==0.2,P(F)==0.3,P(G)==0.5,
P(D|E)=0.08,P(D|F)=0.06,P(D|G)=0.04,
由全概率公式得P(D)=P(E)·P(D|E)+P(F)·P(D|F)+P(G)·P(D|G)=0.2×0.08+0.3×0.06+0.5×0.04=0.054,
所以从这三个市中任取一人,这个人感染支原体肺炎病毒的概率为0.054.
巩固训练 【解析】(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为==28,这2个产品都是次品的事件数为=3,
∴这2个产品都是次品的概率为.
(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”,事件B1为“从甲箱中取出的2个产品都是正品”,事件B2为“从甲箱中取出的2个产品是1个正品和1个次品”,事件B3为“从甲箱中取出的2个产品都是次品”,则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥.
P(B1)==,P(B2)==,P(B3)==,
P(A|B1)=,P(A|B2)=,P(A|B3)=,
∴P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)·P(A|B3)=×+×+×=.
探究3
新知运用
例4 【解析】(1)记事件B为“小明获胜”,记事件Ai为“小明与第i(i=1,2,3)类棋手比赛”,
由题意可得,P(A1)==0.25,P(A2)==0.35,P(A3)==0.4,P(B|A1)=0.6,P(B|A2)=0.5,P(B|A3)=0.4.
由全概率公式可知P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.25×0.6+0.35×0.5+0.4×0.4=0.485.
(2)由条件概率公式可得P(A1|B)====.
即小明获胜,对手为一类棋手的概率为.
巩固训练 【解析】设事件A表示“取到的产品为正品”,B1,B2,B3分别表示“取到的产品由甲、乙、丙厂生产”,
由已知得P(B1)=0.2,P(B2)=0.3,P(B3)=0.5,
P(A|B1)=0.95,P(A|B2)=0.9,P(A|B3)=0.8.
(1)由全概率公式得P(A)=P(Bi)P(A|Bi)=0.2×0.95+0.3×0.9+0.5×0.8=0.86.
(2)由贝叶斯公式得
P(B1|A)==≈0.220 9,
P(B2|A)==≈0.314 0,
P(B3|A)==≈0.465 1.
比较以上3个数,可知这件产品由丙厂生产的可能性最大.
随堂检测·精评价
1.C 【解析】设事件A为“邻居记得浇水”,事件B为“邻居忘记浇水”,事件C为“花存活”,
则P(A)=0.6,P(B)=0.4,P(C|A)=0.8,P(C|B)=0.3.
由全概率公式可得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=0.48+0.12=0.6.
2.C 【解析】设事件B为“第一次取到不合格品”,事件A为“第二次取到不合格品”,则由全概率公式得P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|)=×+×=.
3. 【解析】设事件A1为“取出的是甲袋”,事件A2为“取出的是乙袋”,事件A3为“取出的是丙袋”,事件B为“取出的是红球”,则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)=×+×+×=.
4.【解析】记事件A1为“该产品为甲厂生产的”,事件A2为“该产品为乙厂生产的”,事件A3为“该产品为丙厂生产的”,事件B为“该产品是次品”,则Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3两两互斥.由题意知P(A1)=45%,P(A2)=35%,P(A3)=20%,P(B|A1)=4%,P(B|A2)=2%,P(B|A3)=5%.
(1)由全概率公式得P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=0.035.
(2)由贝叶斯公式(或条件概率定义)得P(A1|B)===.7.1 条件概率与全概率公式
课时1 条件概率
【学习目标】 1.了解条件概率的概念.(数学抽象) 2.掌握求条件概率的两种方法.(数学抽象、数学运算) 3.能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题.(数学抽象、数学运算)
【自主预习】
在一次英语口试中,共有10道题可选择.从中随机地抽取5道题供考生回答,答对其中3道题即可及格.假设作为考生的你只会答10道题中的6道题.
阅读教材,结合上述情境回答下列问题:
1.你及格的概率是多少
2.在抽到的第一题不会答的情况下,你及格的概率又是多少
3.设A,B是两个事件,如何计算在事件A发生的条件下,事件B发生的概率
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若事件A,B互斥,则P(B|A)=1. ( )
(2)在事件A发生的条件下,事件B发生,相当于事件A,B同时发生. ( )
(3)P(B|A)与P(A|B)不同. ( )
(4)P(A∩B|A)=P(B). ( )
2.已知P(A)=0.8,P(B)=0.3,P(AB)=0.24,则P(A|B)=( ).
A.0.24 B.0.8 C.0.3 D.0.16
3.设某动物从出生算起活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率为0.4.现有一只20岁的该动物,则它活到25岁的概率是 .
4.已知10道试题中有4道选择题,甲、乙两人依次不放回地抽取1道,求:
(1)甲抽到选择题的概率;
(2)在甲抽到选择题的情况下,乙抽到选择题的概率.
【合作探究】
条件概率的概念
小明是2022年北京冬奥会的志愿者,服务结束后获得了一个冬奥会的吉祥物冰墩墩,小明有三个侄子,都想要这个冰墩墩,他不知如何分配.三个侄子都说抓阄,其中大侄子说:“我让你们,我最后一个抓.”
问题1:请问大侄子抽中的概率是否比另外两个的小
问题2:如果已经知道第一个人没有抽到冰墩墩,那么最后一个人抽到冰墩墩的概率又是多少
问题3:若用A表示事件“第一个人没有抽到冰墩墩”,用B表示事件“最后一个人抽到冰墩墩”,且将事件“在第一个人没有抽到冰墩墩的条件下,最后一个人抽到冰墩墩”发生的概率记为P(B|A).试说明:已知第一个人的抽奖结果为什么会影响最后一个人抽到冰墩墩的概率.
问题4:对于问题3中的事件A和事件B,P(B|A)与它们的概率有什么关系
问题5:如何判断条件概率
设A,B是两个随机事件,且P(A)>0,则称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.
一、利用定义求条件概率
现有6个节目,其中4个舞蹈类节目,2个语言类节目,若不放回地依次抽取2个节目,求:
(1)第1次抽到舞蹈类节目的概率;
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈类节目的概率;
(3)在第1次抽到舞蹈类节目的条件下,第2次抽到舞蹈类节目的概率.
【方法总结】求条件概率的两种方法 (1)利用定义,分别求P(A)和P(AB),得P(B|A)=,这是求条件概率的通法. (2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB),得P(B|A)=.
已知盒子中有6个大小相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两个球,每次取一个球,记第一次取出的球的数字是x,第二次取出的球的数字是y.若事件A为“x+y为偶数”,事件B为“x,y中有偶数且x≠y”,则P(A|B)=( ).
A. B. C. D.
二、缩小样本空间求条件概率
已知集合A={1,2,3,4,5,6},甲、乙两人各从A中任取一个数,若甲先取(不放回),乙后取,求在甲抽到奇数的条件下,乙抽到的数比甲抽到的数大的概率.
【变式探究】若甲先取(取后放回),乙后取,记“甲抽到的数大于4”为事件A,“甲、乙抽到的两数之和等于7”为事件B,求P(B|A).
【方法总结】利用缩小样本空间法求条件概率P(B|A)的方法 (1)缩:将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A,原来的事件B缩小为事件AB. (2)数:数出事件A中事件AB所包含的基本事件. (3)算:利用P(B|A)=求得结果.
抛掷红、蓝两枚质地均匀的骰子,观察朝上一面的点数,记事件A表示“蓝色骰子的点数为4或6”,事件B表示“两枚骰子的点数之和大于8”.求:
(1)在事件A发生的条件下,事件B发生的概率;
(2)在事件B发生的条件下,事件A发生的概率.
条件概率的性质
大家都知道抛掷骰子的游戏.
问题1:掷一枚质地均匀的骰子,有多少个基本事件 它们之间有什么关系 随机事件出现“大于4的点”包含哪些基本事件
问题2:在“先后抛出两枚质地均匀的骰子”试验中,已知第一枚出现4点,则第二枚出现“大于4点”包含哪些基本事件
问题3:先后抛出两枚质地均匀的骰子,已知第一枚出现4点,如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于4点”的概率
条件概率的性质
条件概率具有概率的性质,任何事件的条件概率都在0和1之间,即0≤P(B|A)≤1.设P(A)>0,有下列结论:
(1)P(Ω|A)=1;
(2)如果B和C是两个互斥事件,那么P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);
(3)设和B互为对立事件,则P(|A)=1-P(B|A).
在一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球,其中有1个红球,2个黄球,3个黑球,4个白球,从中依次不放回地摸出2个球,求在摸出的第一个球是红球的条件下,摸出的第二个球是黄球或黑球的概率.
【方法总结】利用条件概率性质解题的策略 (1)分析条件,选择公式:首先看事件B,C是否互斥,若互斥,则选择公式P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A). (2)分解计算,代入求值:为了求比较复杂事件的概率,一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件,然后求出这些简单事件的概率,最后利用加法公式即得所求的复杂事件的概率.
在某次考试中,要从20道题中随机地抽出6道题.已知答对其中的4道题即可通过考试;答对其中的5道题就能获得优秀.某考生能答对其中的10道题,并且知道他在这次考试中已经通过,求他获得优秀成绩的概率.
【随堂检测】
1.若某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.6,超过2年的概率为0.3,则已经使用了1年的该种元件使用寿命超过2年的概率为( ).
A.0.3 B.0.5
C.0.6 D.1
2.(多选题)设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,P(B)>0,则下列说法一定正确的是( ).
A.P(B|A)=-0.2
B.P(B|A)=P(A|B)
C.P(B|A)=0,说明事件A与事件B不能同时发生
D.P(B|A)与P(B)有可能相等
3.已知一个盒子内装有形状、大小完全相同的5个球,其中3个红球,2个白球.如果不放回地依次抽取3个球,那么在第一次抽到红球的条件下,第二次抽到红球的概率为 .
4.已知盒内装有16个球,其中6个是玻璃球,10个是木质球.玻璃球中有2个是红色的,4个是蓝色的;木质球中有3个是红色的,7个是蓝色的.现从中任取1个,已知取到的是蓝球,则该球是玻璃球的概率是多少
参考答案
7.1 条件概率与全概率公式
课时1 条件概率
自主预习·悟新知
预学忆思
1.所有的选法有=252(种),及格的选法有++=186(种),
故及格的概率P==.
2.在抽到的第一题不会答的情况下,所有的选法有=126(种),及格的选法有+=75(种),故在抽到的第一题不会答的情况下及格的概率P==.
3.利用公式P(B|A)=.
自学检测
1.(1)× (2)× (3)√ (4)×
2.B 【解析】P(A|B)===0.8.
3.0.5 【解析】根据条件概率公式知P==0.5.
4.【解析】(1)甲抽到选择题的概率P==.
(2)设“甲抽到选择题”为事件A,“乙抽到选择题”为事件B,则P(A)=,P(AB)==,所以P(B|A)==.
合作探究·提素养
探究1 情境设置
问题1:如果三张阄分别用X1,X2,Y表示,其中Y表示抽中冰墩墩,那么三人抽的结果共有六种可能,分别为X1X2Y,X1YX2,X2X1Y,X2YX1,YX1X2,YX2X1.用A,B,C分别表示事件“第一个人抽到冰墩墩”“第二个人抽到冰墩墩”“最后一个人抽到冰墩墩”,则事件A包含基本事件YX1X2,YX2X1;事件B包含基本事件X1YX2,X2YX1;事件C包含基本事件X1X2Y,X2X1Y.故P(A)=P(B)=P(C)==,即大侄子抽到冰墩墩的概率与另外两个人抽到冰墩墩的概率一样.
问题2:因为已知第一个人没有抽到冰墩墩,所以可能出现的基本事件只有X1X2Y,X1YX2,X2X1Y和X2YX1.而“最后一个人抽到冰墩墩”包含的基本事件仍是X1X2Y和X2X1Y,由古典概型的概率计算公式可知,最后一个人抽到冰墩墩的概率为,即.
问题3:在这个问题中,知道第一个人没有抽到冰墩墩,等价于知道事件A一定会发生,导致可能出现的基本事件必然在事件A中,从而影响事件B发生的概率,使得P(B|A)≠P(B).
问题4:用Ω表示三个人可能抽取的结果的全体,则它由六个基本事件组成,即Ω={X1X2Y,X1YX2,X2X1Y,X2YX1,YX1X2,YX2X1}.既然已知事件A发生,那么只需在A={X1X2Y,X1YX2,X2X1Y,X2YX1}的范围内考虑问题,即只有四个基本事件.在事件A发生的情况下,事件B发生等价于事件A和事件B同时发生,即事件AB发生.而事件AB中含X1X2Y,X2X1Y两个基本事件,因此P(B|A)==,其中n(A)和n(AB)分别表示事件A和事件AB所包含的基本事件个数.另一方面,根据古典概型计算概率的公式可知,P(AB)=,P(A)=,其中n(Ω)表示Ω中包含的基本事件个数.所以P(B|A)==.
问题5:题目中出现“在已知……前提下(或条件下)”“在A发生的条件下”等关键词,表明这个前提已成立或条件已发生,此时通常涉及条件概率.
新知运用
例1 【解析】设“第1次抽到舞蹈类节目”为事件A,“第2次抽到舞蹈类节目”为事件B,则“第1次和第2次都抽到舞蹈类节目”为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个,得n(Ω)==30.
根据分步乘法计数原理,得n(A)==20,
所以P(A)===.
(2)因为n(AB)==12,所以P(AB)===.
(3)(法一)由(1)(2)可知,在第1次抽到舞蹈类节目的条件下,第2次抽到舞蹈类节目的概率P(B|A)===.
(法二)因为n(AB)=12,n(A)=20,
所以P(B|A)===.
巩固训练 C 【解析】因为是有放回地随机取两个球,所以n(Ω)=36.
因为事件B为“x,y中有偶数且x≠y”,所以n(B)=36-3×3-3=24.
因为事件A为“x+y为偶数”,事件B为“x,y中有偶数且x≠y”,
所以事件AB为“x,y均为偶数且x≠y”,所以n(AB)==6,
所以P(A|B)===.
例2 【解析】设甲抽到数字a,乙抽到数字b记作(a,b),在甲抽到奇数的条件下,乙抽到的数比甲抽到的数大的概率为P,则甲抽到奇数的情况有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共15种.在这15种情况中,乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),(3,5),(3,6),(5,6),共9种,所以在甲抽到奇数的条件下,乙抽到的数比甲抽到的数大的概率P==.
变式探究 【解析】甲抽到的数大于4的情况有(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共12种,其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情况有(5,2),(6,1),共2种,所以P(B|A)==.
巩固训练 【解析】由题意可知,n(A)==12.
由3+6=6+3=4+5=5+4>8,4+6=6+4=5+5>8,5+6=6+5>8,6+6>8知n(B)=10,其中n(AB)=6.
(1)P(B|A)===.
(2)P(A|B)===.
探究2 情境设置
问题1:掷一枚质地均匀的骰子,可能出现的基本事件有“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”,共6个基本事件,它们彼此互斥.“大于4的点”包含“5点”“6点”,共2个基本事件.
问题2:“第一枚4点,第二枚5点”和“第一枚4点,第二枚6点”.
问题3:设“第一枚出现4点”为事件A,“第二枚出现5点”为事件B,“第二枚出现6点”为事件C,则所求事件为B∪C|A,所以P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=+=.
新知运用
例3 【解析】设“摸出的第一个球是红球”为事件A,“摸出的第二个球是黄球”为事件B,“摸出的第二个球是黑球”为事件C.
(法一)∵P(A)=,P(AB)==,P(AC)==,
∴P(B|A)====,P(C|A)===,
∴P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)=+=,即所求的概率为.
(法二)∵n(A)==9,n[(B∪C)∩A]=1×+1×=5,∴P(B∪C|A)=,即所求的概率为.
巩固训练 【解析】设“该考生6道题全答对”为事件A,“该考生恰好答对了5道题”为事件B,“该考生恰好答对了4道题”为事件C,“该考生在这次考试中通过”为事件D,“该考生在这次考试中获得优秀”为事件E,则D=A∪B∪C,E=A∪B,且A,B,C两两互斥.
由古典概型的概率公式知,
P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)
=++=,
又AD=A,BD=B,
所以P(E|D)=P(A∪B|D)
=P(A|D)+P(B|D)
=+=+
=+
=.
故所求概率为.
随堂检测·精评价
1.B 【解析】设事件A为“该元件的使用寿命超过1年”,事件B为“该元件的使用寿命超过2年”,则P(A)=0.6,P(B)=0.3.因为B A,所以P(AB)=P(B)=0.3,所以P(B|A)===0.5.
2.CD 【解析】对于A,0≤P(B|A)≤1,故A错误;
对于B,P(B|A)与P(A|B)可能相等,也可能不相等,故B错误;
对于C,P(B|A)=0,即在事件A发生的条件下事件B发生的概率为0,所以事件A与事件B不能同时发生,故C正确;
对于D,当事件A,B为相互独立事件时,P(B|A)=P(B),故D正确.故选CD.
3. 【解析】记事件A为“第一次抽到红球”,事件B为“第二次抽到红球”,则P(A)=,P(AB)==,因此所求概率P(B|A)==×=.
4.【解析】由题意得球的分布如下:
玻璃球 木质球 合计
红 2 3 5
蓝 4 7 11
合计 6 10 16
设A={取得蓝球},B={取得玻璃球},
∵n(A)=11,n(AB)=4,∴P(B|A)==.
